Bruno Canivenc, IUFM, Université d’Aix-Marseille NUMERATION AU CYCLE 3 Bruno Canivenc, IUFM, Université d’Aix-Marseille

PLAN 1) Numération entière du cycle 2 à la classe de sixième 2) Numération fractionnaire et décimale du cycle 3 à la classe de sixième 3) Conséquences sur les progressions annuelles

du cycle 2 à la classe de sixième 1) Numération entière du cycle 2 à la classe de sixième

Numération entière du cycle 2 à la sixième L’essentiel de la numération entière est construit de la GS au CM2, le collège devra consolider les acquis et introduire quelques autres écritures (2,3 millions en sixième; puissances de 10 et écriture scientifique en quatrième pour les petits et les grands nombres) Évaluations : des lacunes dans la compréhension de la valeur des chiffres dans un nombre et dans la maîtrise des grands nombres pour un nombre significatif d’élèves

Numération entière du cycle 2 à la sixième Rôle déterminant du cycle 2 dans la construction de la notion de dizaine, centaine, millier d’unités Importance de la manipulation effective de matériel de numération pour percevoir la dizaine comme un regroupement de dix unités et comme un tout (idem pour la centaine) et de la verbalisation pour atteindre l’abstraction. Regroupement et échange sont complémentaires Importance de la frise numérique linéaire et du tableau avec des lignes de dizaines pour s’approprier l’ordre et la régularité dans l’écriture des nombres

Numération entière du cycle 2 à la sixième 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Numération entière du cycle 2 à la sixième L’importance de la reconnaissance immédiate est bien connue pour les premiers nombres et souvent travaillée à partir des doigts, de la constellation du dé et parfois d’autres matériels (cartes à 10, boîte de Picbille…) La reconnaissance immédiate de paquets de 10 ou de deux paires de mains(je vois 3 paquets de 10 ou 3 paires de mains, on me montre donc 30) est souvent moins systématisée, elle est pourtant une aide précieuse pour reconnaître 35 sans dénombrer les 35 éléments présentés, pour peu qu’on entraîne par ailleurs la récitation de la suite à partir de n et de 10 en 10

Numération entière du cycle 2 à la sixième Difficultés dans l’écriture des dizaines 70, 80 et 90 atténuées par l’introduction simultanée des dizaines 60 et 70 d’une part, 80 et 90 d’autre part. Penser aussi à l’utilisation des cartons du type de ceux utilisés dans la pédagogie Montessori : carrés des unités, rectangles des dizaines, rectangles plus grands des centaines, etc… qui se placent l’un sur l’autre pour ne pas « perdre » le 0 de la dizaine quand on écrit 64 à partir de 60 et 4, il est seulement caché !

Numération entière du cycle 2 à la sixième 4 6 2 5

Numération entière du cycle 2 à la sixième Rien ne justifie l’importance accordée dans les manuels et dans les évaluations de classe à la question : « quel est le nombre de dizaines dans 325? » L’énorme difficulté de vocabulaire plaide pour utiliser longtemps une formulation du type : « combien y a-t-il de paquets de 10? » ou « combien y a-t-il de dizaines en tout? ».

Relations arithmétiques entre nombres Les programmes énoncent trois types de relations différentes mais complémentaires : double, moitié ou demi, triple, quart : ces expressions ne sont pas forcément reliées aux fractions. En effet, elles font appel à des relations fondamentales entre les nombres qui doivent être connues : la moitié de 30 est 15 ; le quart de 80 est 20 ; relations entre des nombres d’usage courant : les décompositions additives et multiplicatives des nombres 100, 1 000 doivent faire l’objet d’une attention particulière. Par exemple : 100 = 20 × 5 ; 100 = 4 × 25 ; 100 = 10 × 10 ; 100 = 75 + 25 ; 100 = 50 + 50 ; ≪ 25 est le quart de 100 ≫ ; 100 : 4 = 25 la notion de multiple : peut être abordée dès le CE2. Elle permet de mettre en évidence une caractéristique de certains nombres (par exemple, ≪ dans 30, il y a 6 fois le nombre 5 ≫). Le travail sur la division dépend de la qualité de cet apprentissage, bien différent de l’étude de critères de divisibilité qui ne sont pas exigibles.

Voir deux extraits du document « Ressources pour faire la classe, Les grands nombres Voir deux extraits du document « Ressources pour faire la classe, Le nombre au cycle 3 » Lien entre les unités avec la collection d’étoiles organisée dans l’espace, page 17 Plusieurs techniques de dénombrement d’une collection organisée avec du matériel de numération, page 20

Les grands nombres La contextualisation des grands nombres dans des domaines disciplinaires divers est indispensable : les longueurs : distance Paris/New York : 5 828 km (environ 6 000 km), distance Paris/Sydney : 16 970 km, distance moyenne Terre/Lune : 384 400 km, distance moyenne Terre/Soleil : 149 600 000 km ; les aires : superficie de la France : 551 695 km2 (soit 551 695 millions de m2, ou 551 695 000 000 m2), superficie du Portugal : 91 950 km2 ; les masses : masse de déchets électriques, en France, en 2007 : 172 800 tonnes le temps : apparition des algues : il y a 450 000 000 d’années, apparition des plantes à fleurs : il y a 120 000 000 d’années, nombre de secondes en une semaine : 604 800 secondes ; la monnaie : prix d’un avion (exemple de l’Airbus A380… à ce jour) : 218 385 000 euros, montant du Smic.. mais aussi en géographie : population de Marseille, de la France, de l’Union Européenne, de la Terre

Numération entière du cycle 2 à la sixième Repères pour la progressivité des apprentissages CP CE1 Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100 Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc.

Numération entière du cycle 2 à la sixième Repères pour la progressivité des apprentissages CE2 CM1 Les nombres entiers jusqu’au million Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au million Comparer, ranger, encadrer ces nombres Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart Connaître et utiliser certaines relations : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60 Les nombres entiers jusqu’au milliard Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusqu’au milliard La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres d’usage courant : 5,10, 15, 20, 25, 50

Numération entière du cycle 2 à la sixième Le programme de la classe de sixième, dans la partie » Nombres et Calculs » détaille les capacités suivantes: Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un entier ou d’un décimal Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales Comparer deux nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres Placer un nombre sur une demi-droite graduée Lire l’abscisse d’un point ou en donner un encadrement Donner une valeur approchée décimale d’un décimal à l’unité, au dixième, au centième près.

Numération entière du cycle 2 à la sixième Le programme de sixième précise en commentaires : l’objectif est d’assurer une bonne compréhension de la valeur des chiffres en fonction du rang qu’ils occupent dans l’écriture à virgule, sans refaire tout le travail réalisé à l’école élémentaire La bonne compréhension s’appuie sur le sens et non sur les procédures Les procédures utilisées pour comparer, encadrer, intercaler des nombres sont justifiées en s’appuyant sur la signification des écritures décimales ou le placement des points sur une demi-droite graduée

2) Numération fractionnaire. et. décimale du cycle 3 à la. classe. de 2) Numération fractionnaire et décimale du cycle 3 à la classe de sixième a) continuité cycle 3 / sixième b) quelle introduction au CM1? c) quelle étude au CM2? d) calcul avec les décimaux

a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième Programmes du cycle 3 et du collège conçus et écrits dans une vraie continuité pour l ’étude de la numération fractionnaire et décimale Choix déjà fait depuis plusieurs programmes est réaffirmé : le nombre décimal se construit mieux sur le long terme s ’il est introduit à partir des fractions décimales (mais cette construction est difficile et longue !)

a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième Extrait du document d ’accompagnement « Nombres » du programme de collège : « A l ’école primaire, les fractions sont introduites en vue d ’aider à la compréhension des nombres décimaux : des fractions simples sont d’abord utilisées (dénominateurs 2, 4 ou 5), mais ce sont les fractions décimales qui sont véritablement visées de façon à pouvoir interpréter, par exemple 2,405 comme ou »

a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième « Dans ce but, les fractions sont définies en référence au partage de l ’unité, soit dans des situations de mesure (longueurs, aires…) soit dans des situations de repérage de points sur une ligne graduée régulièrement. Une fraction comme évoque ce qui est obtenu en partageant l ’unité en 4 parts égales et en reportant 7 de ces parts, ce qui correspond d ’ailleurs à la lecture « sept quarts ». c ’est 7 fois le quart de l ’unité. »

a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième « Au collège, dès la classe de sixième, l ’écriture fractionnaire prend une autre signification : c ’est le quart de 7 (donc représentée en reportant 7 fois l ’unité, puis en partageant ce qui est obtenu en 4 parts égales) et c ’est aussi le nombre qui, multiplié par 4 donne 7 (4 x = 7 ) . L ’équivalence entre ces deux significations (7 fois un quart et le quart de 7) ne va pas de soi…et doit faire l ’objet de justifications en sixième... »

a) Continuité du cycle 3 à la classe de sixième Des capacités du programme de sixième : - connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l ’écriture d ’un entier ou d ’un décimal ; - associer diverses désignations d ’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales ; - comparer des nombres entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres ; - encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres ; - placer un nombre sur une demi-droite graduée ; - lire l ’abscisse d ’un point ou en donner un encadrement

b) Quelle introduction au CM1? La première question à se poser est : Qu’est-ce qui va permettre à des élèves de 9 ou 10 ans de comprendre que cette écriture fractionnaire mystérieuse correspond à un nombre? Pour le moment, les seuls nombres connus sont les nombres entiers et on a rencontré les demis et les quarts en apprenant à lire l ’heure. De nouveaux objets mathématiques (fractions au CM1, radicaux en quatrième…) prennent lentement le statut de nombres…mais comment?

b) Quelle introduction au CM1? Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants : - utilité dans des situations de mesure

b) Quelle introduction au CM1? Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants : - utilité dans des situations de mesure - utilité pour se repérer sur une droite

b) Quelle introduction au CM1? Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants : : - utilité dans des situations de mesure - utilité pour se repérer sur une droite - possibilité de les comparer entre eux et avec les nombres déjà connus

b) Quelle introduction au CM1? Ces nouveaux objets acquerront progressivement le statut de nombre. Il faudra comprendre des propriétés qui permettent de les caractériser, en rupture ou en continuité avec les nombres connus et en abordant les pôles suivants : - utilité dans des situations de mesure - utilité pour se repérer sur une droite - possibilité de les comparer entre eux et avec les nombres déjà connus - possibilité d ’effectuer des calculs

b) Quelle introduction au CM1? D ’où la progression proposée : introduction à partir de partage en parts égales de disques, rectangles… utilisation d ’une bandelette unité (de longueur 7cm par exemple) pour mesurer la longueur de segments ou ou exercices de comparaisons, de classements de segments en fonction de leur longueur découverte de la possibilité d ’écritures différentes de la même mesure, par exemple et

b) Quelle introduction au CM1? transport de la bandelette-unité marquée avec les plis (quarts, demis) sur une droite que l’on gradue et sur laquelle on va commencer à lire l’abscisse de points et à placer des points d’abscisse donnée et se familiariser avec le fait que correspond au même point que 1, que correspond au même point que 2... rencontre éventuelle avec les tiers et les neuvièmes, au moins sur la droite graduée reprise d ’un travail de mesure de longueurs avec une bandelette-unité partagée en 10 parts égales, de comparaisons et classements, graduation d’une droite

b) Quelle introduction au CM1? introduction souhaitable des centièmes, toujours à partir de mesure de longueurs, puis graduation d ’une droite à l ’aide de dixièmes et centièmes, lecture d ’abscisses de points, placement de points introduction du grand carré unité partagé en 100 carrés. Chaque petit carré représente , chaque ligne représente à la fois et . familiarisation avec le codage sur ce carré des fractions inférieures à 1 ( )puis supérieures à 1

b) Quelle introduction au CM1?

b) Quelle introduction au CM1? ce support, permettant de coder toutes les fractions, inférieures ou supérieures à 1(avec un carré unité ou plusieurs carrés unités), sera utilisé pour décomposer des écritures comme : mais aussi on introduira alors la convention d’écriture avec la virgule, écriture commode inventée au 17ème siècle : peut aussi s ’écrire 1,23 qui se lit « 1unité et 23 centièmes » ou « 1 unité 2 dixièmes et 3 centièmes » ou « 1 virgule 23 ».

b) Quelle introduction au CM1? C’est le carré unité qui sera le support pour comparer et et permettre le passage de l ’écriture fractionnaire à l ’écriture à virgule. Pour écrire avec l ’écriture à virgule , je colorie d ’abord 200 petits carrés, donc je remplis complètement 2 grands carrés unités et aussi 5 lignes (donc 5 dixièmes ) et 7 petits carrés (donc 7 centièmes). Ce nombre s ’écrit donc aussi: 2,57. Un affichage permanent montrera un exemple de passage d ’une écriture à l ’autre (dans les deux sens)

b) Quelle introduction au CM1? une fois l ’écriture à virgule introduite, on va prolonger le tableau de la numération entière en rajoutant les colonnes et (et on ne pourra se contenter d ’écrire en lettres « dixièmes » et « centièmes », l ’écriture fractionnaire est indispensable longtemps) et on va à nouveau reprendre la droite graduée pour travailler le lien entre 1,2 et , entre 0,7 et , entre 2 et . Même chose avec les centièmes il reste à comparer et ranger des nombres en écriture à virgule, en se limitant à des nombres au même format

c) Quelle étude au CM2? On ne répète pas l’étude du CM1, on reprend l ’étude en proposant des exercices sur la droite graduée avec des nombres en écriture fractionnaire ou à virgule, on reprend les grands carrés unités de 100 carreaux pour le passage d’une écriture à l’autre, on poursuit les comparaisons et les rangements de nombres au même format, on dicte des nombres lors des séances de calcul mental On introduit les millièmes et les dix-millièmes. On prolonge encore le tableau de la numération et on reprend les mêmes types d ’exercices que ceux faits avec les dixièmes et les centièmes

c) Quelle étude au CM2? On va consolider des capacités autour de la décomposition d ’un nombre en écriture fractionnaire sous la forme de la somme d ’un entier et d’une fraction inférieure à 1et poursuivre la systématisation du passage d ’une écriture à une autre, l ’encadrement d ’une fraction entre deux entiers consécutifs, l ’addition de fractions de même dénominateur On va poursuivre le travail sur la droite graduée, les comparaisons et rangements de nombres décimaux et on décomposera un nombre décimal sous la forme : 23,475 = 2x10 + 3x1 + 4x0,1 + 7x0,01 + 5x0,001

d) Calcul avec les décimaux Le programme de l’école élémentaire n’est pas très raisonnable et semble privilégier le travail de la technique au détriment d’un travail préalable sur le sens de l’opération et la compréhension de la technique La multiplication de décimaux ainsi que la division décimale d’entiers et la division d’un décimal par un entier sont massivement échouées à l’entrée en sixième et sont reprises en classe de sixième, tant pour le sens que pour la technique La division de deux décimaux n’est enseignée qu’en classe de cinquième.

3) Conséquences sur les progressions annuelles

3) Conséquences sur les progressions annuelles Les acquisitions sur la numération entière sont lentes et progressives pour de nombreux élèves : laissons-leur le temps nécessaire . Il est difficile en sixième de revenir sur ces apprentissages maîtrisés par la grande majorité des élèves alors que le programme fait la part belle aux écritures fractionnaires et à virgule. Le calcul mental apporte une aide précieuse pour les apprentissages de numération et donne l’occasion de les entretenir

3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2 les apprentissages en numération sont nombreux et nécessitent beaucoup de temps les apprentissages en calcul sont nombreux au CM1: - addition et soustraction de deux décimaux, - multiplication d ’un décimal par un entier, - division décimale de deux entiers (!) il faut laisser du temps pour tous ces apprentissages (numération et calcul), d ’où la nécessité de débuter l ’étude des fractions tôt dans l ’année

3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2 Il s’agit donc de ne pas traiter toute la numération entière avant d ’aborder la numération fractionnaire et décimale. Il est inutile de savoir lire et écrire un grand nombre tel que 20 030 051 007 pour comprendre ce qu’est un dixième… Au CM1, à la rentrée, réactiver et consolider des capacités autour de la compréhension de la valeur des chiffres dans l ’écriture d ’un nombre, comparer des entiers et dès octobre/novembre, aborder les fractions. Double but : prendre du temps pour enseigner fractions et décimaux et en avoir pour le calcul en fin d’année

3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2 Bloc « numération entière » fractionnée en trois parties, dont une en fin d ’année, une fois les décimaux introduits Penser à entretenir les capacités acquises en numération entière quand on traite la numération fractionnaire ou décimale et vice-versa : le calcul mental est un bon moyen !

3) Conséquences sur les progressions annuelles en numération au CM1 et au CM2 Les nombres connus sont les nombres entiers, fractionnaires et décimaux : on reprend leur étude dès le début de l ’année, sans « organiser » l ’oubli du travail fait par les collègues de CM1et on alterne des temps de travail autour de la numération entière et des temps, plus nombreux, autour de la numération fractionnaire et décimale. Pendant tout le CM2, on continue de travailler l ’articulation écriture fractionnaire/écriture à virgule qui sera encore au cœur de la progression de la classe de sixième

En guise de conclusion...

En guise de conclusion…(1) Les compétences en numération se construisent durablement à plusieurs conditions : - les élèves comprennent le système d ’écriture - les nombres sont des outils pour résoudre des problèmes -on effectue des calculs avec les nombres et, en particulier, du calcul mental Il y a interaction entre la construction des compétences en calcul mental et des compétences en numération

En guise de conclusion…(1) Les compétences en numération se construisent durablement à plusieurs conditions : - les élèves comprennent le système d ’écriture - les nombres sont des outils pour résoudre des problèmes -on effectue des calculs avec les nombres Il y a interaction entre la construction des compétences en calcul mental et des compétences en numération

En guise de conclusion…(2) Le programme de la classe de sixième n’a pas accru les exigences en calcul : il revient longuement sur la multiplication de deux décimaux, dont seule la technique est à peu près maîtrisée (et encore…), mais que la majorité des élèves sont incapables d ’utiliser en situation de résolution de problème. Il revient longuement sur la division décimale de deux entiers et d ’un décimal par un entier. Ces deux opérations sont en cours d ’acquisition en fin de CM2 Ce n’est qu’en cinquième qu’est abordée la division de deux décimaux.

En guise de conclusion…(3) Le programme de la classe de sixième consacre encore beaucoup de temps aux capacités étudiées au CM1 et au CM2 sur la décomposition canonique d ’un nombre, sur le passage d ’une écriture à l’autre, sur la graduation d’une droite, sur la comparaison de décimaux. Il considère que « donner une valeur approchée au dixième, au centième… d’un décimal » n’est pas une compétence exigible du socle commun en fin d’année. Le message est clair : privilégier la compréhension !

Éléments bibliographiques « Le nombre au cycle 3 », MEN 2013  « Le nombre au cycle 2 », MEN 2011 Noirfalise et Matheron : « Enseigner les mathématiques à l ’école primaire, tome 2 », Vuibert 2009 « Activités numériques au cycle  3», Outils pour les cycles, Sceren 2001. Idem au cycle 2 Les collections Cap Maths, Pour comprendre les maths, Euro Maths et toujours Ermel … Le programme de la classe de sixième……