Relations et fonctions

Une relation est un lien ( un rapport ) existant entre des choses, des situations et/ou des personnes. La mathématique permet de quantifier et/ou de qualifier ces différentes relations. Exemple: Un bureau de médecin offre 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une manière permettant de calculer le salaire de la secrétaire. x En représentant le nombre d’heures travaillées par une simple lettre soit et le salaire de la secrétaire par une autre lettre soit y on peut décrire la relation suivante: Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées y = 20 $ X x y = 20 x Cette équation signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire . L’algèbre nous permet donc d’établir une relation entre ces deux variables.

x x le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. x Heures travaillées : 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100 6 120 7 140 8 160 Salaire ($): y x = 20 X En donnant des valeurs à , on peut calculer des valeurs pour y. x x Dans ce genre de situations, les lettres ( ici, et y ) sont appelées des variables car elles varient ( elles prennent plusieurs valeurs ) dans une même situation. x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre. x y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec .

Certaines relations portent le nom de fonctions. Ce qui les distingue des autres relations est le lien particulier existant entre les variables. Une relation entre deux variables est dite fonctionnelle, ou tout simplement une fonction, lorsque à chaque valeur de la variable indépendante est associée au plus une valeur de la variable dépendante. Dans l’exemple de la secrétaire, celle-ci ne peut pas faire deux salaires différents pour un même nombre d’heures travaillées. Cette relation est une fonction.

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une abscisse ne peut avoir plus qu’une ordonnée. Ce sont toutes des fonctions.

Dans le plan cartésien, cela se traduit par le fait qu’une abscisse ne peut avoir plus qu’une ordonnée. Ici, chaque abscisse a 2 ordonnées différentes. Ce ne sont pas des fonctions. Ce sont quand même des relations.

Afin de distinguer les fonctions des autres types de relations, on utilise une notation particulière appelée notation fonctionnelle. On sait que l’exemple du bureau de médecin offrant 20,00$/heure pour un emploi de secrétaire médicale est une fonction. Le salaire = 20 $ X le nombre d’heures travaillées On pourrait écrire: y = 20 x mais on écrira: f(x) = 20 x car c’est une fonction. Ce symbole signifie que les valeurs de la fonction (les valeurs de la variable dépendante) se calculeront en fonction des valeurs données à la variable indépendante. Exemple: f(x) = 20 x f(5) = 20 X 5 = 100 donc f(5) = 100 soit le couple ( 5 , 100 ) f(8) = 20 X 8 = 160 donc f(8) = 160 soit le couple ( 8 , 160 )

Lorsqu’on travaille avec plusieurs fonctions simultanément, on les désigne par des lettres différentes. Exemples: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 h(x) = x / 100 Une fonction sera désignée par la notation fonctionnelle. Une relation sera désignée par …(x) et x y et x f(x) = x y2 = - x2 + 1

Exercice 1 Voici deux fonctions: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule f (13) : f(x) = 2x + 5 f(13) = 2 X 13 + 5 = 31 Calcule f (a) : f(x) = 2x + 5 f(a) = 2 X a + 5 = 2a + 5 Calcule f (a + 1) : f(x) = 2x + 5 f(a + 1) = 2( a + 1 ) + 5 = 2a + 2 + 5 = 2a + 7 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(4) : g(4) = 42 + 5 X 4 + 6 = 42

x2 + 7x + 11 Exercice 2 Voici deux fonctions: f(x) = 2x + 5 g(x) = x2 + 5x + 6 g(x) = x2 + 5x + 6 Calcule g(a + 3) : g(a + 3) = (a + 3)2 + 5(a + 3) + 6 = g(a + 3) = a2 + 6a + 9 + 5a + 15 + 6 = a2 + 11a + 30 Calcule f(x) + g(x) : 2x + 5 + x2 + 5x + 6 = x2 + 7x + 11 Calcule f(x) X g(x) : (2x + 5) (x2 + 5x + 6) = 2x3 + 15x2 + 37x + 30