Programmation linéaire

Introduction  Qu’est-ce qu’un programme linéaire ?  Exemples :  allocation de ressources  problème de recouvrement  Hypothèses de la programmation linéaire  Pourquoi étudier la programmation linéaire ?  Interprétation géométrique : représentation et résolution graphique (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20122

Qu’est-ce qu’un programme linéaire ?  Un programme linéaire (PL) est un problème d’optimisation consistant à maximiser (ou minimiser) une fonction objectif linéaires de n variables de décision soumises à un ensemble de contraintes exprimées sous forme d’équations ou d’inéquations linéaires.  A l’origine, le terme programme a le sens de planification opérationnelle mais il est aujourd’hui employé comme synonyme de problème (d’optimisation).  La terminologie est due à G. B. Dantzig, inventeur de l’algorithme du simplexe (1947). (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20123

Forme générale d’un programme linéaire (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20124

Terminologies  Lesvariables x1,..., xn sontappelées variables dedécisions du problème.  Lafonction linéaire àoptimiser est appelée fonction objectif (ou parfois fonction objet).  Lescontraintesprennent la forme d’équations et d’inéquations linéaires.  Les contraintes de bornes se résument souvent à des contraintes de non-négativitéxi ≥ 0. Ellessont généralement traitées de manière spéciale par les algorithmes de résolutions (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20125

Exemple : problème d’allocation de ressources  Vous disposez de  8 kg de pommes,  2.5 kg de pâté,  6 plaques.  pour confectionner des chaussons et des tartes.  Pour faire un chausson, il vous faut 150 g de pommes et 75 g de pâte. Chaque chausson est vendu 3 DT.  Pour faire une tarte, il vous faut 1 kg de pommes, 200 g de pâte et 1 plaque. Chaque tarte est divisée en 6 parts vendues chacune 2 DT.  Que faut-il cuisiner pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente ? (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20126

 définissons 2 variables de décision  x1 : le nombre de chaussons confectionnés,  x2 : le nombre de tartes confectionnées  Le chiffre d’affaires associé à une production (x1, x2) est z = 3x1 + (6 × 2)x2 = 3x1 + 12x2.  Il ne faut pas utiliser plus de ressources que disponibles 150x x2 ≤ 8000 (pommes), 75x1 +200x2 ≤ 2500 (pâté), x2 ≤ 6 (plaques).  On ne peut pas cuisiner des quantités négatives : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20127

Problème d’allocation de ressources : modèle  Pour maximiser le chiffre d’affaires de la vente, il faut déterminer les nombres x1 et x2 de chaussons et de tartes à cuisiner, solution du problème Max z = 3x1 + 12x2 s.c. 150x x2 ≤ x x2 ≤ 2500 x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0  En fait, il faudrait également imposer à x1 et x2 de ne prendre que des valeurs entières. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20128

Exemple : problème de recouvrement  Données : Les demandes journalières en chauffeurs dans une entreprise de transport  Les chauffeurs travaillent cinq jours d’affilée (et peuvent donc avoir leurs deux jours adjacents de congé n’importe quand dans la semaine).  Objectifs : déterminer les effectifs formant les sept équipes possibles de chauffeurs de manière à  couvrir tous les besoins,  engager un nombre minimum de chauffeurs. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/20129

Problème de recouvrement : modélisation  Variables de d´décision : On associe une variable de décision à chacune des sept équipes possibles  x1 : nombre de chauffeurs dans l’ équipe du lundi (repos le samedi et le dimanche),  x2 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du mardi, ...  x7 : nombre de chauffeurs dans l’équipe du dimanche.  Fonction objectif : On veut minimiser le nombre total de chauffeurs engagés z = x x7 (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201210

 Contraintes : Le nombre de chauffeurs présents chaque jour doit être suffisant  Contraintes de bornes : Le nombre de chauffeurs dans chaque équipe doit non seulement être non négatif mais également entier ! xi ≥ 0 et entier, i = 1,..., 7 (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201211

Problème de recouvrement : formulation  Ce problème n’est pas un PL mais un programme linéaire en nombres entiers (PLNE) ! (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201212

Les hypothèses de la programmation linéaire 1. La linéarité des contraintes et de la fonction objectif. 2. La proportionnalité des gains/coûts et des consommations de ressources. 3. La divisibilité des variables. 4. Le déterminisme des données. Lors de la modélisation d’un problème réel, l’impact de ces hypothèses sur la validité du modèle mathématique doit être étudié. Cette analyse peut mener à choisir un modèle différent (non linéaire, stochastique,...) et est essentielle pour la phase d’interprétation des résultats fournis par le modèle (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201213

Pourquoi étudier la programmation linéaire ?  Malgré les hypothèses sous-jacentes assez restrictives, de nombreux problèmes peuvent être modélises par des programmes linéaires. Ces problèmes apparaissent dans des domaines aussi variés que  Il existe des algorithmes généraux (et des codes les mettant en œuvre) permettant de résoudre efficacement des programmes linéaires (même lorsque le nombre de variables et de contraintes est important). (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201214

Interpretations geometries  L’ensemble des solutions d’une inéquations (linéaire) correspond à un demi-espace dans R n (un demi-plan dans R 2 ).  L’ensemble des solutions d’une équation (linéaire) correspond à un hyperplan dans R n (une droite dans R 2 ).  L’ensemble des solutions d’un système d’équations et d’inéquations (linéaires) correspond à l’intersection des demi-espaces et des hyper-plans associés à chaque élément du système.  Cette intersection, appelée domaine admissible, est convexe et définit un polyèdre dans R n (une région polygonale dans R 2 ). (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201215

Terminologies  Une solution est une affectation de valeurs aux variables du problème.  Une solution est admissible si elle satisfait toutes les contraintes du problème (y compris les contraintes de bornes).  La valeur d’une solution est la valeur de la fonction objectif en cette solution.  Le domaine admissible D d’un PL est l’ensemble des solutions admissibles du problème.  La solution optimale d’un PL (si elle existe) est formée des valeurs optimales des variables du problème et de la valeur associée de la fonction objectif. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201216

Résolution graphique dans le plan  Les lignes de niveau de la fonction objectif sont des droites parallèles dans R2.  Il existe des solutions admissibles de valeur z si la ligne de niveau associée à cette valeur intersecte le domaine admissible D du problème.  Pour déterminer la valeur maximale atteignable par une solution admissible, il suffit de faire glisser le plus loin possible une ligne de niveau de la fonction objectif jusqu’à ce qu’elle touche encore tout juste D.  Les points de contact ainsi obtenus correspondent aux solutions optimales du PL. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201217

Résultat d’une optimisation linéaire Le domaine admissible d’un PL peut être  Vide: dans un tel cas le problème est sans solution admissible (et ne possède évidemment pas de solution optimale).  borné (et non vide): le problème possède toujours au moins une solution optimale, quelle que soit la fonction objectif.  non borné: dans ce cas, selon la fonction objectif choisie:  le problème peut posséder des solutions optimales ;  il peut exister des solutions admissibles de valeur arbitrairement grande (ou petite). Dans un tel cas le PL n’admet pas de solution optimale finie et est dit non borné. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201218

La région réalisable Maximisation de la fonction objectif Aucun point, ne se trouve au dessus de et en dessous de et (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201219

Exemple : Optimisation de la production (1)  Galaxy fabrique deux modèles de pistolets à eau :  le Space Ray.  le Zapper.  Les ressources sont limitées à  1000 Kg de plastic.  40 heures de production par semaine.  Contraintes marketing  La production totale ne peut excéder 700 douzaines.  Le nombre de Space Rays ne peut dépasser le nombre de Zapper de plus 350 douzaines.  Description technologique  Un Space Rays nécessite 2 kg de plastique et 3 minutes de main d’œuvre par douzaine.  Un Zapper nécessite 1 kg de plastique et 4 minutes de main d’œuvre par douzaine. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201220

Exemple : Optimisation de la production (2)  Le plan de production actuel prévoit :  La production du plus grand nombre possible de Space Ray qui sont plus profitables (8D de profit par douzaine).  L’utilisation des ressources restantes pour la production de Zappers (5D de profit par douzaine).  Le plan de production mis en place: Space Rays = 450 douzaines Zapper = 100 douzaines Profit= 4100 D par semaine  La direction cherche un plan de production qui augmenterait les profits de la compagnie. (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201221

Formulation  Variables de décision:  X 1 = Niveau de production de Space Rays (en douzaines par semaine).  X 2 = Niveau de production de Zappers (en douzaines par semaine).  Fonction objectif:  Profit hebdomadaire à maximiser (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201222

PL (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201223

24 Analyse graphique – la région réalisable Les contraintes de non-négativité X2X2 X1X1 (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012 Nous pouvons représenter graphiquement la fonction objectif, les contraintes et les trois types de points réalisables

Réalisable X2X2 Non-réalisable Temps de production 3X 1 +4X 2  2400 La contrainte de production totale : X 1 +X 2  700 (redondante) La contrainte Plastique : 2X 1 +X 2  1000 X1X1 700 Analyse graphique – la région réalisable (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

Réalisable X2X2 Non-réalisable Temps de production 3X 1 +4X 2  2400 Contrainte production totale: X 1 +X 2  700 (redundant) Contrainte mix marketing: X 1 -X2  350 La contrainte plastique : 2X 1 +X 2  1000 X1X1 700 Il y a trois types de points réalisables Points intérieurs.Points aux limites.Points Extrêmes. Analyse graphique – la région réalisable (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

27 Démarrons d’un profit arbitraire p.ex. = 2000 DT... Augmentons ce profit, tant que possible......Jusqu’à ce que l’on ait un profit non-réalisable Profit =4360DT X2X2 X1X1 Trouver une solution optimale (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

28 Space Rays= 320 douzaines Zappers= 360 douzaines Profit= 4360DT  Cette solution utilise tout le plastique et toutes les heures de production.  La production totale est de 680 (  700).  La production de Space Rays ne dépasse pas celle de Zappers (  350). Caractéristiques de la solution optimale (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

29  Si un programme linéaire possède une solution optimale, il existe un point extrême qui est optimal. Solution optimale et points extrêmes (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

30 Pour que des solution optimales multiples puissent exister, la fonction objectif doit être parallèle à une contrainte Toute moyenne pondérée de solutions optimales sera aussi une solution optimale. Solutions optimales multiples (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

31  La solution optimale est-elle sensible à des changements de de paramètres dans les données?  Cette question est importante parce que souvent:  La valeur des paramètres utilisés est une estimation.  Des changements sont fréquents dans les données.  Une analyse de scénarios est souvent source d’informations économiques et opérationnelles. Analyse de sensibilité de la solution optimale (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 Max 8X 1 + 5X 2 Max 6X 1 + 5X 2 Max 3.75X 1 + 5X 2 Max 2X 1 + 5X 2 Analyse de sensibilité : coefficients de la fonction objectif (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 Max8X 1 + 5X 2 Max 3.75X 1 + 5X 2 Max 10 X 1 + 5X 2 Domaine d’optimalité: [3.75, 10] Analyse de sensibilité : coefficients de la fonction objectif (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

34  Modification d’un coefficient de la fonction objectif  La solution optimale ne changera pas tant que :  Le coefficient de la fonction objectif reste dans son domaine d’optimalité  Il n’y pas d’autre changements des paramètres du modèle.  La valeur de la fonction objectif changera si la valeur optimale de la variable (associée au coefficient) n’est pas nulle. Domaine d’optimalité – définition (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

35  Le coût réduit pour une variable à sa borne inférieure (en général zéro) donne:  Le montant dont le coefficient de la variable doit changer avant que la variable ne puisse avoir une valeur au dessus de sa borne inférieur (dans la solution optimale).  Le montant dont la fonction objectif changera par unité d’augmentation de cette variable par rapport à sa borne inférieure (en forçant cette augmentation). Coûts réduits – définition (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

36  Nous voulons répondre aux questions suivantes:  Toutes autres choses restant égales, de combien la valeur optimale de l’objectif changera si le membre de droite d’une contrainte change d’une unité?  Pour combien d’unités en plus ou en moins ce changement par unité est-il valable? Analyse de sensibilité : membres de droite des contraintes (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 2X 1 + 1x 2 <=1000 Quand on dispose de plus de plastique (la contrainte plastique est relâchée), le membre de droite de la contrainte augmente. La contrainte Temps de production Profit maximum = X 1 + 1x 2 <=1001 Profit maximum = Coût dual = – = 3.40 La contrainte plastique Coût dual – explication graphique (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

38 Coût dual – définition  Toutes autres choses étant égales par ailleurs, le changement de valeur de la fonction objectif par unité d’augmentation du membre de droite d’une contrainte est appelé “coût dual” ( “Shadow Price” ) (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

39  Tout changement dans le membre de droite d’une contrainte active modifiera la solution optimale.  Tout changement dans le membre de droite d’une contrainte inactive qui est inférieur à l’écart, ne causera pas de changement de la solution optimale. Analyse de sensibilité : membres de droite des contraintes (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 2X 1 + 1x 2 <=1000 Augmenter la quantité de plastique ne sert que jusqu’à ce qu’une nouvelle contrainte devienne active. Contrainte plastique Solution non réalisable Contrainte Temps de production Contrainte Production totale X 1 + X 2  700 Une nouvelle contrainte devient active Domaine réalisable (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 Contrainte Plastique Contrainte Temps de production Le profit augmente quand la quantité de plastique augmente. 2X 1 + 1x 2  1000 Domaine réalisable (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

X2X2 X1X1 2X 1 + 1X 2  1100 On dispose de moins de plastique (la contrainte est renforcée) Le profit diminue Une nouvelle contrainte devient active Solution non-réalisable Domaine réalisable (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

43  On appelle domaine réalisable du membre de droite d’une contrainte :  L’ensemble des valeurs du membre de droite pour lesquelles le même ensemble de contraintes détermine la solution optimale.  A l’intérieur du domaine réalisable les coûts duaux restent constants; néanmoins la solution optimale changera. Domaine réalisable – définition (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

44  Coûts fixes: Le coût dual est la valeur d’une unité supplémentaire de la ressource, étant donné que le coût de la ressource n’est pas inclus dans le calcul de la fonction objectif.  Coûts variables: Le coût dual est la valeur supplémentaire d’une unité de ressource par rapport à son coût existant, étant donné que le coût de la ressource est déjà inclus dans le calcul de la fonction objectif. Interpretation du coût dual (shadow price) (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

45  Ajout d’une contrainte.  Suppression d’une contrainte.  Ajout d’une variable.  Suppression d’une variable.  Changements dans les coefficients des membres de gauche. Autres changements du modèle (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/2012

Les différentes formes d’un programme linéaire (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  Formes générale, canonique et standard  Règles de transformation particulières

Forme générale d’un PL (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201247

Forme canonique d’un PL (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  Problème de maximisation  Toutes les contraintes sont du type “≤”  Toutes les variables sont non négatives

Forme standard d’un PL (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  Problème de maximisation  Toutes les contraintes sont des équations  Toutes les variables sont non négatives  La formulation exhibe une solution particulière dite basique

remarques (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  On passe de la forme canonique à la forme standard en ajoutant dans chaque contrainte i une variable d’écart x n+i.  Lasolution particulière obtenue en fixantles variables de décision x1,..., xn à zéro joue un rôle important (solutions basiques).

Règles de transformation (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  Minimisation ↔ maximisation : min f (x) = − max (−f (x))  Inéquation “≥“ ↔ inéquation “≤“ :  Equation → inequation “≤“ :  Inéquation → équation : On ajoute une variable d’écart (de surplus)  Variable libre (réelle) → variable non négative : Tout nombre réel peut être écrit comme la différence de deux nombres non négatifs.

Exemple (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/201252

suite (c) DHAHRI Issam, ISAE Gafsa, 2011/  Ne pas oublier que zopt = −wopt