CHAPITRE 7 DROITES ET SYSTEMES

I- Droites du plan 1) Equation réduite Dans un repère du plan, toute droite a une équation du type y=ax+b ou x=c. a est le coefficient directeur b est l’ordonnée à l’origine Si d a pour équation y=ax+b alors M(xM;yM) appartient à d si et seulement si yM=axM+b. Si d a pour équation x=c alors M(xM;yM) appartient à d si et seulement si xM=c.

Exemple: soit d: y=2x-1 et d’: x=3 -A(2;5) € d car 2xA-1=2x2-1=3 alors que yA=5 A(2;5) € d’ car xA=2≠3 -B(3;-2) € d car 2xB-1=2x3-&=5 alors que yB=-2 B(3;-2) € d’ car xB=3 -C(4;7) € d car 2xC-1=2x4-1=7 donc xC=7=yB C=(4;7) € d’ car xC=4≠3

2) Représentation graphique Pour représenter une droite dans un repère, on a besoin au minimum de deux points appartenant à cette droite sauf si l’on sait interpréter graphiquement a; b et c!). Pour les deux droites de l’exemple précédent, on complète les « tableaux de valeurs »: Pour d: pour d’: x 2 y 3 -1 X 3 y 7 2

d d’

Remarque: -la droite d’équation x=c est parallèle à l’axe des ordonnées. -l’ordonnée à l’origine b est l’ordonnée du point d’intersection de d avec l’axe des ordonnées. -le coefficient directeur a est le nombre duquel il faut monter ou descendre pour retomber sur la droite d après avoir décalé de un vers la droite.

3) Parallélisme a) Coefficient directeur Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB). Le coefficient directeur de la droite AB) est alors: a=yB-yA/xB-xA. Remarque: si xA=xB alors (AB) n’a pas de coefficient directeur car elle a une équation du type x=c.

b) Parallélisme Deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, autrement dit elles ont toutes les deux une équation du type x=c ou bien si elles ont le même coefficient directeur. Exemple: d: y=2x-3 et d’: x=4 d et d’ sont sécantes car leurs équation ne sont pas du même type. d: y=2x-3 et d’: y=5x+2 d et d’ sont sécantes car elles n’ont pas le même coefficient directeur.

d: y=-8x+2 et d’: y=-8x-4 d et d’ sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur -8. d: y=-3x+1 et d’: y=3x+1 d et d’ sont sécantes car elles n’ont pas le même coefficient directeur. d: x=4 et d’: y=4 d et d’ sont sécantes car elles ne sont pas du même type. d: x=4 et d’: x=8 d et d’ sont parallèles car elles sont du même type.

4) Equation cartésienne Toute droite du plan admet une équation cartésienne c’est-à-dire une équation du type ax+by+c=0. Réciproquement, toute équation du type ax+by+c=0 définie une droite du plan. Exemple: d: y=-2x+1 2x+y-1=0 d’: x=6 x-6=0 d’’: y=7 y-7=0 d: -2x+y-6=0 y=2x+6 d’: 6x+2y-10=0 y=-3x+5 d’’: x+12=0 x=-12

II- Système d’équation Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système du type ax+by+c=0 a’x+b’y+c’=0 Le système est noté S, la première équation E1 et la deuxième E2. Cas particuliers: -d et d’ sont strictement parallèle: S n’a pas de solution. -d et d’ sont confondues: S admet une infinité de couple solution, se sont les coordonnées de d (ou d’).

-d et d’ sont sécantes: S admet un couple solution. Pour résoudre un système, en admettant un unique couple solution, on dispose de deux méthodes: la substitution et la combinaison. 1) Méthode par substitution Considérons le système 2x-y-11=0 3x+6y-9=0 1èreétape On isole une des deux inconnues x ou y dans l’une des deux équations E1 ou E2. E1 S E2

Ici, on isole y dans E1: y=2x-11. 2èmeétape On remplace l’inconnue précédente isolée par le membre de droite obtenue dans l’autre équation. Ici, on remplace y par 2x-11 dans E2: 3x+6(2x-11)-9=0. On résout l’équation obtenue: 3x+12x-66-9=0 15x-75=0 15x=75 x= x=5 75 15

3èmeétape On remplace l’inconnue par la valeur trouvée précédemment dans l’une des équations afin de trouver la valeur de l’autre inconnue. Ici, dans E1: 2x5-y-11=0 y=2x5-11=10-11=-1 Conclusion Le système S a pour unique couple solution (5;-1).

2) Méthode par combinaison 2x-y-11=0 E1 3x+6y-9=0 E2 On appelle combinaison des deux équations E1 et E2, toutes équations du type αE1+βE2 où α et β sont des nombres réels. Exemple: 10E1+E2 est une combinaison de E1 et de E2. 10E1+E2: 10(2x-y-11)+3x+6y-9=10X0+0 23x-4y-119=0 S

Pour résoudre S, il faut déterminer une combinaison qui « élimine les y » et une combinaison qui « élimine les x ». Pour éliminer les y, on considère la combinaison 6E1+E2: 6(2x-y-11)+3x+6y-9=6X0+0 15x-75=0 15x=75 x=5

-3E1+2E2: -3(2x-y-11)+2(3x+-y-9)=-3X0+2X0 Le couple solution est (5;-1).