MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Mathématiques SN MODULE 8 Les fonctions SINUSOÏDALES Réalisé par : Sébastien Lachance En collaboration avec : Jean-Pierre Rousseau

Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Équations et graphiques Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) f(x) = a sin [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Fonction COSINUS f(x) = cos x (forme générale de BASE) f(x) = a cos [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 sin [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4

L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » x f(x) 2  2 1 1  3 2 -1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 2 - 1 5 2 1 - 2 3 7 2 -1

L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Fonction SINUS f(x) = sin x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » x f(x) -  2 -1 2 -  - 3 2 1 1 - 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 2 -1 - 1 - 3 - 2 - 7 2 1

x f(x) 1  -1 2 1 - -1 Fonction COSINUS f(x) = cos x (forme générale de BASE) x f(x) 1 2  2 1  -1 3 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 2 1 - 1 - 2 - 2 - -1 -3 2

f(x) = sin x f(x) = cos x f(x) = cos x 2  1  - 1  - 2 2 1  - 1 - 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 f(x) = cos x 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2

cos x = sin ( x +  / 2 ) OU sin x = cos ( x –  / 2 ) f(x) = sin x f(x) = cos x 2 –  / 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 La fonction COSINUS est une fonction SINUS qui a subie une translation horizontale de  / 2 vers la gauche. Cette translation est appelée DÉPHASAGE. Comme c’est le paramètre « h » qui représente la translation horizontale de la courbe, on peut donc écrire que : cos x = sin ( x +  / 2 ) (car h = -  / 2) OU sin x = cos ( x –  / 2 ) (car h =  / 2) La fonction COSINUS est donc une fonction SINUSOÏDALE.

f(x) = sin x 2 | b | Max – Min 2 P = A = A = | a | Période 1 A Cycle -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 Les fonctions SINUSOÏDALES sont des fonctions CYCLIQUES. CYCLE : Plus petite portion de la courbe qui se répète. PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE. 2 | b | P = AMPLITUDE : Variation de la hauteur de la fonction. Max – Min 2 A = A = | a |

f(x) = 2 sin ( x ) 2 3 2 | b | 2 P = P = = 2 x 3 2 = 3 2 3 Exemple : f(x) = 2 sin ( x ) 2 3 Période 2 1 A Cycle -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 1 - 2 PÉRIODE = 3 2 | b | 2 P = P = = 2 x 3 2 = 3 2 3 AMPLITUDE = 2 Max – Min 2 2 – -2 2 A = A = = 2 A = | a | A = | 2 | A = 2

SINUS COSINUS SINUS COSINUS Représentation graphique Méthode du RECTANGLE : On forme un rectangle qui contient un cycle de la fonction. SINUS COSINUS (h, k + a) A A (h, k) (h, k) A A Période Période ATTENTION ! Le signe des paramètres a et b influencent l’orientation du graphique ! Donc si a est négatif ou b est négatif, on obtient : SINUS COSINUS A A (h, k) (h, k) A A (h, k – a) Période Période

Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x +  ) + 2 Exemple #1 : Tracer f(x) = 2 sin 2 ( x +  ) + 2 (h, k) = (- , 2) A = | a | = | 2 | = 2 2 | b | 2 | 2 | P = = =  P 4 A 3 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1 Exemple #2 : Tracer f(x) = - 2 sin ( x – /2 ) + 1 (h, k) = (/2 , 1) A = | a | = | - 2 | = 2 2 | b | 2 | 1 | P = = = 2 4 P 3 2 A 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k (h, k) = (-  , 3) A = | a |  5 = a 2 | b | 2 | b | P = 3 = 2 3  2 3 | b | = = 2 3 Réponse : f(x) = 5 sin ( x +  ) + 3 P 8 6 A 4 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Exemple #3 : Déterminer l’équation de la fonction sinusoïdale ci-dessous sous la forme : A) f(x) = a sin b( x – h ) + k B) f(x) = a cos b( x – h ) + k (h, k) = (-  , 3) (h, k) = (- /4 , 3) A = | a |  5 = a A = | a |  5 = a 2 | b | 2 | b | 2 | b | 2 | b | P = 3 = P = 3 = 2 3  2 3 2 3  2 3 | b | = = | b | = = 2 3 2 3  4 Réponse : f(x) = 5 sin ( x +  ) + 3 Réponse : f(x) = 5 cos ( x + ) + 3 P 8 6 A 4 2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - 1 2 3 -1 -2 -3 y x Cercle trigonométrique DÉFINITION : Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l’origine du plan cartésien et ayant un rayon égal à 1.

Coordonnées d’ANGLES remarquables On sait que : cos  = côté adjacent hypoténuse 1 -1 y x P() = ( , ) cos  x sin  cos  = x 1 y cos  = x 1 y  sin  = côté opposé hypoténuse x sin  = y 1 sin  = y

Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : A) Angle de 50o 1 -1 y x x = cos  x = cos 50o P(50o) = ( , ) cos 50o sin 50o x ≈ 0,64 x y 1 y = sin  y = sin 50o y ≈ 0,77 500 P(50o) = ( , ) 0,64 0,77

Coordonnées d’ANGLES remarquables Exemple : B) Angle de 73o 1 -1 y x x = cos  x = cos 73o P(73o) = ( , ) cos 73o sin 73o x ≈ 0,29 1 x y y = sin  y = sin 73o y ≈ 0,96 730 P(73o) = ( , ) 0,29 0,96

 Angle de 30o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 1 1 y 2 2 1 300 4 1 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 300 1 1 2 1 -1 y x 3 2 x Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 30o Coordonnées d’ANGLES remarquables 300 1 3 2 1 -1 y x Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 300 1 3 2 1 -1 y x Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 P(30o) = ( , ) 3 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 45o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 y x 2 1 450 2 1 x 2 -1 y x 2 x Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = 1 2 x = 1 2 x = 1 2 Il faut rationnaliser ! x = 2

 Angle de 45o Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 y 1 450 2 1 2 2 1 -1 y x P(45o) = ( , ) 2 2 Par Pythagore : x2 + x2 = 12 2x2 = 1 x2 = 1 2 x = 1 2 x = 1 2 Il faut rationnaliser ! x = 2

 Angle de 60o Coordonnées d’ANGLES remarquables 600 1 300 1 -1 y x x 2 Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! 1 2 Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

 Angle de 60o Coordonnées d’ANGLES remarquables 600 1 2 3 300 1 -1 y x Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à l’angle de 30o est la moitié de celle de l’hypoténuse ! P(60o) = ( , ) 1 2 3 2 Par Pythagore : x2 + = 12 2 1 2 x2 + = 1 1 4 x2 = 1 – 1 4 x2 = 3 4 x = 3 4 x = 3 2

Coordonnées d’ANGLES remarquables 1 -1 y x P(90o) = ( 0 , 1 ) P(120o) = ( , ) 2 3 1 - P(60o) = ( , ) 2 3 1 P(135o) = ( , ) 2 - P(45o) = ( , ) 2 P(150o) = ( , ) 2 3 1 - P(30o) = ( , ) 2 3 1 P(180o) = ( - 1 , 0 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(210o) = ( , ) 2 3 1 - P(330o) = ( , ) 2 3 1 - P(225o) = ( , ) 2 - P(315o) = ( , ) 2 - - P(240o) = ( , ) 2 3 1 P(300o) = ( , ) 2 3 1 - P(270o) = ( 0 , - 1 )

Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - 1 -1 y x Radians DÉFINITION : 1 Le radian est une autre façon de mesurer un angle. 1 radian Il correspond à la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc dont la longueur est égale au rayon.

On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique ayant un rayon égal à 1, calculons sa circonférence. y x 1 1 radian C = 2 r 1 radian C = 2 x 1 1 radian 1 C = 2 1 On retrouve donc 2 radians dans un cercle trigonométrique. ≈ 0,2832 radian 1 radian 1 radian Soit ≈ 2 x 3,1416 ≈ 6,2832 radians. 1 radian 1 (1 radian ≈ 57,30) 1 1

 Conversions DEGRÉS <---> RAD 360o = 2 rad 180o =  rad 360o y x 1 1 radian OU 1 radian 180o =  rad 1 radian 1 1 On peut donc effectuer la proportion suivante : ≈ 0,2832 radian 1 radian 1 radian Degrés 360o Radians 2 = 1 radian 1 1 OU 1 Degrés 180o Radians  =

Conversions DEGRÉS <---> RAD Exemples : A) Angle de 90o 900 x 2 x 900 = x x = 2  rad = 3600 2 3600 B) Angle de 30o 300 x 2 x 300 6  = x x = rad = 3600 2 3600 C) Angle de 45o 450 x 2 x 450 4  = x x = rad = 3600 2 3600 D) Angle de 60o 600 x 2 x 600 3  = x x = rad = 3600 2 3600

Conversions DEGRÉS <---> RAD Angles IMPORTANTS : DEGRÉS RADIANS 0o 6  30o 4  45o 3  60o 2  90o 180o  2 3 270o 360o 2

Cercle trigonométrique Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique 1 -1 y x P(90o) = ( 0 , 1 ) P(120o) = ( , ) 2 3 1 - P(60o) = ( , ) 2 3 1 P(135o) = ( , ) 2 - P(45o) = ( , ) 2 P(150o) = ( , ) 2 3 1 - P(30o) = ( , ) 2 3 1 P(180o) = ( - 1 , 0 ) P(0o) = ( 1 , 0 ) P( 360o ) = ( 1 , 0 ) P(210o) = ( , ) 2 3 1 - P(330o) = ( , ) 2 3 1 - P(225o) = ( , ) 2 - P(315o) = ( , ) 2 - - P(240o) = ( , ) 2 3 1 P(300o) = ( , ) 2 3 1 - P(270o) = ( 0 , - 1 )

Cercle trigonométrique Conversions DEGRÉS <---> RAD Cercle trigonométrique 1 -1 y x P( ) = ( 0 , 1 )  2 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 2 3 P( ) = ( , ) 2 3 1  3 P( ) = ( , ) 2 - 4 3 P( ) = ( , ) 2 4  P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 5 P( ) = ( , ) 2 3 1 6  P( ) = ( - 1 , 0 )  P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( 1 , 0 ) 2 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 7 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 6 11 4 5 P( ) = ( , ) 2 - 4 7 P( ) = ( , ) 2 - - P( ) = ( , ) 2 3 1 4 3 P( ) = ( , ) 2 3 1 - 5 3 P( ) = ( 0 , - 1 ) 3 2

Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 3 = 2 sin x 3 2 = sin x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = x 3 2 3 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = 2 sin x – 3 0 = 2 sin x – 3 Période 3 = 2 sin x 2 | b | 2 | 1 | P = P = = 2 3 2 = sin x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = x 3 2 Réponse : 3 2 x   + 2n , + 2n  où n    3 2 3 x1 =  3 et x2 = 2 3 Comme x1 et x2 sont les zéros à l’intérieur de 1 cycle seulement, il faut aussi nommer tous les autres ! – 1 P – 1 P – 1 P – 1 P + 1 P + 1 P + 1 P + 1 P  3 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 -1 2 = - sin 3x 1 2 = sin 3x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = 3x 1 2 1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #2 : Trouver les zéros de g(x) = - sin 3x + 0,5 0 = - sin 3x + 0,5 -1 2 = - sin 3x 1 2 = sin 3x Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = 3x 1 2 1 2 3x =  6 et 3x = 5 6 Période 2 | b | 2 | 3 | 2 3 x1 =  18 x2 = 5 18 P = P = = Réponse : x   + n , + n  où n    18 2 3 5 18 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 1 2 = cos (x + ) Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = (x + ) 1 2 1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #3 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos (x + ) – 1 0 = 2 cos (x + ) – 1 1 2 = cos (x + ) – 1 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = (x + ) 1 2 1 2 x +  =  3 5 3 et x +  = x1 = -2 3 x2 = 2 3 Période 2 | b | 2 | 1 | P = P = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   -2 3 2 3

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 -1 2 = sin (x + 1) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = (x + 1) -1 2 -1 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Exemple #4 : Trouver les zéros de h(x) = sin (x + 1) + 0,5 0 = sin (x + 1) + 0,5 -1 2 = sin (x + 1) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? sin-1 ( ) = (x + 1) -1 2 -1 2 (x + 1) = 7 6 et (x + 1) = 11 6 x + 1 = 7 6 x + 1 = 11 6 Période x + 1 = 7 6 x + 1 = 11 6 2 | b | 2 |  | P = P = = 2 x1 = 1 6 x2 = 5 6 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   1 6 5 6

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 - 2 2 = cos x Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = x - 2 2 - 2 2

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? Exemple #5 : Trouver les zéros de f(x) = 2 cos x + 2 0 = 2 cos x + 2 - 2 2 = cos x Quel est l’angle dont la valeur en « x » est ? cos-1 ( ) = x - 2 2 - 2 2 x = 3 4 et x = 5 4 x = 3 4 x = 5 4 Période 3 4 5 4 2 | b | 2 |  | x1 = x2 = P = P = = 2 Réponse : x   + 2n , + 2n  où n   3 4 5 4

Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3

2 =  – 1 1 1 -1 y x 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 2 =  – 1 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 1 1

Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3 0,34 = (x – 0,25) et  – 0,34 = (x – 0,25)

1 -1 y x 2 =  – 0,34 2 = 2,8 1 3 P( 2 ) = ( , ) 1 3 P( 1 ) = ( , ) 1 3 2 - 0,34 0,34 1 

Exemple #6 : Trouver les zéros de j(x) = -45 sin (x – 0,25) + 15 0 = -45 sin (x – 0,25) + 15 1 3 = sin (x – 0,25) Quel est l’angle dont la valeur en « y » est ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! sin-1 ( ) = (x – 0,25) 1 3 1 3 0,34 = (x – 0,25) et  – 0,34 = (x – 0,25) 0,3582 = x1 2,8 = (x – 0,25) 1,1413 = x2 Période 2 | b | 2 |  | P = P = = 2 Réponse : x   0,3582 + 2n , 1,1413 + 2n  où n  

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2

1 -1 y x P( 1 ) = ( 0,4 , ) 2 = 2 – 1 1 2 1 0,4 P( 2 ) = ( 0,4 , )

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2

1 -1 y x 2 = 2 – 1,16 2 = 5,123 P( 1 ) = ( 0,4 , ) 1,16 2 1 0,4 2 - 1,16 P( 2 ) = ( 0,4 , )

Exemple #7 : Résoudre 7 = 5 cos (0,5x – 2) + 5 Quel est l’angle dont la valeur en « x » est 0,4 ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! cos-1 ( 0,4 ) = 0,5x – 2 1,16 = 0,5x – 2 et 2 – 1,16 = 0,5x – 2 6,32 = x1 5,123 = 0,5x – 2 14,25 = x2 Période 2 | b | 2 | 0,5 | P = P = = 4 Réponse : x   6,32 + 4n , 14,25 + 4n  où n  

Mathématiques SN - Les fonctions SINUSOÏDALES - Résolutions d’inéquations Exemple : Résoudre 2 sin 2 (x + ) ≥ 0 4 3 + 1 P + 1 P 2 1 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0 2 sin 2 (x + ) ≥ 0 sin 2 (x + ) ≥ 0 Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) ≥ sin-1 ( 0 )

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? Exemple : Résoudre 2 sin 2 ( x +  ) ≥ 0 2 sin 2 (x + ) = 0 sin 2 (x + ) = 0 Quel est l’angle dont la valeur en « y » est 0 ? 2 (x + ) = sin-1 ( 0 ) 2 (x + ) = 0 et 2 (x + ) =  x1 = -  x2 = -  2 Période 2 | b | 2 | 2 |  P = P = = Réponse : x  [ -  + n , + n ] où n   -  2