CALCUL LITTERAL I LA DISTRIBUTIVITE k ( a + b ) = k a + k b 1° Règle On dit que la multiplication est DISTRIBUTIVE par rapport à l’addition.

Développer Factoriser 2° Vocabulaire k x k x k x ( a + b ) = a + b k x

- - II EXEMPLES DE DEVELOPPEMENT. 1° Exemple 1 3 ( 5 + x ) = 3 x 5 + 15 + 3x 2° Exemple 2 - 3x ( x – 4 ) = 3x x x 3x x 4 - 3x2 12x =

3° Exemple 3 4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 ) Il faut développer séparément les deux termes de la somme 4x( 3x + 5) + 2( 3x – 7 ) = 4x x 3x + 4x x 5 + 2 x 3x - 2 x 7 12x2 + 20x + 6x - 14 = - 14 12x2 + 26x =

3° Exemple 4 5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 ) Il faut développer séparément les deux termes de la somme 3 x( 7) = 3 x 7 5x( 7x + 4) - 3( 4x – 7 ) = 5x x 7x + 5x x 4 3 x 4x 3 x 7 35x2 + 20x 12x 21 = = 35x2 + 8x 21

III PRODUIT DE DEUX SOMMES A = ( 3x + 4 ) ( 5x + 7 ) = 3x × 5x + 3x × 7 + 4 × 5x + 4 × 7 15x2 + 21x + 20x + 28 = = 15x2 + 41x + 28 Attention au signe Attention au signe B = ( 5x - 3 ) ( 9x + 4 ) = 5x × 9x + 5x × 4 3 × 9x 3 × 4 = 45x2 + 20x 27x 12 12 45x2 7x =

5 ×( - 7 ) = -5 × 7 6x ×(-7) = - 6x × 7 C = ( 6x + 5) ( 4x -7 ) = 6x × 4x 6x × 7 + 5 × 4x 5 × 7 24x2 - 42x + 20x - 5 ×7 = = 24x2 - 22x - 35 -3 ×( - 5 ) = 3 × 5 D = ( 7x - 3 ) ( 8x - 5 ) = 7x × 8x 7x × 5 3 × 8x 3 × 5 = 56x2 - 35x - 24x 15 + 15 56x2 - 59x =

SOMME de DEVELOPPEMENTS 2x (3x + 5) - ( 3x –2)(5x + 3) = 6x + 10 x – [ 15 x + 9x -10x - 6 ] 2 2 Danger, il faut d’abord développer dans les crochets 2 2 = 6x + 10 x - 15 x - 9x + 10x + 6 2 = - 9 x + 11x + 6

IV PRODUIT REMARQUABLES 2 1° Carré d’une somme: ( a +b )

( a + b ) = a + 2 ab + b a b a a x a a x b b b x a b x b A = a x a Calculons l’aire du grand carré de deux façons a a x a a x b 1° façon 2 A = côté x côté = ( a + b ) ( a + b ) = ( a + b ) b b x a b x b 2° façon On fait la somme des aires à l’intérieur du grand carré A = a x a + a x b + b x a + b x b = a + ab + ab + b 2 2 2 = a + 2 ab + b 2 Conclusion 2 2 2 ( a + b ) = a + 2 ab + b Double produit

Exemples d’utilisation Développer ( x + 7 ) 2 2 2 2 ( a + b ) = a + 2 x a x b + b 2 2 2 ( x + 7 ) x + 2 x 7 + 7 = 2 x + 14 x + 49 = 2 Développer ( 3x + 5 ) 2 2 2 ( a + b ) = a + 2 x a x b + b 2 2 2 ( 3x + 5 ) ( 3x ) 2 3x 5 + 5 Détail = + Attention, c’est 3x qui est au carré, donc ne pas oublier les parenthèses 2 = 9x + 30x + 25

( a + b ) = a - 2 ab + b 2° Carré d’une différence ( a – b ) a) Développement 2 (a – b ) = (a – b) ( a – b ) = a x a - a x b - b x a + b x b 2 2 = a -ab -ab +b 2 2 = a -2 ab + b b) On retient 2 2 2 ( a + b ) = a - 2 ab + b

Exemples d’utilisation Développer ( x - 8 ) 2 2 2 2 ( a - b ) = a - 2 x a x b + b 2 2 2 ( x - 8 ) x - 2 x 8 + 8 = 2 x - 16 x + 64 = 2 Développer ( 4x - 7 ) 2 2 2 ( a - b ) = a - 2 x a x b + b 2 2 2 ( 4x - 7 ) ( 4x ) 2 4x 7 + 7 Détail = - Attention, c’est 4x qui est au carré, donc ne pas oublier les parenthèses 2 = 16x - 56x + 49

( a – b ) ( a + b ) a b = 2° Différence de deux carrés a – b a) Recherche ( a – b ) ( a + b ) = a x a + a x b - b x a - b x b 2 2 = a + ab -ab - b 2 2 a - b = b) On retient 2 2 ( a – b ) ( a + b ) a b =

c) Utilisation Développer ( x – 5 ) ( x + 5 ) ( a – b ) ( a + b ) = a - b 2 2 2 x - 5 ( x – 5 ) ( x + 5 ) = 2 = x - 25 Développer ( 7x + 4 ) ( 7x - 4 ) ( a – b ) ( a + b ) = a - b 2 2 2 ( 7x + 4 ) ( 7x - 4 ) = ( 7x ) - 4 2 = 49x - 16

2 2 9 x 2 (3x) 3 x 2 = = 2 2 2 Rappel ( ab) = a x b Retour

V FACTORISATION Rappel : ka + kb = k ( a + b ) 1° Exemple 1 15 + 3x = 3 x 5 + 3 x x = 3 ( 5 + x ) 2° Exemple 2 2 14x - 21 x = 7x x 2x - 7x x 3 = 7x ( 2x - 3) 3° Exemple 3 2x ( 3x -5 ) + 7 ( 3x – 5 ) = (3x -5 ) ( 2x +7)

[ ] 4° Exemple 4 ( 3x -2 ) ( 6x +7) + ( 3x -2 ) ( 4x - 3 ) = [ ] ( 3x -2 ) ( 6x +7) + ( 3x -2 ) ( 4x - 3 ) = ( 3x - 2 ) (6x + 7) + ( 4x - 3 ) = ( 3x -2 ) [ 6x +7 + 4x – 3 ] = ( 3x -2 ) ( 10x + 4 )

[ ] 5° Exemple 5 ( 2x - 5 ) ( 3x + 4) - ( 2x - 5 ) ( 4x - 3 ) = [ ] ( 2x - 5 ) ( 3x + 4) - ( 2x - 5 ) ( 4x - 3 ) = ( 2x - 5 ) (3x + 4) - ( 4x - 3 ) = ( 2x - 5 ) [ 3x +4 - 4x + 3 ] Penser à changer les signes = ( 2x - 5 ) ( 7 - x )

VI FACTORISER avec les égalités remarquables 2 2 1° Avec (a + b) et (a - b) 2 On cherche à factoriser x + 10 x + 25 ► il n’y a pas de facteur commun 2 2 2 ► rappel a + 2 a b + b = ( a + b ) 2 2 2 2 x + 10 x + 25 = x + 2 x x x 5 + 5 = ( x + 5 ) Remarque : x + 15x + 25 2 Si l’on doit factoriser 2 2 Il y a bien deux carrés x et 5 Mais le double produit 2 x x x 5 ne convient pas car il faut 10x et là il y a 15x Donc en troisième vous ne pouvez pas factoriser cette expression.

Factoriser 9x - 30 x + 25 9x - 30 x + 25 = ( 3x ) - 2 x 3x x 5 + 5 2° Factoriser avec a – b a) Exemple 1 2 2 2 x – 25 = x - 5 = ( x – 5 ) ( x + 5 ) b) Exemple 2 2 2 2 = ( 3x + 7 ) ( 3x – 7 ) 9x - 49 = ( 3x ) - 7

3° Exemple 3 ( 3x + 5) - 81 = ( 3x + 5 ) - 9 = [ ( 3x + 5 ) - 9 ] [ 2 2 2 ( 3x + 5) - 81 = ( 3x + 5 ) - 9 = [ ( 3x + 5 ) - 9 ] [ ( 3x + 5 ) + 9 ] = [ 3x – 4 ] [ 3x + 14 ] 4° Exemple 4 a - b = [ a - b ] [ a + b ] 2 2 2 (5x + 3 ) – ( 2x - 5 ) = [ (5x + 3 ) – ( 2x - 5 ) ] [ (5x + 3 ) + ( 2x - 5 ) ] [ 5x + 3 - 2x + 5 ] [ 5x + 3 + 2x - 5 ] = [ 3x + 8 ] [ 7x – 2 ] =

5° Exemple 5 Soit A = 9x + 24 x + 16 + ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) a) On factorise 9x + 24 x + 16 = ( 3x + 4 ) 2 9x + 24 x + 16 2 b) On factorise A 2 A = 9x + 24 x + 16 + ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) 2 = ( 3x + 4) + ( 3x + 4) ( 2x – 5 ) = ( 3x + 4) [ ( 3x + 4) + ( 2x – 5 ) ] = ( 3x + 4 ) ( 5 x – 1 )

VII EQUATION PRODUIT ou PRODUIT NUL 1° Rappel sur les équations a) Résoudre 5x - 3 = 12 On ajoute +3 aux deux membres de l’équation 5x - 3 = 12 + 3 + 3 5x = 15 x = x = 3

x + 7 = b) Résoudre x + 7 – 7 = - 7 x = x = On fait le produit en croix 2x x 5 = – 34 x 3 10 x = – 102 x = –

c) Résoudre l’équation 5( 3x – 2) = 4x -7 On développe 15x – 10 = 4x -7 15x – 10 +10 = 4x -7 + 10 On supprime les termes constants du 1° membre 15x = 4x + 3 15x - 4x = 4x + 3 – 4x On supprime les en x du 2° membre 11x = 3 x =

Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul 2° Remarque. a) Si 3x = 0 alors x = 0 x = 0 ou y = 0 b) Si x y = 0 alors c) Règle Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul

3° Résoudre l’équation ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) = 0 ► ( 3x + 2 ) ( 5x + 3 ) est un produit ► les facteurs du produit sont ( 3x -2 ) et ( 5x +3 ) Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul Soit 5x +3 = 0 donc Soit 3x -2 = 0 5x = - 3 3x = 2 x = x = L’équation admet deux solutions x = et x =

4° Résoudre l’équation 16x² - 25 = 0 Cette équation contient un carré x² Pour la résoudre, il faut se ramener à une équation du 1° degré, en FACTORISANT 16x² - 25 = ( 4x ) ² - 5² = ( 4x – 5) ( 4x + 5) Donc il faut résoudre l’équation ( 4x – 5) ( 4x + 5) = 0 Si un produit est nul alors l’un des facteurs au moins est nul Soit 4x + 5 = 0 donc Soit 4x – 5 = 0 4x = 5 4x = - 5 x = x = L’équation admet deux solutions x = et x =