Satellites et sondes. Principes de satellisation

gravitation Loi universelle de la gravitation (Newton 1687) Deux corps ponctuels de masse M A et M B s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

gravitation

gravitation 2 boules de pétanque au contact exercent une force mutuelle de 4x10 -9 N La tour Eiffel attire un visiteur à son pied avec 3 µN Donnez une estimation de la force d’attraction entre 2 personnes de 70 kg située à un mètre l’une de l’autre ? (0,33 µN) Pour être significative, il faut une distance infiniment faible ou une masse attractive énorme!

Cas particulier de l’attraction terrestre

gravitation Un des deux corps, la Terre est de masse énorme; quand on lâche un objet, il tombe ! L’accélération de la pesanteur est notée g, définie par F = mg avec g = GM/R 2 M = 6x10 24 kg; R=6378 km; g=9,81 ms -2 au niveau du sol g varie avec l’altitude : g = 7,3 ms -2 à 1000 km d’altitude g = 3,1 ms -2 à 5000 km d’altitude g = 0,2 ms -2 à km d’altitude

gravitation Et sur Saturne? Que vaut g à la surface de Saturne?

Chute libre Chute libre

Chute libre Sans vitesse horizontale : chute verticale avec accélération g Avec vitesse horizontale : courbure de la trajectoire de retombée Le point de chute est d’autant plus loin que la vitesse horizontale est grande « Quand le point de chute dépasse les antipodes, l’objet est satellisé »

Chute libre

La trajectoire d'une pierre lancée depuis le sol est une parabole si on suppose la Terre plate et le centre d'attraction à l'infini. En réalité, la trajectoire est une ellipse dont le centre de la Terre est le foyer. Il faut circulariser l'orbite pour éviter que la trajectoire heurte la surface terrestre. L'altitude minimum pour satelliser un objet est de 300 km pour éviter le freinage par l'atmosphère terrestre.

Chute libre trajectoire T0: v < 8 km/s la vitesse est insuffisante et l'objet retombe sur Terre trajectoire T1 v > 8 km/s la trajectoire est circulaire et ne heurte plus la Terre trajectoire T2 fermée: 8 km/s < v < 13 km/s la trajectoire est une ellipse dont le périgée correspond au point de lancement v > 13 km/s : la trajectoire n'est plus fermée ; le mobile va s'éloigner à l'infini sur une trajectoire hyperbolique

Aller contre la gravité ? Energie potentielle de gravitation

La force d’attraction universelle est une force conservatrice, c'est-à-dire que le travail de cette force entre deux points A et B ne dépend que des points extrêmes du parcours et non du chemin suivi. Il existe alors une fonction des coordonnées (coordonnées sphériques) appelée énergie potentielle Ep vérifiant

Energie potentielle de gravitation Pour éloigner un objet de masse m d’un corps de masse M, il faut exercer un travail moteur, opposé au travail de la force de gravitation donc égal à la variation d'énergie potentielle Pour un objet de masse m lancé depuis la surface d’une planète de masse M verticalement vers le haut avec une vitesse initiale non nulle v0 :

Energie potentielle de gravitation Energie potentielle de gravitation

Energie potentielle de gravitation Si l’on fixe à zéro la valeur de l’énergie potentielle de l’objet de masse m lorsque la distance entre l’objet et la planète tend vers l’infini, alors l’énergie potentielle de gravité ou énergie de liaison pour une distance r est (r 1 = r, r 2 = ∞):

Energie potentielle de gravitation L’énergie potentielle de gravitation est donc négative quelle que soit la distance r finie Le signe négatif dans le terme d'énergie potentielle traduit le fait que celle-ci augmente si r croît.

vitesse de libération Lancement d’une sonde de masse m soumise à l’effet gravitationnel d’un astre de masse M

vitesse de libération Qu'il s'agisse de lancer une sonde interplanétaire, de faire revenir cette sonde de Mars, d'estimer la vitesse d'entrée dans la haute atmosphère terrestre d'une "étoile filante",....une notion importe : la vitesse de libération d'un corps. On appelle vitesse de libération, la vitesse minimale qu’il faut communiquer à un objet situé à l’altitude h d’un astre pour qu’il échappe à son attraction gravitationnelle.

vitesse de libération Si nous prenons M comme la masse de l’astre et R son rayon, Ep équivaut à l’énergie requise pour lancer une sonde de masse m depuis l’astre vers l’infini. Supposons que l’astre est un référentiel galiléen. Conservation de l'énergie mécanique : L'énergie mécanique de l'engin dans le champ de gravitation de l’astre est conservée au cours du mouvement:

vitesse de libération

Numériquement : astre = Terre - à l’altitude de 0 km, on a r = m d’où V lib = m.s -1 ( km.h -1 ) irréalisable pour une sonde dans l’atmosphère - à l’altitude de 800 km, on a r = = m d’où V lib = m.s -1 ( km.h -1 ) - à l’altitude de km, on a r = = m d’où V lib = m.s -1 ( km.h -1 ).

Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?

Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ? Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ?

Vitesse initiale pour atteindre une hauteur h ? La vitesse initiale communiquée au Spoutnik I, le 4 octobre 1957, (pour atteindre l’altitude de 900 km, aurait donc été de 3900 m/s. Cependant, on ne communique pas de telles vitesses aussi brutalement au départ car le frottement de l’air volatiliserait le satellite. La fusée porteuse accélère progressivement pour atteindre la vitesse voulue lorsque l’engin a dépassé les couches denses de l’atmosphère.

Vitesse orbitale

vitesse orbitale vitesse orbitale Quelle est la vitesse s’un satellite en orbite circulaire de rayon r autour d’un astre massif ? Par rapport au référentiel géocentrique ou planétocentrique considéré comme galiléen, le satellite de masse m, situé à la distance r du centre de l’astre, n’est soumis qu’à la force de gravitation. Sans vitesse, il retomberait la planète. Le satellite doit être animé d’une vitesse horizontale appelée vitesse orbitale.

vitesse orbitale La vitesse v s’obtient en appliquant la loi fondamentale de la dynamique :

vitesse orbitale

Vitesse orbitale

Dans le cas d’un satellite terrestre de masse m, assimilable à un point matériel, on note r = R + h, ou h désigne l’altitude du satellite et R T le rayon de la Terre, M T sa masse.

Vitesse orbitale

Quelques exemples

Le centre de la Lune a un mouvement approximativement circulaire uniforme, autour de la Terre, à une distance r d’environ km. Quelle est la vitesse de satellisation ? Les satellites S.P.O.T. (Satellite sPécialisé dans l’Observation de la Terre), ont tous une altitude h de l’ordre de 832 km. Vitesse de satellisation ?

Quelques exemples Altitude au point d'injection Vitesse de satellisation circulaireVitesse de libération 200 km7,78 km/s ( km/h)11,01 km/s ( km/h) 400 km7,67 km/s ( km/h)10,85 km/s ( km/h) 800 km7,45 km/s ( km/h)10,54 km/s ( km/h) km3,07 km/s ( km/h)4,34 km/s ( km/h)

Quelques exemples Pour satelliser un engin spatial sur une orbite elliptique, il suffit que sa vitesse d’injection ne dépasse pas la vitesse de libération Vlib Il existe une vitesse en dessous de laquelle la satellisation n’est pas possible : le satellite retomberait ou brûlerait dans l’atmosphère. Cette vitesse est la vitesse de satellisation circulaire Vsat; l’orbite est alors un cercle.

Quelques exemples Si la vitesse est supérieure à cette valeur limite Vs, l’orbite est alors une ellipse. Plus la vitesse croit, plus l’ellipse s’allonge. On parle alors d’apogée (le point le plus éloigné de la Terre sur l’orbite) et de périgée (le point le plus proche). La vitesse est inversement proportionnelle à l’altitude, elle est donc maximale au périgée et minimale à l’apogée.

Période orbitale Où l’on retrouve la troisième loi de Kepler

Période orbitale

Saturne et Titan

Le 15 octobre 1997, les agences spatiales européennes (ESA) et américaine (NASA) ont lancé la sonde Cassini- Huygens, destinée à l’observation du satellite naturel Titan de la planète Saturne. Après un voyage de 3,5 milliards de kilomètres, qui a duré 7 ans, l’orbiter Cassini, transportant la sonde Huygens, a été satellisé autour de Saturne.

Saturne et Titan Dans la suite, tous les objets planétaires considérés seront assimiles à des points matériels. Quelle est l’expression de la force de gravitation qu’exerce Saturne S, de masse M S, sur Titan T, de masse M T, en fonction de la distance ST qui les sépare? Calculer la valeur de cette force, ainsi que le champ de gravitation G S correspondant.

Saturne et Titan On admet que T a un mouvement circulaire uniforme autour de S, par rapport au référentiel galiléen R S, d’origine le centre S de Saturne et d’axes définis par des étoiles éloignées. Calculer l’expression de la vitesse de satellisation, en fonction de M S et ST.

Saturne et Titan Application numérique : Données physiques Constante de gravitation : G = 6, m 3.kg -1 s -2 Masse de la Terre : M Terre = kg Masse de Saturne : M S = 105, 65 M Terre Masse de Titan : M T = 0,0225 M Terre Rayon de Titan : R T = 2, m Distance Saturne-Titan : ST = 1, m. Trouver la période de révolution de Titan autour de Saturne ? Comparer cette période à celle d’un jour terrestre.

Saturne et Encelade Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février On peut considérer que dans le référentiel saturno- centrique, Encelade à un mouvement de révolution circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est T E = 1,37 et le rayon est R E. Déterminer la valeur du rayon R E de l’orbite d’Encelade.

Orbite géostationnaire

Le satellite géostationnaire paraît immobile pour un observateur terrestre s’il reste à la verticale d’un même lieu au dessus de la Terre. Sa trajectoire circulaire est dans le plan de l’équateur. Sa période est égale à la période de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique soit 23 heures 56 minutes 4 secondes, soit secondes

Orbite géostationnaire

Quelle fraction de la surface de la Terre peut être couverte par les émissions du satellite ?

Orbite géostationnaire

Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?

On cherche à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se trouver la sonde Cassini pour être saturno- stationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de Saturne). 1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes Ts (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire »?

Sonde Cassini : saturno-stationnaire ?