Tests d’hypothèses paramétriques 1 Cours Statistiques Chapitre 9

Plan 1.Introduction 2.Définitions des concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance Cours Statistiques2

Plan Cours Statistiques3 1.Introduction 2.Définitions des concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance

Introduction : liens avec l’estimation Cours Statistiques4 Quelle est la différence entre une estimation paramétrique et un test d’hypothèses paramétriques ? Estimation paramétrique : Ici on suppose inconnu le paramètre de la population et on cherche à l’estimer au moyen d’une statistique définie à partir d’un échantillon aléatoire. Test d’hypothèses paramétriques : Ici on suppose au départ que l’on a une certaine connaissance de la valeur du paramètre et on essaie d’en vérifier la véracité. Cette valeur constitue l’hypothèse de base.

Introduction : Définition générale Cours Statistiques5 Définition générale d’un test d’hypothèse Il s'agit d'une méthode statistique permettant de vérifier, entre autres, la valeur d'un paramètre, la forme d'une distribution, etc. Pour cela, les hypothèses décrivant la situation doivent être formulées et un test statistique est ensuite exécuté.

Introduction : Exemple Cours Statistiques6 Le directeur d’un institut universitaire ayant mis en place des tests de sélection à l’entrée prétend que la moyenne obtenue par les candidats est de 72%. Dit-il vrai ? Pour vérifier le fondement de cette affirmation, on doit tout d’abord construire une hypothèse dans laquelle on suppose que la moyenne du test est de 72% ( μ = 72%). Ensuite, on prélève un échantillon de n étudiants qui ont passé le test de sélection et on calcule la moyenne obtenue par ces derniers. Enfin, on compare la moyenne calculée dans cet échantillon avec la moyenne donnée (dans la population) par le directeur. Cette démarche constitue un test d’hypothèses

Plan Cours Statistiques7 1.Introduction 2.Définitions et concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance

Définitions et concepts fondamentaux Cours Statistiques8 Définition 1 Une hypothèse statistique est une affirmation (ou un énoncé) concernant les caractéristiques d’une population (ex. valeurs des paramètres, forme de la distribution, …). Définition 2 Un test d’hypothèses est une démarche qui, à partir d’un échantillon aléatoire de taille n tiré dans la population, permet de faire un choix entre 2 hypothèses statistiques.

Définitions et concepts fondamentaux Cours Statistiques9 Définition 3 Une hypothèse statistique est une affirmation concernant : 1.La valeur d’un paramètre (moyenne, proportion, variance, …) 2.L’égalité des paramètres de deux distributions (deux moyennes, deux variances, …) 3.La forme de la distribution  Dans les deux premiers cas, on a une hypothèse paramétrique.  Dans le troisième cas, on a une hypothèse non paramétrique.

Définitions et concepts fondamentaux Cours Statistiques10 Définition 4 Un test implique deux types d’hypothèses : – L’hypothèse nulle (H0) : c’est l’hypothèse que l’on ne devrait pas rejeter à moins d’avoir suffisamment d’évidence contre elle. – L’hypothèse alternative (H1) : c’est l’hypothèse qui sera acceptée si H0 est rejetée.

Définitions et concepts fondamentaux Cours Statistiques11 Définition 5

Cours Statistiques12 Définitions et concepts fondamentaux Définition 6 Une hypothèse peut être : – Simple : si dans l’hypothèse on attribut une valeur précise pour le paramètre de la population. Exemples : H0 : μ = 30, H1 : μ = 15, etc. – Composée : si dans l’hypothèse le paramètre de la population est spécifié par un intervalle de valeurs. Exemples : H0 : μ > 30, H1 : μ ≠ 15, etc.

Définitions et concepts fondamentaux Exemple 1 de formulation d’hypothèses La laiterie ABC a une machine qui remplit en moyenne 15 litres de lait à la minute. Un vendeur de machinerie prétend qu’il possède une machine bien meilleure que celle de la laiterie ABC. Pour vérifier l'affirmation du vendeur, on peut construire un test d’hypothèses. Formulez l’hypothèse nulle Ho et l’hypothèse alternative H1 pour ce test d’hypothèses. Réponse : X = une v.a. exprimant le nombre de litres de lait remplis pendant une minute. μ = la moyenne de la variable X. Le test porte sur cette moyenne. Cours Statistiques13

Définitions et concepts fondamentaux Exemple 1 de formulation d’hypothèses … On pose comme hypothèse nulle : H0 : « le nombre moyen de litres de lait versé en une minute par la machine du vendeur est égale à 15 » et on note Ho : μ = 15. On pose comme hypothèse alternative : H1 : « le nombre moyen de litres de lait versé en une minute par la machine du vendeur est supérieur à 15 » et on note H1 : μ > 15. La suite de ce test consiste, en gros, à prélever un échantillon, à calculer la moyenne de cet échantillon et à décider si cette moyenne est suffisamment supérieure à 15 pour rejeté H0 ou très proche de 15 pour accepter H0. Cours Statistiques14

Définitions et concepts fondamentaux Exemple 2 de formulation d’hypothèses La laiterie ABC veut vérifier si sa machine à remplir les contenants de lait fonctionne correctement, c’est-à-dire si elle met bien en moyenne 1000 ml de lait dans chaque contenant. Formulez l’hypothèse nulle Ho et l’hypothèse alternative H1 pour ce test d’hypothèses. Réponse X = une v.a. exprimant la quantité de lait versé par la machine dans le contenant. μ = la quantité moyenne de lait versé par la machine. Le test porte sur cette moyenne. Cours Statistiques15

Définitions et concepts fondamentaux Exemple 2 de formulation d’hypothèses … On pose comme hypothèse nulle : H0 : « le nombre moyen de litres de lait versé par la machine dans le contenant est égale à 1000 ml » et on note Ho : μ = On pose comme hypothèse alternative : H1 : « le nombre moyen de litres de lait versé par la machine dans le contenant est différent de 1000 ml » et on note H1 : μ ≠ La suite de ce test consiste, en gros, à prélever un échantillon, à calculer la moyenne de cet échantillon et à décider si cette moyenne est suffisamment éloignée de 1000 ml pour rejeté H0 ou très proche de 1000 ml pour accepter H0. Cours Statistiques16

Définitions et concepts fondamentaux Prendre une décision dans un test d’hypothèses La décision consiste à accepter ou à rejeter H0 en se basant sur une estimation du paramètre concerné de la population. Cette estimation est calculée à partir de données recueillies dans l’échantillon. Il existe deux types de décisions : 1.Accepter H0 (ou rejeter H1) 2.Rejeter H0 (accepter H1) Cours Statistiques17

Définitions et concepts fondamentaux Accepter H0 (Rejeter H1) On accepte H0 si l’estimation est relativement proche de la valeur du paramètre prévue par H0. On dit que l’écart n’est pas significatif et qu’il est dû au hasard de l’échantillonnage. Dans ce cas on donne le bénéfice du doute à H0. Rejeter H0 (Accepter H1) Mais, si l’estimation du paramètre, déterminée à partir des données de l’échantillon, est loin de la valeur du paramètre prévu par H0, on rejettera H0 car l’écart est significatif c’est à dire qu’il n’est pas uniquement dû au hasard de l’échantillonnage. Cours Statistiques18

Plan Cours Statistiques19 1.Introduction 2.Définitions et concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance 6.Exercices de révision

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques20 Les étapes d’un test d’hypothèses sur μ 1.Identifier les hypothèses H0 et H1. 2.Préciser les conditions du test Distribution de la population Taille de l’échantillon Variance connue ou inconnue Le niveau de signification 3.Calculer l’écart réduit et préciser, selon les données du problème, la distribution de l’écart réduit (voir les Tableaux 1, 2 et 3). 4.Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au niveau de signification a (voir les Graphiques 1, 2 et 3). 5.Prendre une décision (voir les Tableaux 1, 2 et 3).

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques21 Cas où l’échantillon provient d’une population normale de variance connue Tableau 1

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques22 Cas où la taille de l’échantillon est supérieure à 30 (n ≥ 30) et que ce dernier provient d’une population de variance inconnue Tableau 2

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques23 Cas où la taille de l’échantillon est inférieure à 30 (n < 30) et que ce dernier provient d’une population normale de variance inconnue Tableau 3

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques24 Région critique bilatérale Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : C1C2 : valeur critique Graphique 1

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques25 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 C : valeur critique Région critique unilatérale à droite Graphique 2

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques26 Région critique unilatérale à gauche Graphique 3 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : C

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques27 Exemple d’application Le boucher M. Simon affirme qu’il vend en moyenne 86 kg de bœuf par jour. Un employé de la boucherie pense que son patron exagère et veut prouver que la boucherie vend moins de bœuf que le patron prétend. Pour un échantillon de 20 jours choisis au hasard, on trouve qu’on y a vendu en moyenne 81 kg de bœuf par jour. En supposant que les ventes quotidiennes de bœuf obéissent à une loi normale d’écart type 10 kg et en utilisant un niveau de signification a = 0.05, doit-on accepter l’affirmation du patron ?

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques28 Réponse étape 1 X = ventes quotidiennes de bœuf, en kg. μ = moyenne des ventes quotidiennes de bœuf, en kg étape 2 Distribution de la population : N( μ =86 kg, σ 2 =100 kg) Taille de l’échantillon : n = 20 jours Niveau de signification : a = 0.05

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques29 étape 3 D’après les tableaux, l’écart réduit est égale à : l’écart réduit suit une loi normale centrée réduite. étape 4 Détermination de la région critique (voir le graphique de l’acétate suivante)…

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques30 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : =

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques31 étape 5 : Prendre une décision : H0 est rejetée Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : =

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques 32 Exercice 2 Avant le règlement de leur conflit de travail, les policiers de la ville d’Ariana effectuaient en moyenne 20 arrestations par jour. Au cours des 10 jours qui ont suivi le règlement du conflit, on a relevé le nombre X arrestations quotidiennes suivantes : X = 20, 18, 25, 19, 17, 22, 16, 23, 12 et 15. Au niveau de signification a = 0.05, y a-t-il lieu de croire que le règlement du conflit a fait diminuer de façon significative le nombre d’arrestations effectuées par les policiers d’Ariana sachant que la variable aléatoire X est distribuée normalement ?

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques 33 Réponse étape 1 X = Nombre d’arrestations effectuées les policiers de la ville d’Ariana en une journée. μ = Moyenne d’arrestations effectuées les policiers de la ville d’Ariana en une journée. étape 2 Distribution de la population N( μ =20 Arrestation, σ 2 =inconnue) Taille de l’échantillon = n = 10 jours Niveau de signification a = 0.05 Variance de l’échantillon :

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques 34 étape 3 D’après les tableaux, l’écart réduit est égale à : L’écart réduit suit la loi de Student de = 9 degrés de liberté étape 4 Détermination de la région critique (voir le graphique de l’acétate suivante)…

Test d’hypothèse sur une moyenne Cours Statistiques 35 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : =

Test d’hypothèses sur une moyenne Cours Statistiques 36 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : = Test unilatérale à gauche Étape 5 : Prendre une décision : H0 est acceptée

Plan Cours Statistiques37 1.Introduction 2.Définitions et concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance 6.Exercices de révision

Test d’hypothèses sur une proportion Cours Statistiques 38 Les étapes d’un test d’hypothèses sur p 1.Identifier les hypothèses H0 et H1. 2.Préciser les conditions du test Taille de l’échantillon Vérifier les deux conditions : Le niveau de signification 3.Calculer l’écart réduit et préciser, selon les données du problème, la distribution de l’écart réduit (voir le Tableau 4). 4.Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au niveau de signification a (voir les Graphiques 1, 2 et 3). 5.Prendre une décision (voir le Tableau 4).

Test d’hypothèses sur la proportion Cours Statistiques39 Tableau 4

Test d’hypothèses sur une proportion Cours Statistiques 40 Exercice Selon un économiste, 30% d’adultes de 18 ans et plus résidant au Canada sont susceptibles d’acheter un véhicule neuf au cours de l’année Toutefois, un sondage récent auprès de 262 individus résidant au Canada indique que seulement 66 répondants sont susceptibles de le faire. Au niveau de signification a = 0.05, peut-on considérer que l’affirmation de l’économiste n’est pas vraisemblable ?

Test d’hypothèses sur une proportion Cours Statistiques 41 Réponse étape 1 Les hypothèses : étape 2 Taille de l’échantillon : n = 262 Niveau de signification a = 0.05 Vérifier les deux conditions :

Test d’hypothèses sur une proportion Cours Statistiques42 étape 3 D’après le tableau 4, l’écart réduit est égale à : L’écart réduit suit la loi normale N(0, 1) étape 4 Détermination de la région critique (voir le graphique de l’acétate suivante)…

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques43 Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique :

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques44 étape 5 : Prendre une décision : H0 est rejetée Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Valeur critique : =

Plan Cours Statistiques45 1.Introduction 2.Définitions et concepts fondamentaux 3.Tests d’hypothèses sur une moyenne 4.Tests d’hypothèses sur une proportion 5.Tests d’hypothèses sur une variance 6.Exercices de révision

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques46 Les étapes d’un test d’hypothèses sur  2 1.Identifier les hypothèses H0 et H1. 2.Préciser les conditions du test Taille de l’échantillon Le niveau de signification 3.Calculer l’écart réduit et préciser, selon les données du problème, la distribution de l’écart réduit (voir le Tableau 5). 4.Spécifier, selon la distribution de l’écart réduit, la région critique au niveau de signification a (voir les Graphiques 4, 5 et 6). 5.Prendre une décision (voir le Tableau 5).

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques47 Tableau 5 Écart réduit

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques48 Région critique bilatérale Zone d’acceptation de H0 Zones de rejet de H0 Graphique 4

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques49 Région critique unilatérale à gauche Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Graphique 5

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques50 Région critique unilatérale à droite Zone d’acceptation de H0 Zone de rejet de H0 Graphique 6

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques51 Exercice Un procédé industriel consiste à plaquer (en or) des panneaux de circuits imprimés. Dû à une variabilité importante dans l’épaisseur de plaquage, certaines modifications techniques ont été apportées au procédé de fabrication pour en réduire l’ampleur. Suite à ces modifications, on aimerait s’assurer que la variabilité du procédé n’excède pas 4. Un échantillon aléatoire de 20 panneaux a été prélevé de la production et l’épaisseur de plaquage a été mesurée au micro pouces. La variance de cette échantillon est de À un seuil de signification a = 0.05, l’hypothèse selon laquelle la variance n’excède pas 4 est-elle acceptable ?

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques52 Réponse Étape 1 : Identifier les hypothèses Étape 2 : Préciser les conditions du test Taille de l’échantillon n = 20 Niveau de signification  = 0.05 Étape 3 : Calculer la statistique suivante :

Test d’hypothèses sur la variance Cours Statistiques53 Étape 4 : Identifier la région critique (test unilatérale à gauche) Étape 5 : Prendre une décision Ou d’une façon graphique On accepte H0 Valeur observée (calculée à partir des données de l’échantillon) Valeur théorique (calculée à partir de la table)