Mobilité et Hyperstatisme des systèmes mécaniques 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 1

Objectifs du présent cours L’objectif du présent cours est de donner les éléments essentiels pour:  Modéliser cinématiquement des mécanismes  Analyser cinématiquement et statiquement des mécanismes et établir les lois entrée sortie  prévoir les contraintes de montage dans un mécanisme hyperstatique  Faire les modifications nécessaires pour rendre un mécanisme isostatique 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 2

Plan 1. Liaisons cinématiquement équivalentes: 1.1. Liaisons en série 1.2. Liaisons en parallèle 1.3. Schéma cinématique minimal 2. Mobilité et hyperstatisme des liaisons 3. Analyse géométrique et cinématique des mécanismes 3.1. Structure des mécanismes 3.2. Loi entrée /sortie 4. Moblité/hyperstatisme des mécanismes 4.1. Etude des Chaines fermées complexes 4.2. Illustration par des exemples 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 3

Hypothèses pour établir un modèle cinématique Pièces indéformables Liaisons sans jeu Surfaces de contact géométriquement parfaites Surface de contact élémentaire (Sphère, plan, cylindre, Hélicoïde) Contact supposé sans adhérence Les liaisons sont bilatérales 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 4

1. Liaison cinématiquement équivalente 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 5 On appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à l’ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces

1. Liaison cinématiquement équivalente 1.1. Liaison en série: 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 6 Relation cinématique:

1. Liaison cinématiquement équivalente 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 7 Relation entre les torseurs statiques:

1. Liaison cinématiquement équivalente 2. Liaison en parallèle 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 8

1. Liaison cinématiquement équivalente 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 9

Exemples de liaisons en parallèle 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 10

Exemple de liaisons en série 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 11

Schéma cinématique minimal 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 12 Le schéma cinématique minimal est obtenu en remplaçant si possible, les liaisons en série et ou en parallèle par les liaisons normalisées équivalentes. C B C B Schéma 2D

Schéma cinématique minimal 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 13 G2 G3 G1 Rotule en B Pivot glissant G1 G3 Linéaire annulaire 0 0

Schéma cinématique minimal 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 14 Schéma initial Schéma simplifié

Nomenclature 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 15

2. Mobilité/hyperstatisme des liaisons Cas des liaisons en parallèle: La compatibilité cinématique donne (6Nl-Ic) équations caractéristiques de rang rc. Si rc=6, la liaison est rigide S rc<6, la liaison équivalente est mobile de degrés: mc=6-rc Si (6Nl-Ic)=rc, la liaison est non surabondante Si (6Nl-Ic)>rc, La liaison est surabondante de degrés h=(6Nl-Ic)- rc 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 16

2. Mobilité/hyperstatisme des liaisons A l’issue d’une étude statique, les théorèmes TRS et TMS permettent d’écrire 6 équations à Is inconnues Le rang du système obtenu est noté rs Si rs=6, la liaison est complète Si rs<6, la liaison est partielle Si Is=rs, la liaison équivalente est isostatique Si Is>rs, la liaison est hyperstatique de degrés: h=Is-rs 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 17

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2. Mobilité/hyperstatisme des liaisons 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 19 Exemples

2. Mobilité/hyperstatisme des liaisons Cas des liaison en série: La composition des torseurs cinématique permet d’obtenir 6 équations scalaires. La mobilité de la liaison équivalente est: mc=Ic L’étude statique permet d’obtenir 6n équations scalaires. Parmi ces équations, il existe rs équations principales, avec rs=Ns. Et 6n- rs équation supplémentaires. Le degrés d’indétermination ou d’hyperstaticité est h=0. 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 20

Exemples 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 21

3. Analyse géométrique et cinématique des mécanismes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE Structure des mécanismes

Chaine ouverte 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 23 Une chaîne de solide est dite ouverte lorsque la structure correspond à un ensemble de solides liés les uns aux autres sans bouclage. N L =p-1

3.1. Structure des mécanismes Chaine fermée simple 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 24 Une chaîne de solide est dite fermée lorsque le graphe présente une boucle. N L =p

3.1. Structure des mécanismes Chaine fermée complexe 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 25 La chaîne de solides est dite complexe (fig 1.1(c)) lorsqu’elle présente plusieurs boucles imbriquées. Le nombre cyclomatique caractérise la complexité de la chaîne, il précise le nombre minimal de boucles qu’il est nécessaire d’étudier pour définir complètement le mécanisme Avec NL, le nombre de liaisons du mécanisme et p, le nombre de solides du mécanisme.

3.2. Loi entrée-sortie d’un mécanisme 01/10/2019 AGREGATION SIIIE Définition: Une loi "entrée-sortie" est la relation entre les paramètres de situation (position et orientation) de la pièce d'entrée et les paramètres de situation de la pièce de sortie du mécanisme ou leurs dérivées. 2. Détermination d’une loi entrée sortie: Cas 1 Chaine ouverte: Le calcul de cinématique classique permet de déterminer les paramètres de mouvement du solide au bout de la chaine en fonction des autres paramètres (robot, manège, éolienne …)

3.2. Loi entrée-sortie d’un mécanisme Cas 2 Chaine fermée: On établie pour chaque cycle Fermeture géométrique liant les paramètres de position 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 27 Avec Oi, le point caractéristique du solide Si Fermeture géométrique liant les paramètres d’orientation Fermeture cinématique =constante

3.2. Loi entrée-sortie d’un mécanisme Exemple 1 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 28 une fermeture géométrique fournit la loi entrée-sortie plus rapidement qu’une fermeture cinématique qui est plus générale

3.2. Loi entrée-sortie d’un mécanisme Exemple 2 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 29 La loi entrée sortie est obtenue en remarquant que les axes du croisillons reste perpendiculaire

Joint de cardan 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 30

Mécanisme « sinusmatic » 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 31

4. Mobilité et hyperstatisme des mécanismes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 32

Etude des chaines fermées complexes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 33

Etude des chaines fermées complexes Approche cinématique But : Dégager le nombre de paramètres cinématiques à imposer afin de déterminer toute la cinématique et déduire les lois entrées-sorties. 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 34 La fermeture cinématique associée à chaque boucle unique, fournit au maximum 6 équations

Etude des chaines fermées complexes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 35 En écrivant les fermetures cinématiques, on obtient un système linéaire homogène comportant 6γ équations à Ic inconnues tel que : La mobilité cinématique correspond au nombre de paramètres cinématiques à imposer afin d’obtenir une solution unique : mc=Ic-rc

Etude des chaines fermées complexes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 36 mc = 0 → : la seule solution au système d’équations est la solution triviale, toutes les inconnues cinématiques sont nulles et la chaîne est immobile. Elle ne transmet aucun mouvement. mc > 0 → : Il existe alors mc inconnues principales qui peuvent prendre des valeurs arbitraires, on dit que le mécanisme est à mc degrés de liberté. C’est-à-dire qu’il faut fixer les valeurs de mc paramètres pour connaître à tout instant la configuration complète du système. Différents cas possibles:

Etude des chaines fermées complexes 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 37 Le rang du système d’équations cinématiques rc correspond au nombre d’équations indépendantes permettant de déterminer les inconnues cinématiques de liaisons.

Illustration sur une chaine simple 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 38 La fermeture cinématique s’écrit en O dans la base (x,y,z):

Etude des chaines fermées: exemple 1 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 39 D’où les 6 équations scalaires suivantes: Le système comporte 4 équations supplémentaires nulles, il se ramène donc à un système de 2 équations à 3 inconnues. Le rang est rc = 2, il faut fixer un paramètre pour pouvoir résoudre les autres. Ce paramètre est la mobilité principale du mécanisme. Le mécanisme est mobile avec : mc=Ic-rc

Etude statique d’une chaine complexe 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 40 h= Is-rs

Etude statique d’une chaine complexe 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 41 2 cas : h = 0 →: Le système est dit isostatique. La seule connaissance des actions mécaniques extérieures suffit à déterminer les actions mécaniques de liaisons en appliquant le PFS. h > 0 → : Le système est dit hyperstatique de degré h. Certaines actions mécaniques de liaisons ne peuvent pas être déterminées.

Etude d’une chaine fermée: exemple 1 Approche statique 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 42 On définit les torseurs statiques en o dans la base (x,y,z):

Etude d’une chaine fermée: exemple 1 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 43 On applique le PFS à 2 puis à 3, on obtient un total de 12 équations à 15 inconnues: Le nombre d’équations indépendantes est de rs=11. EN effet, X32 peut être obtenue de deux manières différentes et impose une relation entre Xe et Le’. D’où h=Ns-rs=15- 11=4

Dualité entre les relations cinématiques et statiques mc=Es-rs h=6γ-rc 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 44

Bibliographie P. Agati, M. Rossetto, «Liaisons et mécanismes », Duno 1994 Robert Papanicola, « Science industrielle pour l’ingénieur », Ellipses (2010) Michel Aublin « Système mécanique » Documents consulté sur le web: « Chaine de solide », CPGE Brizeux Thierry Allonso, « Système mécanique », Université Joseph Fourier, (Sep2011). Jack Aïach, Jean-Marc Chereau, « Liaison dans un mécanisme », EduKlub SA. Germain Gondor, cours de MP, Lycée Carnot, Dijon 01/10/2019 AGREGATION SIIIE 45