Le dernier théorème de Fermat préhistoire Le dernier théorème de Fermat récréations mathématiques du 1er Octobre 2004

chronologie mathêma : sciences -600 Thalès -500 Pythagore -300 Euclide +200 Diophante +400 Hépatie 1000 Al Khayyam 1200 Fibonacci 1500 Bâchet 1600 Fermat 1750 Euler 1800 Germain mathêma : sciences

Souvenirs de collégien Dans un triangle rectangle, le carré de de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. la corde tendue sous l’angle droit !

Théorème de Pythagore

une preuve…

Arithmétique Euclide explore les propriétés des nombres au travers de la divisibilité : unité, nombre premier, nombres premiers entre-eux… -300 : les éléments, livre vii arithmos : nombre

Divisibilité

Lemme d’Euclide Soient x, y et z trois entiers. Si x divise yz et si x et y sont premiers entre eux alors x divise z

Unicité de la décomposition en facteurs premiers Tout nombre entier se décompose de manière unique en produit de nombres premiers. valuation dyadique

valuation dyadique Il s’agit de l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers d’un entier…

Incommensurable !

pair = impair

Triangle Pythagorique

Quelques instances

Remarques et Premières interrogations Classification des triangles pythagoriques, par classe de similitude. triangle pythagorique primitif

Arithmétiques de Diophante Platon -400. Il existe une infinité de classes de triangles pythagoriques. Euclide. caractérisation de toutes les solutions de x2 + y2 = z2. Diophante. généralisations, nouvelles questions, nouvelles équations. équations diophantiennes.

Infinitude preuve (1) Pythagoricité et (2) primitivité

pythagoricité Algébrique triangle Pythagorique.

primitivité Arithmétique

congruences 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Exemple : entiers modulo 5 2 + 3 = 5 2 + 8 = 10 + = 2 x 3 = 6 7 x 8 = 56 x =

congruences 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 + = x =

compatibilité additive multiple du module

compatibilité multiplicative multiple du module

applications aux équations diophantiennes Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :

applications aux équations diophantiennes Résoudre dans l’ensemble des nombres entiers :

carrés modulo 4

réciproque impair + impair = pair Un et donc un seul de ces trois entiers est pair

est obligatoirement impair ! On peux supposer pair.

un lemme fondamental Soient x, y et z trois entiers. Si y et z sont premiers entre eux

+ 800 Al-kwarizmi Les mathématiques se réfugient au moyen orient. Traductions systématiques des œuvres grecques. Algébraisation des mathématiques

+950 Al-Khujandi La démonstration d’Al-Khujandi est incorrecte ! Al-Khasin

1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie 1200 Léonard de Pise introduit les textes arabes, grecs en Italie. Traduction Latines. L’école Italienne s’attaque aux équations polynomiales de degré 3, 4, 5 1540 Bâchet traduit les textes originaux Diophante renaissance de l’arithmétiques. Renaissance de l’arithmétique.

1640 Fermat prouver l’absence de solution dans le cas de l’exposant Fermat utilise les triangles pythagoriques pour prouver l’absence de solution dans le cas de l’exposant n = 4 par un méthode merveilleuse, la descente infinie.

1640 Fermat 4 1753 Euler 3 F 1830 Legendre & Dirichlet 5 1840 Lamé 7 1847 Lamé & Cauchy n 184x Germain 184x-1995 Kummer & successeurs 109

Premier cas de Fermat Exposant p premier c’est montrer l’implication : Résoudre le premier cas de Fermat pour un Exposant p premier c’est montrer l’implication : Théorème de Sophie Germain. Si p et 2p+1 sont des premiers impairs alors le premier cas de Fermat est vérifié pour l’exposant p.

Exercices Etudier les cubes modulo 9 pour démontrer le premier cas de Fermat de l’exposant 3. Etudier les puissances cinquième modulo 25 pour démontrer le premier cas de Fermat pour l’exposant 5.

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