Les fentes multiples Méthode semi graphique d’addition d’ondes. La méthode trigonométrique n’est pas commode dans le cas de 3 sources ou plus, ou si les amplitudes sont différentes.

Points essentiels Les vecteurs de Fresnel (section 7.5) Interférence à N fentes Position des maxima principaux Position des minima Position des maxima secondaires Illustrations Intensité de la figure de diffraction (section 7.6)

Les vecteurs de Fresnel (ou phaseurs) Méthode Chaque onde est représentée par un vecteur tournant (avec une vitesse angulaire w appelé vecteurs de Fresnel. La projection sur l’axe vertical représente la variation de la grandeur physique. Additionner 2 ondes (ou plus) équivaut à faire la somme de deux vecteurs formant un angle f entre eux. L’amplitude de l’onde résultante sera la longueur du vecteur résultant (utilisation de la loi des cosinus ou des composantes).

Illustration      4

Calcul de l’intensité par les vecteurs de Fresnel pour l’expérience de Young. Il s’agit d’additionner 2 ondes de même amplitude et de même fréquence angulaire w. Ici, les vecteurs de Fresnel sont les champs électriques.

Représentation pour l’expérience de Young ER f w t Pour faciliter la tache, on suppose E1 = 0 à t = 0 s , alors: ER = E1 + E2 La solution recherchée est de la forme : ER = E0R sin (w t + F ) Avec la loi des cosinus on obtient:

Suite… On sait que: 1 + cos  = 2 cos2 ( /2) (p. 295) et comme Io est proportionnel à E 20R on obtient: Ici, et Alors:

Figure d’intensité

Interférence avec 3 fentes (ou plus) également espacées Conditions: 3 fentes identiques (source en phase). Remarques: Les positions des maxima principaux sont les mêmes indépendamment du nombre de fentes. Plus le nombre de fentes ( N ) augmente, plus les maxima principaux sont étroits et intenses. Pour N > 2, on remarque la présence de maxima secondaires.

Utilisation des vecteurs de Fresnel En un point sur l’écran, les champs proviennent de fentes adjacentes et ont une différence de phase de :

Représentation des vecteurs  ER  Pour construire la figure de distribution d’intensité, on trace les diagrammes pour diverses différence de phase . w t

Position des maxima principaux Lorsque toutes les ondes sont en phase. Soit f = 0, 2p, 4p, 6p…… E0 E0 E0 E0R = 3E0 Puisque l’intensité est proportionnelle au carré de l’amplitude on obtient: I = 9 I0.

Position des minima Pour obtenir E0 = 0, la figure doit se refermer Première possibilité E0 E0 E0 E0 Deuxième possibilité E0 E0 Remarque: Il existe ( N – 1) minima entre 2 maxima principaux.

Position des maxima secondaires Lorsque  = p. E0 E0 Alors I = I0 E0 E0R = E0

Généralisons pour N fentes Positions des maxima principaux Soit  = 0, 2p, 4p, 6p…… Intensité des maxima principaux I = N 2 I0 Positions des minima (N.B. Il existe (N – 1) minima entre deux maxima principaux) Soit  = 2p/N ; 4p/N ; 6p/N ; ……(maximum principal lorsque  = 2p) …2p + 2p/N ; 2p + 4p/N ; 2p + 6p/N ;…… (maximum principal lorsque  = 4p) …. Positions des maxima secondaires (Environ à mi-chemin entre 2 minima et au nombre de (N – 2) entre 2 maxima principaux) Soit  = 3p/N ; 5p/N ; 7p/N ; ……(maximum principal lorsque  = 2p) …2p + 3p/N ; 2p + 5p/N ; 2p + 7p/N ;…… (maximum principal lorsque  = 4p) …. N.B. Il y a une limite (q = 90°)

Illustrations N = 2 N = 3 N = 4

Figure d’intensité pour N fentes Deux sources Trois sources Quatre sources

Intensité de la figure de diffraction Utilisation des phaseurs pour calculer l’intensité de la figure de diffraction. On divise la largeur a de la fente en N sources ainsi la distance d entre 2 sources adjacentes est: et la différence de marche d entre 2 rayons adjacents devient: Ce qui correspond à une différence de phase  associée à cette différence de marche:

Le maximum central Si Ao est l’amplitude due à une source unique, l’amplitude au centre de l’écran est maximale, ainsi: Ao Ao Ao Ao Ao Ao Amax Amax = N Ao

Intensité d’un point P quelconque sur l’écran Pour N très grand, l’arc de cercle sous-tendue par l’angle a est: N Ao = Amax a Ainsi; r a = N Ao = Amax Alors:

Intensité d’un point P quelconque sur l’écran (suite) Puisque: alors: avec: Remarque: a est la différence de phase entre 2 rayons extrêmes.

Position des minima Lorsque:

Position des maxima secondaires Lorsque: C’est-à-dire, pour: Position des maxima secondaires: Intensité des maxima secondaires: Remarque: 93% de l’intensité se retrouve dans le pic central.

Interférence et diffraction (N = 2) Lorsqu’on observe une figure d’interférence à 2 fentes (ou plus), ce que l’on observe sur l’écran est une combinaison d’une figure de diffraction (due à la largeur d,une fente) et une figure d’interférence à 2 fentes. L’intensité peut être obtenue à partir de la figure d’interférence à 2 fentes, en remplaçant l’intensité de chaque ( I 0) par l’intensité due à la diffraction, on obtient:

Travail personnel Aucun exemple Aucune question Faire l’exercice 23 Faire le problème 3