Évaluation des Actifs Financiers 1

2 Valeur capitalisée: Valeur d’un investissement après une ou plusieurs périodes Intérêts simples: Intérêts calculés uniquement sur un capital initial Intérêts composés: Intérêts calculé sur un capital inital accru de ses intérêts cumulés au cours des périodes précédentes Taux d’intérêt: Rémunération en % du capital prêté par l’investisseur Valeur de l’Argent dans le Temps

3 Après 1 an: Après 2 ans: Calcul de la valeur capitalisée Soit un investissement qui offre 8 % par année. Si vous investissez 500 $, combien aurez-vous dans 2 ans? Valeur de l’Argent dans le Temps

4 Après 3 ans Après 7 ans Facteur d’Intérêt de la Capitalisation: Supposons un investissement qui vous donne 6 % par année, combien aurez-vous après 3 ans ou 7 ans, si vous investissez 500 $ ?

Valeur actualisée: Valeur actuelle de flux monétaires actualisés au taux d’actualisation approprié Actualisation: Calcul de la valeur actualisée d’une somme future Taux d’actualisation: Taux utilisé pour calculer la valeur actualisée d’un flux monétaire futur 5 Valeur de l’Argent dans le Temps

6 Combien doit-on investir aujourd’hui à 10 % d’intérêt pour obtenir 100 $ dans 1 an? Valeur de l’Argent dans le Temps

7 Détermination de la valeur actualisée, VA,sur plusieurs périodes: VA: Valeur Actualisée C: Somme à actualiser R: taux d’actualisation T: Nombre de périodes Valeur de l’Argent dans le Temps

Exemple: 8 Vous voulez vous acheter une nouvelle voiture de 30000$ dans 3 ans. Les taux d’intérêt sont de 5 %. Combien devez-vous investir aujourd’hui pour acheter la voiture si on suppose que le prix de la voiture ne changera pas ?

9 Valeur capitalisée vs Valeur actualisée

10 Détermination du taux d’actualisation:

Exemple 11 Détermination du taux d’actualisation: r: 5 % t: 2 VA: 1000

Exemple 12 Vous voulez être millionnaire dans 30 ans. Vous avez 10000$ aujourd’hui. Quel rendement vous faudrait-il pour atteindre votre but?

13 Détermination du nombre de périodes:

Exemple: 14 Vous désirez acheter un élément d’actif au coût de 50000$. Vous disposez pour l’instant de 25000$. Si vous pouvez obtenir 12 % de rendement pour ces 25000$, dans combien de temps aurez-vous 50000$?

Rappel des taux d’intérêt Taux d’intérêt spécifié: Taux d’intérêt exprimé sous forme de versements d’intérêts effectués à chaque période. Aussi appelé taux d’intérêt nominal Taux d’intérêt annuel effectif: Taux d’intérêt présenté comme s’il était calculé une fois par année. Taux périodique annuel: Taux d’intérêt par période multiplié par le nombre de périodes par année. Taux d’intérêt continue: Taux d’intérêt composé continuellement. 15

Rappel des taux d’intérêt 16 Soit i le taux d’intérêt spécifié (nécessairement annuel) pour des paiements effectués selon une périodicité m fois par année. Soit C, un montant placé pendant un an. Il doit être équivalent de placer C pendant un an :  au taux r. Dans ce cas, l’investisseur reçoit des intérêts seulement au bout d’un an.  au taux i. Dans ce cas, l’investisseur reçoit des intérêts à la fin de chacune des m périodes qui sont à leur tour placés afin de porter intérêt. Les intérêts perçus à la fin de chaque période sont calculés sur la base du taux i /m.

17 Rappel des taux d’intérêt Dès lors on doit avoir :

Exemple Une hypothèque de 5 ans offre un taux d’intérêt de 5 %. Selon les normes canadiennes, les hypothèques affichent des taux semi- annuels. De plus, comme vous le savez, les paiements sont mensuels, donc le calcul du taux effectif est le suivant : Puisque le taux affiché est semi-annuel, on obtient un taux effectif de : Les paiements de l’hypothèque sont mensuels, on doit donc calculer le taux composé mensuel équivalent 18

Exemple : Intérêt périodique composé 19 Fréquence de composition Taux d’intérêt annuel: 10% Valeur de 100$ à la fin de l’année Annuel (m=1)110$ Semi-annuel (m=2)110.25$ Trimestriel (m=4)110.38$ Mensuel (m=12)110.47$ Hebdomadaire (m=52)110.51$ Quotidien (m=365)110.52$ Continue110.52$

20 Calcul du taux d’intérêt composé en temps continue À la limite lorsque m  Infini, le taux de composition, m, devient continue et s’exprime: A = 100$ T = 1 r c =10 %

21 Équivalence entre taux d’intérêt périodique et continue Nombre d’Euler: Lorsque n  vers l’infini,  e On obtient: lorsque m  vers l’infini

22 Équivalence entre taux d’intérêt périodique et continue Dans notre exemple précédent, nous avons pour la périodicité semi-annuelle: r m = 10 % m = 2

Statistique descriptive - Rappel 23

Sommaire des mesures Moyenne arithmétique Médiance Mode Mesures Descriptives Variance et Écart-type Coefficient de Variation Covariance et Corrélation Dispersion Interquantile Moyenne géométrique Skewness Tendance centrale VariationFormeQuartiles

Mesures de Tendances Centrales Tendance Centrale Moy. arithmétique Médiane ModeMoy. géométrique Point central des valeurs ordonnées La valeur la plus souvent observée

Moyenne Arithmétique La moyenne arithmétique est la mesure de tendance centrale la plus utilisée Pour un échantillon de la taille de n: Taille de l’échantillon Valeurs observées

Moyenne Arithmétique Moyenne = somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs Influencée par les valeurs extrêmes (outliers) (suite) Moy. = Moy. = 4

Médiane Dans une suite ordonnée, la médiance est le nombre au milieu (50% au-dessus, 50% en dessous) Pas affectée par les valeurs extrêmes Médiane = Médiane = 3

Comment Trouver la Médiane La position de la médiane: Si le nombre de valeurs est impair, la médiane est le nombre au milieu Si le nombre ed valeur est pair, la médiane est la moyenne des deux nombre du milieu Notez que n’est pas la valeur de la médiane, seulement la position des données ordonnées

Mode Une mesure de tendance centrale Valuer qui arrive le plus souvent Pas afffecté par les données extrêmes Utilisé à la fois pour les données numériques que catégorique Il peut y avoir aucin mode Il peut y avoir plusieurs modes Mode = Aucun Mode

5 maisons près d’une plage Exemple Prix des maisons: $2,000, , , , ,000

Exemple: Moyenne: ($3,000,000/5) = $600,000 Médiane: valeur centrale = $300,000 Mode: valeur la plus fréquente = $100,000 Prix des maisons: $2,000, , , , ,000 Somme $3,000,000

Quartiles Les Quartiles divisent les données ordonnées en 4 segments avec un nombre égal de valeurs par segment 25% Le 1er quartile, Q 1, est la valeur pour laquelle 25% des observations sont plus petites et 75% plus grandes Q 2 is la médiance (50% sont plus petites, 50% plus grandes) Seulement 25% des observations sont supérieures au 3e quartile Q 3 Q1Q2Q3

Pour Trouver les Quartiles Position 1er Quartile: Q 1 = (n+1)/4 Position 2e Quartile: Q 2 = (n+1)/2 (la position médiane) Position 3e Quartile: Q 3 = 3(n+1)/4 où n est le nombre d’observationsumber of observed values

(n = 9) Q 1 est à la (9+1)/4 = 2.5 position des données ordonnées donc on utilise la valeur mitoyenne entre 2 e et 3 e valeurs, soit Q 1 = 12.5 Quartiles Échantillon ordonné: Exemple: Trouver le 1er quartile Q 1 et Q 3 sont des mesures de location non-centrales Q 2 = médiane, une mesure de location centrale

(n = 9) Q 1 est à la (9+1)/4 = 2.5 position des données, Q 1 = 12.5 Q 2 est à la (9+1)/2 = 5 e position des données, Q 2 = médiane = 16 Q 3 est à la 3(9+1)/4 = 7.5 e position des données, Q 3 = 19.5 Quartiles Échantillon ordonné: Exemple: (suite)

Moyenne Géométrique Moyenne géométrique Utilisée pour mesurer le changement d’une variable dans le temps Rendement moyen géométrique Mesure le rendement d’un actif financier dans le temps Où R i est le taux de rendement à la période i

Exemple Un investissement de $100,000 décline à $50,000 à la fin de l’an 1 et rebondit à $100,000 à la fin de lan 2 50% baisse 100% hausse Le rendement total sur 2 ans est zéro puisque le placement termine au même niveau qu’au début.

Exemple Si on utilise le rendement sur 1 an pour calculer les moyennes arithmétique et géométrique: Moyenne arithmétique: Moyenne géométrique: Résultat fallacieux Résultat juste (suite)

Même centre, Variation différente Mesures de Variation Variation Variance / Écart-type Coeff. de Variation Corrélation DispersionInterquartile Les mesures de variation donnent de l’information sur les écarts ou la variabilité des observations.

Dispersion (Range) Mesure de variation la plus simple Différence entre la valeur la plus élevée et celle la plus faible: Dispersion = X max – X min Dispersion = = 13 Exemple:

Ignore la distribution des données Sensible aux données extrêmes Écart = = Écart = = 5 Désavantages de la mesure de dispersion 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120 Écart = = 4 Écart = = 119

Interquartile Peut limiter le problème des données extrêmes en utilisant l’écart interquartile Élimine les observations extrêmes en calculant l’écart des valeurs restantes Écart Interquartile = 3 e quartile – 1 er quartile = Q 3 – Q 1

Interquartile Médiane (Q2) X maximum X minimum Q1Q3 Exemple: 25% 25% Écart Interquartile = 57 – 30 = 27

Moyenne du carré des déviations des valeurs par rapport à la moyenne Variance échantillonnale: Variance Où = moyenne n = taille échantillon X i = i e valeur de la variable X

Écart-type Mesure de variation la plus utilisée Montre la variuation par rapport à la moyenne Racine carrée de la variance Mesure qui a les mêmes unités que les données de base Écart-type échantillonnal:

Exemple: Écart-type Données (X i ) : n = 8 Mean = X = 16 Une mesure de la dispersion par rapport à la moyenne

Comparaison des Écart-types Moy. = 15.5 S = Data B Data A Moy. = 15.5 S = Moy. = 15.5 S = Data C

Coefficient de Variation Mesure de variation relative Toujours en pourcentage (%) Montre la variation par rapport à la moyenne Peut être utilisé pour comparer 2 ou plusieurs ensemble de données mesurées en différentes unités

Exemple : Coefficient de variation Action A: Prix moyen = $50 Écart-type = $5 Action B: Prix moyen = $100 Écart-type = $5 Les deux actions ont le même écart- type mais le titre B est moins volatil relativement à son prix

Z Scores Une mesure de distance à la moyenne (par exemple. un Z-score de 2.0 signifie que la valeur est à 2.0 écart- types de la moyenne) La différence entre la valeur et la moyenne divisée par l’écart-type Un Z score au-dessus de 3.0 ou en bas de -3.0 est considéré comme une donnée extrême

Z Scores Exemple: Si la moyenne est 14.0 et que l’écart-type est 3.0, quel est le Z score pour une valeur de 18.5? La valeur de 18.5 est 1.5 écart-type au-dessus de la moyenne Une valeur négative pour le Z-score signifie que cette valeur est moindre que la moyenne (suite)

Forme de Distribution Décrit comment les données sont distribuées Mesure de forme Symétrique ou ‘’skewed’’ (asymétrique) Moy. = Médiane Moy. < Médiane Médiane < Moy. Right-Skewed Left-Skewed Symétrique

Si la distribution est ‘’normale’’, soit en forme de cloche, alors l’interval de la moyenne (μ) ± 1 écart-type (σ), contient 68% des valeurs de l’échantillon. Loi Normale: Règle Empirique 68%

contient 95% des valeurs contient 99.7% des valeurs Loi normale: Règle Empirique 99.7%95%

La Covariance La covariance mesure la force de la relation linéraire entre deux variables. Ressemble à la variance sauf qu’on utilise le produit croisé des écarts Aucune causalité impliquée

Covariance entre 2 variables: cov(X,Y) > 0 X et Y ont tendance à bouger dans la même direction cov(X,Y) < 0 X et Y ont tendance à bouger dans des directions opposées cov(X,Y) = 0 X et Y sont indépendants L’interprétation de la Covariance

Coefficient de Corrélation Mesure la vigueur relative de la relation linéaire entre 2 variables: où

Caractéristique du coefficient de corrélation, r ou ρ Indépendant des unités de mesure Distribution entre –1 and 1 Le plus près de –1, le plus fort est la relation négative Le plus près de 1, le plus fort est la relation positivie Le plus près de 0, la plus faible la relation linéaire

Coefficients de Corrélation Y X Y X Y X Y X Y X r = -1 r = -.6r = 0 r = +.3 r = +1 Y X r = 0