Inéquations du second degré à une inconnue Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros de fonction ( fonction quadratique ).ppt; - Résoudre une équation du second degré.ppt; avant de visionner cette présentation.

Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation se ramenant à l’une ou l’autre des formes suivantes: Forme générale : Forme canonique : ax2 + bx + c < 0 a ( x – h )2 + k < 0 ax2 + bx + c > 0 a ( x – h )2 + k > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 a ( x – h )2 + k ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0 a ( x – h )2 + k ≥ 0 où a  R* et b, c  R. où a  R* et h, k  R. Résoudre une inéquation du second degré à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x qui transforment l’inéquation en une inégalité vraie; il s’agit donc de déterminer l’ensemble-solution de l’inéquation.

Exemple 1 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante: ( x - 1 )2 - 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : ( 1 , - 4 ) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle de [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≤ 0 c’est-à-dire négatives. E-S : [ -1 , 3 ]

Exemple 2 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante: ( x - 1 )2 - 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle de : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≥ 0 c’est-à-dire positives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S :

Exemple 3 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante: - ( x - 1 )2 + 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points: - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : ( 1 , 4 ) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle de [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≥ 0 c’est-à-dire positives. E-S : [ -1 , 3 ]

Exemple 4 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante: - ( x - 1 )2 + 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle de : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≤ 0 c’est-à-dire négatives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S :

On peut représenter les ensembles-solutions en utilisant l’axe des x : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 - - 1 3 ( x - 1 )2 - 4 ≥ 0 + - 1 3 ( x - 1 )2 + 4 ≤ 0 - - - 1 3 ( x - 1 )2 + 4 ≥ 0 - + - 1 3

 -2 , 4  Avec la forme générale : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante: x2 - 2x – 8 < 0 1) Déterminer les zéros: 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4  -2 , 4  2) Sommet: ( 1 , - 3 ) E-S : ] -2 , 4 [ Remarque: Ici, les crochets sont ouverts puisque l’inéquation comporte le signe < .

 - 3 , 1  Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante : - x2 - 2x ≥ - 3 Attention: Pour trouver l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à une inconnue, il faut préalablement transformer l’inéquation en une inéquation équivalente de sorte qu’un des membres soit 0. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1) - x2 - 2x ≥ - 3 - x2 - 2x + 3 ≥ 0 1) Déterminer les zéros:  - 3 , 1  2) Sommet: ( - 1 , 4 ) E-S : [ -3 , 1 ]

À quel moment le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? Problème : Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut d’un rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon l’équation : y = - ( x - 3 )2 + 16 À quel moment le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? Trajectoire d’un projectile Temps (sec) Hauteur (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 Selon le graphique, le projectile est à au moins 12 m de hauteur entre 1 et 5 secondes. En se servant de l’inéquation: - ( x - 3 )2 + 16 ≥ 12

 1 , 5  - ( x - 3 )2 + 16 ≥ 12 1) Ramener l’inéquation à zéro: 4 5 6 7 8 10 12 14 16 - ( x - 3 )2 + 4 ≥ 0 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation :  1 , 5  3) Déterminer le sommet : ( 3 , 4 ) 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution : E-S : [ 1 , 5 ] Le projectile sera à au moins 12 m de haut entre 1 et 5 secondes. Attention: Ceci est un procédé équivalent qui donnera les mêmes valeurs de x que la situation de départ.

Validation : - ( x - 3 )2 + 16 ≥ 12 E-S : [ 1 , 5 ] pour x = 1 - ( 1 - 3 )2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 vrai pour x = 3 - ( 3 - 3 )2 + 16 ≥ 12 0 + 16 ≥ 12 vrai pour x = 4 - ( 4 - 3 )2 + 16 ≥ 12 - 1 + 16 ≥ 12 vrai pour x = 5 - ( 5 - 3 )2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 vrai pour x = 6 - ( 6 - 3 )2 + 16 ≥ 12 - 9 + 16 ≥ 12 faux

Pour résoudre une inéquation du second degré par la méthode graphique: 1) Ramener l’inéquation à zéro. 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation. 3) Déterminer le sommet. 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution selon le signe de l’inéquation.