Factorisation par la complétion du carré Remarque : Tu devrais visionner les présentations : - Factorisation d’un trinôme carré parfait.ppt - Factorisation d’une différence de carré.ppt avant de visionner celle-ci.

La technique de la complétion du carré sert à : - Factoriser un trinôme; Exemple : x2 + 6x + 8 (x + 2) (x + 4) y x - Déterminer les zéros d’une fonction quadratique; - Résoudre une équation du second degré. x2 + 2x - 44 = - 20 x1 = - 6 x2 = 4

Cette technique utilise deux autres techniques de factorisation de trinôme : - factorisation d’un trinôme carré parfait; - factorisation d’une différence de carré.

x2 + 8x x2 + 8x Exemples Factoriser x2 + 8x – 9. Ce trinôme n’est pas un trinôme carré parfait. Nous allons utiliser les 2 premiers termes pour créer un trinôme carré parfait. 1) Déplacer le 3e terme : x2 + 8x - 9 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 8x 2 X x2 2 8x 2 X x 2 8 2 2 ( 4 ) = = = = = 16 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 8x + 16 - 9 - 16 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

x2 + 8x x2 + 8x ( (x + 4) ) ( (x + 4) ) 5) On regroupe le tout : + 16 -9 - 16 ( ) x2 + 8x + 16 - 25 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 4)2 - 25 7) On factorise par une différence de carré : (x + 4)2 - 25 (x + 4) 5 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : ( (x + 4) - 5 ) ( (x + 4) + 5 ) (x + 4 - 5) (x + 4 + 5) 8) On complète les calculs : (x - 1) (x + 9)

x2 + 10x + 16 x2 + 10x x2 + 10x Factorise : 1) Déplacer le 3e terme : 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 10x 2 X x2 2 10x 2 X x 2 10 2 2 ( 5 ) = = = = = 25 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 10x + 25 + 16 - 25 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

5) On regroupe le tout : x2 + 10x + 25 + 16 - 25 ( ) x2 + 10x + 25 - 9 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 5)2 - 9 7) On factorise par une différence de carré : (x + 5)2 - 9 (x + 5) 3 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : ( (x + 5) - 3 ) ( (x + 5) + 3 ) (x + 5 - 3) (x + 5 + 3) 8) On complète les calculs : (x + 2) (x + 8)

x2 + 14x x2 + 14x Factorise : x2 + 14x + 48 1) Déplacer le 3e terme : 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 14x 2 X x2 2 14x 2 X x 2 14 2 2 ( 7 ) = = = = = 49 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 14x + 49 + 48 - 49 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

x2 + 14x x2 + 14x ( (x + 7) ) ( (x + 7) ) 5) On regroupe le tout : + 49 + 48 - 49 ( ) x2 + 14x + 49 - 1 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 7)2 - 1 7) On factorise par une différence de carré : (x + 7)2 - 1 (x + 7) 1 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : ( (x + 7) - 1 ) ( (x + 7) + 1 ) (x + 7 - 1) (x + 7 + 1) 8) On complète les calculs : (x + 6) (x + 8)

x2 + 58x x2 + 58x Factorise : x2 + 58x + 672 1) Déplacer le 3e terme : 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = 58x 2 X x2 2 58x 2 X x 2 58 2 2 ( 29 ) = = = = = 841 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : x2 + 58x + 841 + 672 - 841 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

x2 + 58x x2 + 58x ( (x + 29) ) ( (x + 29) ) 5) On regroupe le tout : + 841 + 672 - 841 ( ) - 169 x2 + 58x + 841 6) On factorise le trinôme carré parfait : (x + 29)2 - 169 7) On factorise par une différence de carré : (x + 29)2 - 169 (x + 29) 13 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : - 13 ( (x + 29) ) + 13 ( (x + 29) ) (x + 29 - 13 ) (x + 29 + 13) 8) On complète les calculs : (x + 16) (x + 42)

x2 - x Factorise : 2x2 – 2x - 60 Ce terme n’est pas un carré; Attention : il faut donc faire une simple mise en évidence comme première étape afin que ce premier terme devienne un carré. 2 ( x2 – x – 30 ) On travaille alors avec l’intérieur de la parenthèse. 1) Déplacer le 3e terme : 2 ( x2 - x - 30 ) 2) Déterminer un nouveau terme à l’aide de la formule : T2 2 X T1 2 T3 = -1x 2 X x2 2 -1x 2 X x 2 -1 2 1 4 = = = = 3) Insérer ce terme avec les deux premiers pour former un trinôme carré parfait : 2 x2 – x - 30 1 4 + 1 4 - 4) Pour ne pas changer la valeur du trinôme de départ, on soustrait la même quantité au terme constant.

1 4 + 1 4 - 5) On regroupe le tout : 2 x2 – x - 30 2 x2 – x 1 4 - 120 + 6) On factorise le trinôme carré parfait : x 1 2 - 121 4 7) On factorise par une différence de carré : x 1 2 - 121 4 2 x 1 2 - 11 2 en se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués.

En se souvenant qu’une différence de carrés provient de facteurs conjugués : 11 2 x 1 - + 2 x 1 - 11 + 2 x 1 - 11 + 8) On complète les calculs : 2 x - 12 10 + (x – 6) (x + 5) 2

La technique de complétion du carré est l’outil le plus utile avec les polynômes du second degré. Au début, elle semble un peu lourde pour le débutant, mais avec la pratique, elle est la technique la plus rapide et la plus efficace. Elle factorise, détermine les zéros de fonction et résout les équations du second degré de n’importe quel polynôme factorisable.