Approches non intrusives des éléments finis stochastiques Application en mécanique non linéaire de la rupture B. Sudret(1), M. Berveiller(1,2), M. Lemaire(2) (1) EDF R&D, Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants (MMC) (2) Institut Français de Mécanique Avancée (IFMA/LaMI) Séminaire « Mécanique numérique probabiliste » 19 Janvier 2005

Sommaire Propagation des incertitudes en mécanique classification des méthodes une approche simple : la simulation de Monte Carlo Méthode des éléments finis stochastiques méthode de projection méthode des moindres carrés Application à l’étude de nocivité d’un défaut dans une tuyauterie

Propagation des incertitudes : principe Modèle de calcul Paramètres d’entrée Réponse géométrie propriétés matériaux chargement modèle analytique code aux éléments finis … déplacements déformations contraintes endommagement

Propagation des incertitudes : principe Modèle de calcul Paramètres d’entrée Réponse Variables aléatoires X(q) Réponse aléatoire ? déterminé à partir : d’une analyse statistique du jugement d’expert …

Une brève classification Analyse de sensibilité m s Variabilité de la réponse Modes de défaillance (ex: critère de ruine) Modèle mécanique Analyse de fiabilité Pf seuil Probabilité de défaillance Modèle mécano- probabiliste Matériau Géométrie Chargement Données aléatoires Éléments finis stochastiques Représentation complète (EFS)

Simulation de Monte Carlo Tirage des variables aléatoires d’entrée Réponse Tendance centrale : Probabilité de défaillance

Propriétés de la simulation Avantages méthode universelle (problèmes statiques, dynamiques, non linéaires) ne nécessite pas d’implémentation spécifique Inconvénients nécessite un gros volume de calcul ~ 102 pour évaluer (m , s), 10k+2 pour évaluer Pf = 10-k donne un résultat qualitatif de la densité de la réponse (histogramme) Simulation  représenter une v.a réponse S par l’ensemble de ses réalisations S (qi) Remarque Alternative : caractériser l’ensemble des moments statistiques décomposer S(q) sur une base de l’espace des v.a

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Principe des éléments finis stochastiques Discrétisation spatiale ui = i-ème d.d.l Géométrie Physique du problème Coefficients à déterminer Chaos polynomial Discrétisation probabiliste Prop. matériaux Chargement X (variables/champs aléatoires) v. a. gaussiennes centrées réduites

Chaos polynomial- Définition Famille de v.a gaussiennes centrées réduites indépendantes Séquence d’entiers Polynôme d’Hermite multidimensionnel Chaos de degré p, d’ordre M : ensemble des polynômes d’Hermite multidimensionnels, de degré <= p basé sur M gaussiennes Dimension : Exemple : M = 2 , p = 3 : P = 10

déformation, contrainte) Méthode de projection Réponse (déplacement, déformation, contrainte) Inconnues du problème Base orthogonale du chaos polynomial Orthogonalité des Yj : Dénominateur : analytique Numérateur :

Évaluation de l’intégrale Intégration en M dimensions possible par : Méthode de Monte Carlo brute Méthode de Monte Carlo accélérée (hypercube latin) Quadrature de l’intégrale

Quadrature d’une intégrale simple Poids d’intégration Points d’intégration Calculé par la théorie des polynômes orthogonaux pour la fonction poids

Quadratures des intégrales multiples Produit tensoriel de schémas d’intégration uni-dimensionnels Nécessite la transformation des variables d’entrée en gaussiennes centrées réduites Requiert KM calculs déterministes à effectuer avec son code préféré Possibilité d’utiliser des schémas d’intégration optimisés en grande dimension (« cubatures » de Smolyak)

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Méthode des moindres carrés Minimiser au sens des moindres carrés l’écart entre solution exacte et approchée sur le chaos polynomial: Nombre de points de collocation du plan d’expérience Valeurs des Yj aux points de collocation Évalué par le code EF Inconnues sur lesquelles portent la minimisation … conduit à un système linéaire !

Système linéaire Notations : Base du développement Inconnues Réponse exacte pour Y : matrice (n,P) de terme générique

Particularités du système Le membre de gauche ne dépend pas du problème posé, mais uniquement les points de collocation choisis et de la taille du chaos  il peut être inversé une fois pour toutes Le calcul additionnel pour obtenir les coefficients d’une autre variable de sortie se réduit à un produit matrice / vecteur Le système est de taille petite (P~10-100). Par contre il est mal conditionné  nécessité d’un solveur adapté

Choix des points de collocation optimaux Basé sur les racines des polynômes d’Hermite : Si l’on choisit un chaos de degré p (degré maximal des polynômes de Hermite), on utilise les racines de Hp+1 On construit tous les M-uplets de ces racines, soient Mp+1 On choisit parmi ces possibilités n<< Mp+1 points de collocation : ceux qui sont le plus près de l’origine Réfs : Webster, Isukapalli … Études paramétriques en cours (n=2P – 4P)

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Application en mécanique de la rupture t = 62,5 mm a = 15 mm Ri = 393,5 mm Traction (st+sf) Pression (P=15.5 MPa) Critère de défaillance pour l'amorçage du défaut Force fissurante Résistance à la déchirure ductile Evolution de la probabilité d’amorçage du défaut en fonction de la contrainte de traction

Maillage du tuyau fissuré Fissure circonférentielle

Loi de comportement Loi de Ramberg - Osgood

Paramètres incertains Décomposition de J sur le chaos polynomial 35 coefficients Méthode des moindres carrés

Probabilité d’amorçage

Probabilité d’amorçage (échelle log)

Conclusions Utilisation du chaos polynomial pour représenter la réponse aléatoire d’un système mécanique … surface de réponse stochastique Approches non intrusives : - deux méthodes permettant de calculer les coefficients du développement à partir d’une batterie de calculs déterministes  outil générique probabiliste externe au code Plan d’expérience (points de collocation / points de quadratures) fourni de facto Possibilité de distribuer facilement les calculs Précision des résultats supérieure à l’approche « Galerkin » des EFS tendance centrale (moyenne, écart-type) queues de distribution (probabilité de dépassement de seuil)