Inéquations du second degré à une inconnue Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros de fonction (fonction quadratique).ppt; - Résoudre une équation du second degré.ppt; avant de visionner cette présentation.

Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation se ramenant à l’une ou l’autre des formes suivantes : Forme générale : Forme canonique : ax2 + bx + c < 0 a ( x – h )2 + k < 0 ax2 + bx + c > 0 a ( x – h )2 + k > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 a ( x – h )2 + k ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0 a ( x – h )2 + k ≥ 0 où a  R* et b, c  R. où a  R* et h, k  R. Résoudre une inéquation du second degré à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x qui transforment l’inéquation en une inégalité vraie. Il s’agit donc de déterminer l’ensemble-solution de l’inéquation.

Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. Exemple 1 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. (x - 1)2 - 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : (1 , - 4) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≤ 0, c’est-à-dire négatives. E-S. : [ -1 , 3 ]

Exemple 2 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. (x - 1)2 - 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≥ 0, c’est-à-dire positives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S. :

Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. Exemple 3 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. - (x - 1)2 + 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : (1 , 4) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≥ 0, c’est-à-dire positives. E-S. : [ -1 , 3 ]

Exemple 4 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. - (x - 1)2 + 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≤ 0, c’est-à-dire négatives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S. :

On peut représenter les ensembles-solutions en utilisant l’axe des x : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x - - 1 3 (x - 1)2 - 4 ≥ 0 + - 1 3 (x - 1)2 + 4 ≤ 0 - - - 1 3 (x - 1)2 + 4 ≥ 0 - + - 1 3

 -2 , 4  Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante : x2 - 2x – 8 < 0 1) Déterminer les zéros : 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 y x  -2 , 4  2) Sommet : (1 , - 3) E-S. : ] -2 , 4 [ Remarque Ici, les crochets sont ouverts puisque l’inéquation comporte le signe < .

 - 3 , 1  Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante : - x2 - 2x ≥ - 3 Attention : Pour trouver l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à une inconnue, il faut préalablement transformer l’inéquation en une inéquation équivalente de sorte qu’un des membres soit 0. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x 1) - x2 - 2x ≥ - 3 - x2 - 2x + 3 ≥ 0 1) Déterminer les zéros :  - 3 , 1  2) Sommet : (-1 , 4) E-S. : [ -3 , 1 ]

Trajectoire d’un projectile Problème Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut d’un rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon l’équation : y = - (x - 3)2 + 16 Trajectoire d’un projectile Temps (sec) Hauteur (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 À quel moment, le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? Selon le graphique, le projectile est à au moins 12 m de hauteur entre 1 et 5 secondes. En se servant de l’inéquation : - (x - 3)2 + 16 ≥ 12

 1 , 5  - (x - 3)2 + 16 ≥ 12 1) Ramener l’inéquation à zéro : 4 5 6 7 8 10 12 14 16 - (x - 3)2 + 4 ≥ 0 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation :  1 , 5  3) Déterminer le sommet : (3 , 4) 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution : E-S. : [ 1 , 5 ] Le projectile sera à au moins 12 m de haut entre 1 et 5 secondes. Attention : Ceci est un procédé équivalent qui donnera les mêmes valeurs de x que la situation de départ.

Validation : - (x - 3)2 + 16 ≥ 12 E-S. : [ 1 , 5 ] pour x = 1 - (1 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 3 - (3 - 3)2 + 16 ≥ 12 0 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 4 - (4 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 1 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 5 - (5 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 6 - (6 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 9 + 16 ≥ 12 Faux.

Pour résoudre une inéquation du second degré par la méthode graphique : 1) Ramener l’inéquation à zéro. 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation. 3) Déterminer le sommet. 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution selon le signe de l’inéquation.