La forme exponentielle

La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur. 5 1 = 5 2 3 = 2 X 2 X 2 3 5 = 3 X 3 X 3 X 3 X 3 10 6 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 5 4 À l’inverse, 5 X 5 X 5 X 5 = On ne multiplie pas les facteurs entre eux. On écrit le facteur et l’exposant qui indique combien de fois le facteur s’est multiplié par lui-même.

2 = 8 2 l’exposant. base. puissance. = 2 X 2 X 2 = 8 Vocabulaire Le nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même s’appelle l’exposant. On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. Le facteur qui se répète s’appelle la base. Le produit de cette multiplication répétée s’appelle la 3 2 = 8 puissance. 2 3 = 2 X 2 X 2 = 8 Loi 1 : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. C’est la loi la plus importante.

Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle. 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 56 2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 22 X 33 X 73 Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables; on les réunit par le signe de multiplication puisque c’est une multiplication de facteurs. 2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 = 23 X 32 X 52 X 7 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = 23 X 32 X 52 X 7 Remarque : On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication. 1,25 X 1,25 X 1,25 = 1,253 2 5 3 2 5 X = On met des parenthèses, car c’est toute la base qui est affectée de l’exposant 3. 2 5 -7 X -7 X -7 X -7 = ( -7 )4 On met des parenthèses, car c’est toute la base -7 qui est affectée de l’exposant 4.

xy yx ^ yx Détermine la puissance des expressions suivantes. 25 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 32 xy yx avec la calculatrice, utiliser la touche : ^ ou ou yx = Exemple : 25 = 2 5 : 32 53 = 125 1,174 = 1,87388721 0,52 = 0,25 0,53 = 0,125 106 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 1 000 000 15 = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1

Selon la loi sur la multiplication de fractions. 2 5 = 2 5 X = 4 25 Selon la loi sur la multiplication de fractions. 2 5 3 = 2 5 X = 8 125 Base négative : (-2)2 = -2 X -2 = 4 Qu’en déduis-tu ? (-2)3 = -2 X -2 X -2 = - 8 (-2)4 = -2 X -2 X -2 X -2 = 16 (-2)5 = -2 X -2 X -2 X -2 X -2 = - 32 Règle : Une base négative affectée d’un exposant pair donne toujours une puissance positive. Une base négative affectée d’un exposant impair donne toujours une puissance négative.

Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. Exemple : 23 = 2 X 2 X 2 peut s’écrire 23 = 21 X 21 X 21 Un nombre, sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 : 2 = 21 Une lettre , sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 : x = x1 21 X 21 X 21 = 23 soit 21+1+1 = 23 Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. 23 X 22 = 23+2 = 25 21 X 21 X 21 21 X 21 = X 25 x . x . x = x3 Loi 2 : am X an = am + n

x2 X x2 = x4 Réduis les expressions suivantes. 33 X 32 = 35 On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants. 1,252 X 1,25 = 1,252 X 1,251 = 1,253 x2 X x2 = x4 3 4 X 2 = 3 4 5 (-8)2 X (-8) = ( -8 )3 2x X 2x = 2 X x X 2 X x = 22 x2 = 4 x2 (ab)2 X (ab)2 = (ab)4 (x + 3) X (x + 3)2 = (x + 3)3

Réduis les expressions suivantes. 22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52 = 25 X 33 X 53 32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52 = 24 X 35 X 54 Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers. 2 X 3 X 6 X 9 X 4 = 2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22 = 24 X 34 24 X 12 = 23 X 3 X 22 X 3 = 25 X 32

Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Exemple : 25 ÷ 22 = 25 – 2 = 23 Démonstration 25 22 Écrivons 25 ÷ 22 sous la forme d’une fraction : Une division est une fraction. 25 22 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 2 X 2 Développons : = 23 Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. x4 ÷ x3 = x 4 – 3 = x Loi 3 : am ÷ an = am - n

x2 ÷ x = x x3 ÷ x2 = x x2 Réduis les expressions suivantes. 35 ÷ 32 = 35 ÷ 32 = 33 27 ÷ 23 = 24 x2 ÷ x = x x3 ÷ x2 = x 4x3 ÷ 2x2 = 22 x3 ÷ 2 x2 = 2x 6x3 x2 = 6x ( a + 3 )3 ÷ ( a + 3 )2 = ( a + 3 )1 = ( a + 3 )

Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. 27 ÷ 23 = 27 – 3 = 24 22 ÷ 22 = 22 – 2 = 20 = 1 ? 1 2 22 ÷ 23 = 2-1 =

Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base. -1 -1 -1 -1 -1 Démonstration 23 22 21 20 2-1 2-2 8 4 2 1 2 1 4 1 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base. Loi 4 : Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1. Loi 4 : a0 = 1 Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse. Loi 5 : 1 2 -1 = 2 1 = 1 2 -2 = 2 1 = 2 1 2 1 X 4 1 2-1 = 2-2 = = a-1 = a 1 Loi 5 : On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

Calcule les expressions suivantes. 5 1 -3 = 1 5 3 = 5-3 = 1 5 X = 1 125 1 2 -2 = 2 1 = 2 1 X = 4 2 3 -2 = 3 2 = 3 2 X = 9 4 = 2,25 a b -3 = b a 3 = b a X = b3 a3 5 10 -2 = 1 2 -2 = 2 1 = 4

2-2 3-1 = 3 4 , 2-2 3-1 = 2-2 1 X 3-1 = 1 22 X 31 = 3 22 = 3 4 car Règle : Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté d’un exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa. 2-2 3-1 = 31 22 1 a2 Le numérateur est alors 1. a-2 = 2 3-1 = 2 X 31 = 6 2-2 3 = 1 22 X 3 = 1 4 X 3 = 1 12 2-1 X 3 X 5-2 X 7 = 3 X 7 2 X 52 = 21 50 = 0,42 2-2 X 2 X 3-2 5 X 3-1 = 2 X 3 22 X 5 X 32 = 2 X 3 2 X 2 X 5 X 3 X 3 = 1 2 X 5 X 3 = 1 30

Loi 1 : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. Loi 1 : am = a X a X a X a X … m fois Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. Loi 2 : am X an = am + n Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Loi 3 : Loi 3 : am ÷ an = am - n Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1. Loi 4 : Loi 4 : a0 = 1 Loi 5 : Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse. a-1 = a 1 Loi 5 : On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

x x x x Simplifie les expressions suivantes. a2b0 = a2 X b0 = a2 X 1 = am X an = am + n am ÷ an = am - n a-1 = a 1 am = a X a … m fois a0 = 1 - 1 5 2 = - 1 5 X = 1 25 (- 5)-2 = 3a X 3a X a = 32a3 = 9a3 2 X 5-1 = 1 5 2 X = 2 5 4a-1 = 4 X a-1 = 4 X 1 a = 4 a 3 = x -2 3 1 X x -2 = x 2 3 X = 3 x 2 2 5-2 = 50, car 2 = 1 5-2 X 2 = 52 X 2 X 5 X 5 = 50

Calcule les expressions suivantes. 72 ÷ 7-2 = 2 401, car 72 - -2 = 72+2 = 74 = 2 401 am X an = am + n am ÷ an = am - n a-1 = a 1 am = a X a … m fois a0 = 1 (2x)3 = 8x3, (2x)3 = 2x X 2x X 2x = 23 x3 = 8x3 car 4 5 -1 = 4 5 -1 = 5 4 1 = 1,25, car 1,25 1 10 2 = 1 100 = 10-2 = 0,01, car 10-2 = 0,01 55 X 5-2 = 125 soit 55 + -2 = 55 -2 = 53 = 125 soit 55 X 5-2 = 55 X 1 52 = 55 52 = 53 = 125 70 X 72 = 49, car 70 X 72 = 1 X 72 = 72 = 49 ( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0 = 1

c b-3 = cb3 a-2 b 3 = b 3a2 On écrit les coefficients (les nombres) en premier. a2 b-3 c-4 d2 = a2 c4 b3 d2 a-2 b2 a2 b-2 = 1 soit a-2 b2 a2 b-2 = a-2 a2 b2 b-2 = a-2+2 b2+-2 = a0 b0 = 1 X 1 = 1 soit a-2 b2 a2 b-2 = a2 b2 = 1 ( x + 1 ) = 1 ( x + 1 )2 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) Que vaut l’exposant dans cette expression ? 4 x = 1 16 x = -2

Il faut bien connaître ses lois. Attention - 5 3 = 1 1 - 125 ( - 5 ) -3 = Inverser la base change le signe de l’exposant. Inverser la base ne change pas le signe de la base. Cependant, - 5 2 = 1 1 + 25 ( - 5 ) -2 = Un exposant pair donne toujours une puissance positive. Il faut bien connaître ses lois.

Précision 24 22 = 24 22 = soit 24 ÷ 22 = 24 – 2 = 22 24 22 = 2 X 2 X 2 X 2 2 X 2 = 1 1 soit 22 22 24 = 1 22 24 = 1 22 soit 22 ÷ 24 = 22 – 4 = 2-2 = 22 24 = 1 2 X 2 2 X 2 X 2 X 2 = 1 soit 1 22

Loi 6 : Lorsqu’une puissance se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec l’exposant de la base à l’intérieur. Loi 6 : ( am )n = am X n Démonstration : (32)3 = 32 X 32 X 32 = 36 Donc, (32)3 = 32 X 3 = 36 Exemples : (22)3 = 22 X 3 = 26 (a5)3 = a5 X 3 = a15 ( (-5)3 )4 = (-5)3 X 4 = (-5)12 On met des parenthèses, car c’est toute la base -5 qui est affectée par les exposants.

Loi 7 : Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit d’élever chaque facteur à cette puissance. Loi 7 : (ab)m = ambm Exemple : ( 2 X 5 )3 = 23 X 53 ( 10 )3 = 8 X 125 1 000 = 1 000 La première loi dit : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. Donc, ( 2 X 5 )3 = (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 = 23 X 53 Exemples : ( 22 X 3 )2 = ( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ), donc 22 X 22 X 3 X 3 = 24 X 32 ( 74 X 52 )3 = 74 X 3 X 52 X 3 = 712 X 56

Cette loi n’est vraie que s’il n’y a que des facteurs dans la parenthèse. Exemples : ( 23 X 32 )2 = 26 X 34 = 5 184 64 X 81 = 5 184 En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier : ( 23 X 32 )2 = ( 8 X 9 )2 = 722 = 5 184 ( 23 + 32 )2 = 26 + 34 = 145 Faux ! 64 + 81 = 145 En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier : ( 23 + 32 )2 = ( 8 + 9 )2 = 172 = 289 22 X 23 = 22 + 3 = 25 Attention : Loi 2 : ( 22 )3 = 22 X 3 = 26 Loi 6 :

Problèmes (63)2 = 66 1 53 , 1 53 (5-1)3 = car (5-1)3 = 5-3 = (22 X 53)2 = 24 X 56 (3x2)2 = 9x4, car (3x2)2 = (31 . x2)2 = 32 . x4 = 9 . x4 = 9x4 (-2y)2 = 4y2 (-2y)3 = -8y3 (-5xy)3 = -125x3y3 1 x2 y2 X = 1 x2y2 1 x2y2 , (xy)-2 = car (xy)-2 = x-2 y-2 = a6 b18 , a6 b18 (ab2a-3b4)-3 = car (ab2a-3b4)-3 = a-3 b-6 a9 b-12 = a6 b-18 =

Écris les expressions suivantes selon la base exigée. 83 en base 2 : 29 , car 83 = (23)3 = 29 94 en base 3 : 38 , car 94 = (32)4 = 38 42 X 8-3 en base 2 : 2-5 , car 42 X 8-3 = (22)2 X (23)-3 = 24 X 2-9 = 2-5 Ici, on laisse l’exposant négatif, car on doit écrire l’expression en base 2. 42 X 2-3 en base 2 : 2 , car 42 X 2-3 = (22)2 X 2-3 = 24 X 2-3 = 2 Pour écrire l’exposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non 2. 2 (36)3 en base 6 : 66 , car (36)3 = (62)3 = 66 33 X 73 en base 21 : 213 , car 33 X 73 = (3 X 7)3 = 213 Si on peut insérer un exposant à l’intérieur, on peut aussi le sortir ! 123 en base 2 et 3 : 26 X 33 , car 123 = (4 X 3)3 = (22 X 3)3 = 26 X 33 (a(n+2))2 = a2n+4 , car (a(n+2))2 = a2(n+2) = a2n+4 Petit défi (a+b)(2n-6) 2 ÷ (a+b)(n-3) 4 = (a+b)(2n-6) 2 ÷ (a+b)(n-3) 4 = 1, car (a+b)2(2n-6) ÷ (a+b)4(n-3) = (a+b)(4n-12) ÷ (a+b)(4n-12) = 1 Une quantité divisée par elle-même donne 1.

Loi 8 : Lorsqu’un quotient de puissance (une fraction) se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur. Loi 8 : a b m = 2 5 3 = 2 5 X = 23 53 Démonstration : 2 5 3 = 23 53 Donc, Calcule les expressions suivantes. 2 3 = 22 32 = 4 9 3a 4b2 3 = 3 X a 4 X b2 3 = 33 a3 43 b6 = 27 a3 64 b6 Attention : l’exposant multiplie chacun des facteurs.

Calcule les expressions suivantes. y 3 = x6 y3 2x 3y -2 = 2x 3y -2 = 3y 2x 2 = 9y2 4x2 , 3 y 2 x 2 = 9y2 4x2 car x-2 3y-1 2 = x-2 3y-1 2 = y 3x2 2 = y2 9x4 , y 3 x 2 = y2 9x4 car 153 53 = (3 X 5)3 53 = 33 X 53 53 = 153 ÷ 53 = 27 , car 153 ÷ 53 = 33 = 27 1 5a 2 = 1 5a 2 = 1 25a2 , 12 52 a2 = 1 25a2 car 3 5 = 27 125

Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes. Simplifie les expressions suivantes. 42 18 2 = 2 X 3 X 7 2 X 3 X 3 2 = 7 3 2 = 49 9 216 36 2 = 216 36 2 = 23 X 33 22 X 32 2 = 36, car (2 x 3)2 = 62 = 36 4 9 3 x = 4 9 3 x = 22 32 3 X = 27 1 , 33 26 36 X = 1 33 = 1 27 car 9 000 50 2 500 300 X 2 = 9 000 50 2 500 300 X 2 = 2 250 000, car 52 X 102 3 X 102 32 X 103 5 X 10 X 2 = 34 X 106 52 X 102 X 54 X 104 32 X 104 = 34 X 54 X 1010 32 X 52 X 106 = 32 X 52 X 104 = 2 250 000

9 9 3 = = yx yx Les exposants fractionnaires 1 2 Un exposant fractionnaire signifie que l’on doit calculer une racine. Avec ta calculatrice, calcule 9 : 3 Avec ta calculatrice, calcule 9 yx ( 1 ÷ 2) = 3 Avec ta calculatrice, calcule 8 : 3 2 Avec ta calculatrice, calcule 8 yx ( 1 ÷ 3) = 2

8 = 2 La forme radicale Vocabulaire L’indice. Il indique la grandeur de l’extraction. Vocabulaire 8 3 = 2 La racine. Le radical. C’est la réponse. 2 est donc la racine cubique de 8. Le radicande. C’est le symbole qui indique que l’on doit extraire une racine. C’est le nombre que l’on doit extraire. 3 Remarque : se prononce la racine cubique. 2 se prononce la racine carrée. L’indice est alors 2. Par convention, on ne l’écrit pas, mais il faut se souvenir qu’il est là.

8 8 8 2. 25 25 25 5. La forme radicale Sens 1 3 1 2 3 signifie : quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ? Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = 8. 8 3 8 1 3 . L’expression est donc égale à 2. peut donc s’écrire 25 signifie : quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ? Ce nombre est 5 car 5 X 5 = 25. 25 25 1 2 . L’expression est donc égale à 5. peut donc s’écrire

La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels. Remarque La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels. Exemple : - 4 signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ? Ce nombre n’existe pas, car 2 X 2 = 4 -2 X -2 = 4 - 4 provient de 2 X -2 ; ce sont deux nombres différents. La racine cubique d’un nombre négatif existe dans les réels. - 8 3 Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ? Ce nombre est -2, car -2 X -2 X -2 = -8

Écrire une forme radicale en forme exponentielle. 3 8 3 1 1 = 8 Il faut se souvenir que l’exposant de 8 est 1. Cet exposant est le numérateur de la fraction. L’indice du radical est le dénominateur de la fraction. Cette forme d’écriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes. 8 3 = 2 3 = 2 3 = 2 1 = Exemple : 2 Loi 9 : am n = a m

Simplifie les expressions suivantes. = x 4 2 = x2 , x4 = x 2 car 64 = 3 64 = 3 26 = 3 2 6 3 = 2 = 4 4 , car 8 X 8 X 8 X 8 = 3 16 , car 8 X 8 X 8 X 8 = 3 23 X 23 X 23 X 23 = 3 212 = 3 2 12 3 = 2 4 = 16 2 = 4 8 16 = 4 2 16 = 4 2 (2 ) = 4 2 2 = 4 8 2 = 4 , car 4 x = 3 x = 3 x = 3 1 x = 3 1 X x 3 = x , x car

Loi des radicaux La forme radicale peut s’écrire en forme exponentielle, donc les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants. Nous allons nous attarder à deux lois en particulier : Loi 10 : a X b = a b b a Loi 11 : =

Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi. X b = a b Démonstration : 4 X 9 = 36 = 6 2 X 3 = 6 Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi. 3 X 9 Exemple : ≈ 1,442… X ≈ 2,08… ≈ 2,9993… 3 X = 9 27 = 3 33 = 3 Mais, 3 Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes. 3 X = 9 27 3 4 X 9 = 36 3 X 9 La loi ne s’applique pas.

b a Loi 11 : = 16 4 = 4 16 = Démonstration : 4 = 2 16 4 = 4 = 2 2 Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi. 20 5 ≈ ≈ 4,47… Exemple : ≈ 2,004… ≈ 2,23… Mais, 20 5 = 5 20 = 4 = 2 Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.

3 5 3 5 Calcule les expressions suivantes. 25 X = 5 52 X = 5 52 X 5 = 53 = 3 5 32 2 X = 64 = 8 3 5 2 = 1 3 5 = 2 3 5 2 = 3 5 2 = 3 5 16 25 = 25 16 = 4 5 64 27 = 3 27 64 = 3 3 4

Calcule les expressions suivantes. = x2 4 X = 2 . x = 2x ou simplement 4x2 = 2x 8x3 = 3 = x3 8 X 3 2 . x = 2x 8x3 = 3 ou simplement 2x a2 X b2 = b2 a2 X = a X b = ab a2 + b2 La loi ne s’applique pas, car ce ne sont pas des facteurs.

x y a a a a a Soit Soit (x4 y-1) (x4 y-1) x8 y-2 = x8 y-2 = Quelques défis. Donne la réponse en forme radicale. a 2 3 1 ÷ = a 2 3 1 - = a 4 6 3 - = a 1 6 = a 6 Calcule la valeur de cette expression. 3 64 = 4 = 2 3 (x4 y-1) 6 Simplifie l’expression : Soit x 24 3 y - 6 = 3 (x4 y-1) = 6 3 x24 y-6 = x8 y2 x8 y-2 = Soit (x4 y-1) 6 3 = (x4 y-1) 2 = 3 (x4 y-1) = 6 x8 y2 x8 y-2 =

Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base 2. 64 2n + 1 4 3n - 1 = 4 3n + 4 2 6n + 8 et 64 2n + 1 4 3n - 1 = 64 (2n + 1) 4 (3n – 1) = 4 (2n + 1) (3n – 1) = 3 4 (2n + 1) (3n – 1) = 3 4 6n + 3 (3n – 1) = 4 6n + 3 (3n – 1) ÷ = 4 6n + 3 - (3n – 1) = 4 6n + 3 - 3n + 1 = 4 3n + 4 = 4 3n + 4 = (22) 3n + 4 2 2(3n + 4) = 2 6n + 8