Intérêts composés
géométrique q = 1,04 et C1 = 15600 Cn = 15600× 1,04n-1 Activité 1: On place 15000 € à intérêts composés à un taux annuel de 4%. La capitalisation des intérêts est, dans cet exemple, annuelle, cela signifie que le capital augmente de 4% par an. On appelle C1 le montant du capital après un an, C2 le montant du capital après deux ans, et ainsi de suite on définit Cn le montant du capital après n années de placement. Calculer C1: 15000 × 1,04 = 15600 Calculer C2: 15600 × 1,04 = 16224 Calculer C3: 16224 × 1,04 = 16872,96 géométrique Quelle est la nature de cette suite? q = 1,04 et C1 = 15600 Quels sont sa raison et son premier terme? Cn = 15600× 1,04n-1 En déduire l’expression de Cn en fonction de n.
Cn = Co ( 1 + t )n Capital acquis Capital initial Taux Nombre de On déduit que, dans le cas général, où l’on place un capital Co à un taux t pendant n périodes, le capital Cn sera alors: Cn = Co ( 1 + t )n Capital acquis Capital initial Taux Nombre de Annuel Semestriel Trimestriel Mensuel Journalier Années Semestres Trimestres Mois Jours
Cn = Co( 1 + t )n C5 = 1500 × ( 1 + 0,04 )5 C5 = 1500 × ( 1,04 )5 Activité 2: Calculer le capital acquis si on place à intérêts composés pendant 5 ans une somme de 1500€ à un taux de 4%. En déduire le montant des intérêts. Cn = Co( 1 + t )n C5 = 1500 × ( 1 + 0,04 )5 C5 = 1500 × ( 1,04 )5 C5 = 1825 € Avec ce placement, on obtiendra un capital de 1825 €, les intérêts seront donc de: 1825 – 1500 = 325 €
Cn = Co( 1 + t )n C8 = 6000 × ( 1 + 0,0075 )8 C8 = 6000 × ( 1,0075 )8 Activité 3: Calculer le capital acquis si on place 6000 € à intérêts composés pendant 8 mois à un taux de 9%. En déduire le montant des intérêts. 0,09 Calcul du taux mensuel: Taux mensuel = = 0,0075 12 Cn = Co( 1 + t )n C8 = 6000 × ( 1 + 0,0075 )8 C8 = 6000 × ( 1,0075 )8 C8 = 6369,59 € Avec ce placement, on obtiendra un capital de 6369,59 €, les intérêts seront donc de: 6369,59 – 6000 = 369,59 €
Activité 4: Calculer le capital acquis si on place 2000 € à intérêts simples pendant 3 ans un taux de 4,2%, la capitalisation des intérêts étant trimestriel. En déduire le montant des intérêts. 0,042 Calcul du taux trimestriel: Taux trimestriel = = 0,0105 4 Cn = Co( 1 + t )n C12 = 2000 × ( 1 + 0,0105 )12 C12 = 2000 × ( 1,0105 )12 C12 = 2267,07 € Avec ce placement, on obtiendra un capital de 2267,07 €, les intérêts seront donc de: 2267,07 – 2000 = 267,07 €
Capital acquis après 7 années: C7 = 4500 + 922,57 = 5422,57 € Activité 5: Après avoir placé à intérêts composés pendant 7 ans un capital de 4500 €, notre banquier nous informe que le montant des intérêts est de 922,57 €. Déterminer le taux de placement Capital acquis après 7 années: C7 = 4500 + 922,57 = 5422,57 € Cn = Co( 1 + t )n 5422,57 = 4500 × ( 1 + t )7 5422,57 ( 1 + t )7= 4500 ( 1 + t )7= 1,205 ( 1 + t ) = 1,205 1/7 le taux du placement est donc de 1 + t = 1,027 2,7 % t = 0,027