Inéquations du second degré à une inconnue

Slides:



Advertisements
Présentations similaires
Chapitre 3 : EQUATiON DU 2ème DEGRE
Advertisements

Fonction « carré » Fonctions polynômes de degré 2
CHAPITRE 8 Equations - Inéquations
REVISIONS.
10 + 3x = x² Les équations du second degré Exercice d’introduction:
Les systèmes de deux équations à deux inconnues
CHAPITRE 8 Equations - Inéquations
Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation simple
Fonctions polynômes de degré 2 La forme canonique
La fonction quadratique
Zéros de polynômes (La loi du produit nul) Remarque :
CHAPITRE 9 Equations - Inéquations
La fonction VALEUR ABSOLUE
Continuité Montage préparé par : André Ross
Equation du second degré
Équations différentielles.
Fabienne BUSSAC EQUATION DU TYPE x² = a 1er cas : a est positif x² = a
La fonction quadratique. Déterminer l’équation.. Pour bien comprendre les procédés qui vont suivre, il faut se souvenir du lien qui existe entre x et.
Fonction partie entière
Inéquations du 1er degré
La fonction quadratique
La fonction quadratique
Les inéquations Notre équation: 4x ≤ 1x + 9 Par Sarah et Garrett.
Systèmes semi-linéaires
Quelques fonctions de base
Inéquations du second degré à une inconnue
Inéquations du premier degré à deux variables
Résoudre une équation du second degré par la complétion du carré.
La fonction quadratique
Résoudre une équation du second degré.
Propriétés de la fonction quadratique
Remarque: Tu devrais visionner la présentation:
Fonction partie entière
Zéros de polynômes ( La loi du produit nul ) Remarque :
Fonction partie entière
Fonction partie entière
Inéquations du second degré à deux variables
Les fonctions leurs propriétés et.
Inéquations du premier degré à une inconnue
La fonction quadratique
Inéquations du premier degré à une inconnue
Fonctions du second degré
Chapitre 2 : Inéquations.
Inéquations du premier degré à une inconnue
Activités mentales rapides
Equations du premier degré Equations « produit nul »
B A R Relation : Une relation de A vers B est un ensemble de liens entre les éléments de deux ensembles. Un élément de A peut.
Unité 2: Fonction Quadratique et Équations
CHAPITRE 1: LES FONCTIONS.
La fonction quadratique
Thème: Les fonctions Séquence 1 : Généralités sur les fonctions
Les structures conditionnelles en PHP
Activités mentales rapides
Le cours Les exercices Le formulaire d’examen
La fonction VALEUR ABSOLUE
Thème: Les fonctions Séquence 4 : Variations d’une fonction
UNITE: Résolution des équations du second degré
Zéros de polynômes Loi du produit nul. Les zéros d’un polynôme sont les valeurs de la variable ou des variables qui annulent ce polynôme. EXEMPLES : Dans.
Recherche de la règle d’une parabole
Activités mentales rapides
CALCUL D’AIRE cours 6.
La fonction quadratique
Propriétés de la fonction quadratique
REVISIONS POINTS COMMUNS
Equations et inéquations
INEQUATIONS 1. OPERATIONS
Réalisé par : Sébastien Lachance MATHS 3 E SECONDAIRE Résolutions d’INÉQUATIONS.
Leçon 4.7 Le discriminant On peut utiliser la partie radicale (le discriminant) de la formule quadratique pour déterminer la nature des racines. Exemples:
LES FONCTIONS REVISIONS POINTS COMMUNS Vous connaissez Les fonctions linéaires & affines : Les droites les fonctions du second degré : Les paraboles.
Les propriétés d’une parabole a) forme générale b) forme canonique.
Transcription de la présentation:

Inéquations du second degré à une inconnue Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Inéquations du premier degré à une variable.ppt; - Zéros de fonction (fonction quadratique).ppt; - Résoudre une équation du second degré.ppt; avant de visionner cette présentation.

Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation se ramenant à l’une ou l’autre des formes suivantes : Forme générale : Forme canonique : ax2 + bx + c < 0 a ( x – h )2 + k < 0 ax2 + bx + c > 0 a ( x – h )2 + k > 0 ax2 + bx + c ≤ 0 a ( x – h )2 + k ≤ 0 ax2 + bx + c ≥ 0 a ( x – h )2 + k ≥ 0 où a  R* et b, c  R. où a  R* et h, k  R. Résoudre une inéquation du second degré à une inconnue consiste à trouver toutes les valeurs de x qui transforment l’inéquation en une inégalité vraie. Il s’agit donc de déterminer l’ensemble-solution de l’inéquation.

Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. Exemple 1 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. (x - 1)2 - 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : (1 , - 4) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≤ 0, c’est-à-dire négatives. E-S. : [ -1 , 3 ]

Exemple 2 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. (x - 1)2 - 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≥ 0, c’est-à-dire positives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S. :

Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. Exemple 3 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. - (x - 1)2 + 4 ≥ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x Il faut d’abord tracer la courbe de l’équation associée à cette inéquation. Une esquisse est suffisante en déterminant seulement trois points : - les zéros de fonction :  -1 , 3  - le sommet de la parabole : (1 , 4) On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle [ -1 , 3 ]. En effet, entre -1 et 3, les valeurs de y sont toutes ≥ 0, c’est-à-dire positives. E-S. : [ -1 , 3 ]

Exemple 4 : Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante. - (x - 1)2 + 4 ≤ 0 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x On peut remarquer que les valeurs de x qui correspondent à l’inéquation sont comprises dans l’intervalle : - , -1 ]  [ 3 , + ∞ En effet, pour ces deux intervalles, les valeurs de y sont toutes ≤ 0, c’est-à-dire négatives. - , -1 ]  [ 3 , + ∞ E-S. :

On peut représenter les ensembles-solutions en utilisant l’axe des x : 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x - - 1 3 (x - 1)2 - 4 ≥ 0 + - 1 3 (x - 1)2 + 4 ≤ 0 - - - 1 3 (x - 1)2 + 4 ≥ 0 - + - 1 3

 -2 , 4  Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante : x2 - 2x – 8 < 0 1) Déterminer les zéros : 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 y x  -2 , 4  2) Sommet : (1 , - 3) E-S. : ] -2 , 4 [ Remarque Ici, les crochets sont ouverts puisque l’inéquation comporte le signe < .

 - 3 , 1  Détermine l’ensemble-solution de l’inéquation suivante : - x2 - 2x ≥ - 3 Attention : Pour trouver l’ensemble-solution d’une inéquation du second degré à une inconnue, il faut préalablement transformer l’inéquation en une inéquation équivalente de sorte qu’un des membres soit 0. 1 2 3 -1 -2 -3 9 8 7 6 5 4 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y x 1) - x2 - 2x ≥ - 3 - x2 - 2x + 3 ≥ 0 1) Déterminer les zéros :  - 3 , 1  2) Sommet : (-1 , 4) E-S. : [ -3 , 1 ]

Trajectoire d’un projectile Problème Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut d’un rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon l’équation : y = - (x - 3)2 + 16 Trajectoire d’un projectile Temps (sec) Hauteur (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 À quel moment, le projectile est-il à au moins 12 m de hauteur ? Selon le graphique, le projectile est à au moins 12 m de hauteur entre 1 et 5 secondes. En se servant de l’inéquation : - (x - 3)2 + 16 ≥ 12

 1 , 5  - (x - 3)2 + 16 ≥ 12 1) Ramener l’inéquation à zéro : 4 5 6 7 8 10 12 14 16 - (x - 3)2 + 4 ≥ 0 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation :  1 , 5  3) Déterminer le sommet : (3 , 4) 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution : E-S. : [ 1 , 5 ] Le projectile sera à au moins 12 m de haut entre 1 et 5 secondes. Attention : Ceci est un procédé équivalent qui donnera les mêmes valeurs de x que la situation de départ.

Validation : - (x - 3)2 + 16 ≥ 12 E-S. : [ 1 , 5 ] pour x = 1 - (1 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 3 - (3 - 3)2 + 16 ≥ 12 0 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 4 - (4 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 1 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 5 - (5 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 4 + 16 ≥ 12 Vrai. pour x = 6 - (6 - 3)2 + 16 ≥ 12 - 9 + 16 ≥ 12 Faux.

Pour résoudre une inéquation du second degré par la méthode graphique : 1) Ramener l’inéquation à zéro. 2) Déterminer les zéros de l’équation associée à cette inéquation. 3) Déterminer le sommet. 4) Esquisser la courbe. 5) Déterminer l’ensemble-solution selon le signe de l’inéquation.