Le diagramme de quartiles 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170

Le diagramme de quartiles est un tableau statistique représentant la concentration ou la dispersion de données statistiques. 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 1er quart 2e quart 3e quart 4e quart Il sépare une distribution de données (un ensemble de données) en 4 sous-ensembles appelés des quarts. Chaque quart contient le même nombre de données; chaque quart contient donc 25 % des données. Il se construit à partir des médianes d’une liste de données. Nous allons voir : - sa construction; - son interprétation; - son utilité.

Construire un diagramme de quartiles Prenons une liste de données : 128, 77, 133, 153, 88, 91, 95, 99, 100, 105, 102, 100, 116, 111, 112, 107, 123, 73, 131, 80, 138, 139, 86, 93, 169. 1ère étape : Écrire la liste en ordre croissant. 73, 77, 80, 86, 88, 91, 93, 95, 99, 100, 100, 102, 105, 107, 111, 112, 116, 123, 128, 131, 133, 138, 139, 153, 169. Nombre total de données : n = 25

2e étape : Déterminer les quartiles. Les quartiles sont les valeurs (nombres) qui séparent la liste de données en 4 groupes égaux. On les déterminent par les médianes ( Md ). Rappel Dans une liste impaire de données écrites en ordre croissant, la médiane est la donnée du milieu. Exemple : 13, 15, 18, 23, 25 médiane La médiane de cette liste est 18. Remarque : Ici, la médiane fait partie de la liste. Dans une liste paire de données écrites en ordre croissant, la médiane est la moyenne arithmétique des deux données du milieu. 18 + 23 2 Exemple : 13, 15, 18, 23, 25, 27 Médiane : = 20,5 Remarque : Ici, la médiane ne fait pas partie de la liste.

Déterminer les quartiles 73 77 80 86 88 91 93 95 99 100 102 105 107 111 112 116 123 128 131 133 138 139 153 169 minimum maximum Les quartiles sont les valeurs (nombres) qui séparent la liste de données en 4 groupes égaux. On les détermine par les médianes. On détermine, en premier la médiane principale : ici, 105 Q1 On détermine, par la suite, la médiane des données entre le minimum et la médiane principale. de 73 à 102, il y a 12 données, donc 91 + 93 2 = 92 Q2 médiane principale On détermine, par la suite, la médiane des données entre la médiane principale et le maximum. de 107 à 169, il y a 12 données, donc 128 + 131 2 = 129,5 Q3 Ces médianes sont les quartiles, notés Q.

Remarque sur les quartiles (médianes) Dans une liste de données, pour trouver rapidement les médianes (quartiles), voici deux procédés. Procédé 1 Le total des données est un nombre pair : Exemple : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 n = 8 Divise le total par 2 : 8 ÷ 2 = 4 ce résultat entier indique 2 paquets égaux. 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 4e 5e Tu auras donc à calculer la moyenne arithmétique de la 4e et 5e données. 64 + 65 2 = 64,5 Md : 64,5

Le total des données est un nombre impair : Exemple : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 n = 9 Divise le total par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5 ce résultat décimal indique 2 paquets égaux avec une donnée supplémentaire. 61, 62, 62, 64, 66, 66, 68, 71 65 La médiane est donc cette donnée du milieu. Md : 65 En résumé : On divise le total des données de la liste par 2 : Résultat entier : on fait la moyenne arithmétique en utilisant la dernière donnée du premier paquet avec la première donnée du deuxième paquet. Résultat décimale : la médiane est la donnée entre les deux paquets.

Procédé 2 : Dans une liste de données dont le total des données est : Un multiple de 4 : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 n = 8 Q1 Q3 Q2 Il faut calculer Q1 , Q2 , Q3 : Un multiple de 4 + 1 : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 n = 9 Q1 Q3 Q2 Q2 est dans la liste, il faut calculer Q1 , Q3 : Un multiple de 4 + 2 : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71, 73 n = 10 Q1 Q3 Q2 Il faut calculer Q2 : Q1 et Q3 sont dans la liste : Un multiple de 4 + 3 : 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71, 73, 75 n = 11 Q1 Q2 Q3 Q1 , Q2 , Q3 sont dans la liste :

Minimum : 73 Q1 = 92 Q2 = 105 Q3 = 129,5 maximum : 169 77 80 86 88 91 93 95 99 100 102 105 107 111 112 116 123 128 131 133 138 139 153 169 minimum maximum Q1 Q2 Q3 3e étape : Avec ces données, on peut construire le diagramme de quartiles. Trace un axe gradué, d’intervalles égales, (selon le contexte) : 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Le minimum de la liste est 73; on commence donc la graduation à 70; Le maximum de la liste est 169; on termine donc la graduation à 170; On peut graduer l’axe par 10 (pour faciliter la lecture); « L’axe vertical sert de garniture pour embellir le tableau. » Remarque : L’espace entre la graduation 70 et l’origine ne respecte pas les autres graduations; alors n’oublie pas de le signaler.

Minimum = 73 Q1 = 92 Q2 = 105 Q3 = 129,5 maximum =169 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 min Q1 Q2 Q3 max On met un léger trait pour représenter le minimum, Q1 , Q2 , Q3 et le maximum. On dessine un rectangle de Q1 à Q3 . Ce rectangle représente l’étendue interquartile ( E-I ). On rejoint, par un segment, chaque extrémité du rectangle avec d’un côté le minimum et de l’autre, le maximum. Certains mathématiciens appellent ces lignes, des moustaches ! Dans une situation réelle, il faudrait donner un titre au tableau et un titre à l’axe gradué pour savoir ce qu’ils représentent.

Lire un diagramme de quartiles Représentons par un diagramme de quartiles, le sommaire des élèves d’un groupe en mathématique. Voici la liste des résultats (en ordre croissant) : 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, 93. n = 27 Min. : 38 Q1 : 65 Q2 : 73 Q3 : 76 Max. : 93 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats (%) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 93 38 65 73 76

Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats (%) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 38 65 73 76 93 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, 93. Les 3 quartiles divisent la distribution de données en 4 quarts contenant le même nombre de données. Dans le premier quart (du minimum à Q1) : 38, 43, 46, 52, 53, 59 25 % Dans le deuxième quart (de Q1 à Q2) : 67, 67, 71, 72, 72, 72 25 % Dans le troisième quart (de Q2 à Q3) : 73, 74, 75, 76, 76, 76 25 % Dans le quatrième quart (de Q3 au maximum) : 78, 79, 82, 83, 90, 93 25 %

Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats (%) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 38 65 73 76 93 Dans le premier quart (du minimum à Q1) : 38, 43, 46, 52, 53, 59 Dans le deuxième quart (de Q1 à Q2) : 67, 67, 71, 72, 72, 72 Dans le troisième quart (de Q2 à Q3) : 73, 74, 75, 76, 76, 76 Dans le quatrième quart (de Q3 au maximum) : 78, 79, 82, 83, 90, 93 Remarques : Les quartiles ( Q1 , Q2 , Q3 ) ne font pas partie des données des quarts. Le minimum fait partie des données du premier quart. Le maximum fait partie des données du quatrième quart.

Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats (%) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 38 65 73 76 93 min. : 38 Q1 : 65 Q2 : 73 Q3 : 76 max. : 93 Ce diagramme nous renseigne sur : - le minimum d’une distribution = 38 - le maximum d’une distribution = 93 - l’étendue d’une distribution : maximum – minimum = 93 – 38 = 55 - les médianes d’une distribution : Q1 , Q2 , Q3 = 65, 73, 76 - l’étendue interquartile (la longueur du rectangle) : Q3 – Q1 = 76 – 65 = 11 Ce diagramme ne permet pas de déterminer : - le nombre de données de la distribution; - la moyenne de la distribution.

Résultats sommaires d’un groupe en mathématique Quart 1 Quart 2 Quart 3 Quart 4 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats (%) 93 38 65 73 76 38, 43, 46, 52, 53, 59, 65, 67, 67, 71, 72, 72, 72, 73, 73, 74, 75, 76, 76, 76, 76, 78, 79, 82, 83, 90, 93. Attention Les quartiles Q1 , Q2 , Q3 sont des nombres délimitant les quarts. Q1 : 65 Q2 : 73 Q3 : 76 Les quarts sont des ensembles contenant les données. Quart 1 : 38, 43, 46, 52, 53, 59 Quart 3 : 73, 74, 75, 76, 76, 76 Quart 2 : 67, 67, 71, 72, 72, 72 Quart 4 : 78, 79, 82, 83, 90, 93

L’utilité du diagramme de quartiles 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats ( % ) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique min max Q1 Q2 Q3 Le diagramme de quartiles est utile pour : - comprendre la dispersion ou la concentration des données (interprétation); - comparer des distributions de données différentes.

Interprétation du diagramme 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Résultats ( % ) Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 38 65 73 76 93 Quart 1 : Les résultats des étudiants de ce quart sont très dispersés; les résultats varient de 38 à 65 donc un écart de 27 points. Il y a au moins un étudiant très faible. On ne peut pas préciser la quantité d’étudiants ayant une note inférieure à 60. Quart 3 : Les résultats des étudiants de ce quart sont très concentrés; les résultats se concentrent entre 73 et 76 donc un écart de 3 points. Ceci indique qu’ils sont tous à peu près de la même force.

Résultats sommaires d’un groupe en mathématique 20 30 40 50 60 70 80 90 100 93 38 65 73 76 Résultats (%) On peut aussi remarquer que plus de 75 % des étudiants de ce groupe sont en situation de réussite. Soit les 3 quarts supérieurs à Q1 et un ou quelques étudiants supérieurs à 60 %. Le 4e quart montre une certaine dispersion parmi les plus forts. La moitié des étudiants de ce groupe se situent entre 65 % et 76 %. L’étendue interquartile ( Q3 – Q1 ) est de 11 points. On peut donc dire que la moitié du groupe est sensiblement de même force. Remarque : On ne peut pas déterminer la moyenne de ce groupe ni le nombre d’élèves faisant partie du groupe ou de chaque quart. Il est donc essentiel de compléter les informations par d’autres outils : liste des données, moyenne, autres tableaux, etc.

Comparer des distributions de données différentes. Prenons un exemple : Une agence de voyage fait parvenir des informations concernant deux destinations différentes, Miami et les Bermudes. Moyenne de température : Miami : 28 0C Bermudes : 28 0C Les deux destinations sont aussi attrayantes l’une que l’autre. L’agence fait parvenir également les deux diagrammes de quartiles suivants: Températures (0C) Écarts de température annuelles 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Miami Bermudes Le diagramme de quartiles permet une décision plus éclairée!

Comparer des distributions de données différentes. Exemple : Voici les diagrammes de quartiles représentant les résultats sommaires de 4 groupes de mathématique. Résultats sommaires des groupes en mathématique 100 20 30 40 50 60 70 80 90 Résultats (%) Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : 10 Gr. : 11 L’étudiant le plus faible fait parti du groupe 01. Les deux étudiants les plus forts font partie des groupes 01 et 10.

100 20 30 40 50 60 70 80 90 Résultats (%) Résultats sommaires des groupes en mathématique Gr. : 10 Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : 11 50 % des étudiants du groupe 01 et certains étudiants du groupe 02 sont en situation d’échecs. Les deux groupes 10 et 11 sont, dans l’ensemble, les plus forts. Plus de 50 % des étudiants sont en voie de réussite. Le groupe 01 possède la plus grande étendue; ce qui montre une nette différence entre les plus forts et les plus faibles.

100 20 30 40 50 60 70 80 90 Résultats (%) Résultats sommaires des groupes en mathématique Gr. : 10 Gr. : 01 Gr. : 02 Gr. : 11 Les résultats des étudiants du groupe 02 sont plus regroupés; ce qui indique une plus grande homogénéité dans les résultats. Le groupe 10 est nettement plus fort que les autres groupes. Remarque : Les interprétations d’un diagramme de quartiles dépendent de celui qui l’interprète. À partir de cet exemple, d’autres interprétations auraient été possibles.

Voici quatre diagrammes à bandes reliés aux résultats de quatre groupe d’élèves lors d’un test, quatre diagrammes de quartiles dans un même graphique représentant les mêmes résultats et quatre affirmations décrivant ces résultats. Associe chaque affirmation aux bons diagrammes. Notes ( en % ) 50 60 70 80 90 Notes ( en % ) Nb d’ é l è v e s 8 6 4 2 50 60 70 80 90 W X A D Y Z B 1) Tous les élèves ont au moins 60%. Personne n’a obtenu plus de 80 %. La moitié des résultats sont situés entre 65 % et 75 %. Un quart des élèves ont obtenu moins de 60%; un quart des élèves ont obtenu plus que 80%. 2) 3) 4) C 1) Z B 2) X A 3) Y D 4) W C

Conclusion Le diagramme de quartiles permet de visualiser la concentration et la dispersion d’une distribution de données. Il permet de tirer certaines conclusions. Cependant, les informations restent fragmentaires; pour mieux interpréter ce genre de graphique, il est essentiel de compléter l’étude avec d’autres outils statistiques : - sujet de l’étude, - type d’étude, - le total des données, - moyenne de la distribution, - mode de la distribution, - autres tableaux statistiques, - etc.