Estimation des conditions initiales par inversion Fadji Hassane Maina, LHyGeS Strasbourg Philippe Ackerer , LHyGeS Strasbourg 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Modélisation des écoulements souterrains Écoulements souterrains décrits par les modèles physiques Équation de continuité (conservation de la masse) : Loi de Darcy (calcul des flux) : Équation de diffusivité (équation d’écoulement) : Une équation résolue par des méthodes numériques Résolution de l’équation de diffusivité Connaissance des paramètres K,S et f Conditions aux limites Conditions initiales 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Les conditions initiales et leur estimation Permettent de spécifier le problème d’écoulement Conditions initiales : charges hydrauliques en tout point du domaine à l’état initial Estimation : simulation en régime permanent Approximation des conditions initiales Prise en compte d’une période de relaxation Contraintes de la période de relaxation Définition de la période : durée Cas des simulations sur une courte durée Estimation des conditions initiales par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Méthode d’inversion Les conditions initiales paramètres inconnus du modèle Méthodes d’inversion : estimation des paramètres en calant les niveaux piézométriques La fonction objectif J est : La correction des paramètres : 𝜃 𝑘+1 = 𝜃 𝑘 +∆ 𝜃 𝑘 Tel que : 𝐽 𝜃 𝑘+1 <𝐽 𝜃 𝑘 Correction : ∆ 𝜃 𝑘 = 𝐻𝑎 𝑘+1 ∆ 𝑔 𝑘 Les gradients ∆ 𝑔 𝑘 sont calculés par état adjoint 𝐻𝑎 l’inverse du Hessien est calculé par la méthode BFGS 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Calcul des gradients : État adjoint État adjoint associer des contraintes au problème d’optimisation Contrainte équation du problème direct discrétisé Approcher le gradient de la fonction objectif par celui d’un lagrangien défini par : Gradients calculés par : 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Paramétrisation multi-échelle évolutive Représentation de la variabilité spatiale des charges hydrauliques à l’état initial Paramétrisation Paramétrisation permet aussi de mieux posé le problème inverse Représentation de l’espace Zonation Interpolations (Paramétrisation multi-échelle) Modification du champ au cours de l’optimisation Fixes Évolutives Paramétrisation multi-échelle évolutive 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

(même domaine, nombre de points d’observation différents) Application Tester la méthodologie d’inversion Deux exemples (même domaine, nombre de points d’observation différents) 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Application 4 puits de pompages pour perturber le champ d’écoulement Durée de la simulation : 42 jours Prise en compte de la recharge : 0,4 mm/j Champs de perméabilité et emmagasinement supposés connus Charge imposée Logarithme de la perméabilité Logarithme de l’emmagasinement 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Exemple 1 : Validation de la méthode 96 points d’observation choisis aléatoirement (50 solutions) Les erreurs d’estimation des conditions initiales sont inférieures à 1 pour toutes les solutions Les zones ayant les plus fortes erreurs sont les limites à flux nul 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Exemple 1 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Solution exacte Solution 1 Solution 2 Solution 3 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Exemple 1 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Comparaison des charges mesurées et simulées aux points d’observation Exemple 1 Comparaison des charges mesurées et simulées aux points d’observation Toutes les solutions reproduisent parfaitement les variations de charges hydrauliques mesurées 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Les conditions initiales sont retrouvées par inversion Exemple 1: validation croisée Les conditions initiales sont retrouvées par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Exemple 2 : Évaluation de la robustesse de la méthode 30 points d’observation choisis aléatoirement (50 solutions) Les erreurs d’estimation des conditions initiales sont inférieures à 1,5 pour toutes les solutions Les zones ayant les plus fortes erreurs sont dépourvues de points d’observation 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Exemple 2 Les conditions initiales ont été reproduites par inversion Solution exacte Solution 1 Solution 2 Solution 3 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Les conditions initiales sont retrouvées par inversion Exemple 2: validation croisée Les conditions initiales sont retrouvées par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Conclusions et Perspectives Les conditions initiales peuvent être considérées comme des paramètres inconnus du modèle La méthode d’inversion couplée à la paramétrisation multi-échelle permet de retrouver les variations de charges hydrauliques à l’état initial Estimation des conditions initiales par inversion Pas de période de relaxation Bien adaptée aux simulations sur une courte période (notamment dans les aquifères libres) Perspectives : Estimer simultanément les conditions initiales et les paramètres du modèle par inversion 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Merci de votre attention 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion

Paramétrisation multi-échelle Trottier (2014) Ackerer et al 2014 21/10/2016 Estimation des conditions initiales par inversion