La méthode dEuler ( ) Ou comment connaître (à peu près) le futur avec - y t y t des conditions initiales connues, Une équa diff du premier degré que lon ne sait pas résoudre

Les contenus (p.85 B.O.) Chute verticale avec frottement (Placée avant la chute libre) Application 2ème loi de N. à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée dArchimède, force de frottement fluide) Équa diff du mouvement ;

Les contenus (Suite) Résolution de léqua diff par une méthode numérique itérative Régime initial et asymptotique (dit « permanent ») Vitesse limite ; notion de temps caractéristique

Connaissances et savoir-faire exigibles - Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir léquation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée. - Connaître le principe de la méthode dEuler pour la résolution approchée dune équa diff. - Savoir exploiter des reproductions décrans dordinateur (lors de lutilisation dun tableur-grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux

Connaissances et savoir-faire exigibles (suite) - Savoir exploiter des courbes V G = f(t) pour : - Dans le cas de la résolution par la méthode itérative de léqua diff, discuter la pertinence des courbes obtenues/ aux résultats expérimentaux -Reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique -Évaluer le temps caractéristique -Déterminer la vitesse limite

Principe mathématique de la méthode Y(t) = f (t, x(t)) y t dt

À un instant quelconque, on peut écrire : y(t+dt) = y(t) + v(t).dt + O(t 2 ) Ordre en t 2 négligé De même, v(t+dt) = v(t) + a(t).dt + O(t 2 ) Ordre en t 2 négligé

Cas de la chute libre avec frottement Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à 1000 (turbulent) Frottementf(t) = k.V 2 (t) (avec k = ½.C x. S. Balle de Ping-pong ou balle de tennis)

Solutions : Balle de tennis, boule de pétanque : Si on lâche à hauteur dhomme, écart à larrivée 2 cm (!) BUP 815

Date titi t i+1 Position yiyi y i+1 Vitesse vivi v i+1 Accélération aiai a i+1 Méthode itérative Y i+1 = Y i + V i.dt V i+1 = V i + A i.dt k = Donc

Exploitation avec un tableur type Excel Y 2 = A3 + 0,05.B3 0 D39,81 C3 a 1 0 B3 V 1 0 A3 Y 1 5,80,05 (ex) D2a C2V B2Y A2 V lim(m/s) Pas ditération V/V li m Accélér ation VitesseAltitude

Une seule ligne définie, toutes les autres calculées par un simple « copier/coller » Conditions initiales Définitions des cellules par des « formules » Rien à faire. Le logiciel calcule grâce à un copier/coller