et la géométrie analytique Calcul différentiel La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ?

Introduction Au XVIIe siècle, les travaux de René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) ont permis le dévelop-pement de méthodes algébriques dans la recherche de la tangente à une courbe. Ces méthodes algébriques se sont révélées très efficaces pour déterminer la tangente en un point quelconque d’une courbe. Elles ont également permis le développement d’un langage mathématique pour décrire les phénomènes physiques comportant des variables.

Fondement de la géométrie analytique C’est dans l’ouvrage Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides, que Fermat énonce le principe fondamental de la géométrie analytique. Dès qu’une équation contient deux quantités inconnues, il y a un lieu correspondant et le point extrême de l’une de ces quantités décrit une ligne droite ou une ligne courbe. Ainsi, on peut représenter la courbe : y = x3 – 14x2 + 49x + 3 Remarque : À l’origine, il y a seulement un axe et on ne distingue pas relation et fonction. Dans les situations qui suivent, nous allons utiliser les notations et représentations modernes.

Problèmes de géométrie analytique La géométrie analytique comporte deux types de problèmes : trouver la figure géométrique correspondant à une équation donnée. trouver l’équation décrivant une figure géométrique donnée. On constate que la forme de l’équation permet d’identifier la forme du graphique et réciproquement. Dès lors, la représentation graphique de données expérimentales permet de détecter le lien entre les variables à l’étude (voir Loi des gaz).

René Descartes En 1637, Descartes publie Discours de la méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences. Cet ouvrage comporte trois appendices qui illustrent l’application de sa méthode, ce sont : La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie. Dans la deuxième partie de La Géométrie, Descartes présente une méthode qui consiste à trouver d’abord la normale à la courbe au point M, soit la perpendiculaire à la tangente.

Descartes et la normale Illustrons la démarche de Descartes à l’aide de la courbe y2 = 8x et d’un point quelconque M(x; y) sur la courbe. Supposons que N est le point de rencontre de la normale en M et de l’axe horizontal. Alors le cercle de centre N et de rayon NM est tangent à la courbe au point M. Si on trace un cercle de centre Q et de rayon QM où Q ≠ N, alors le cercle coupe la courbe en deux points distincts M et P. Lorsque Q se rapproche de N, P se rapproche de M.

Descartes et la normale Il faut donc trouver pour quelle valeur de a le cercle est tangent à la parabole. L’équation du cercle est : (x – a)2 + y2 – r2 = 0 et, puisque y2 = 8x, on a : (x – a)2 + 8x – r2 = 0 x2 – 2a + a2 + 8x – r2 = 0 x2 – 2[a – 4]x + (a2 – r2) = 0 Les solutions de cette équation quadratique sont données par : Le cercle est tangent à la parabole lorsque le discriminant est nul. On a alors une racine double, et : , ce qui donne x = a – 4, d’où : a = x + 4.

Descartes et la normale On obtient l’abscisse du point de rencontre de la normale et de l’axe horizontal en fonction de l’abscisse du point de tangence. Déterminons la normale au point M(2; 4). On a alors x = 2 et y = ±4. Puisque a = x + 4, on obtient a = 6. La normale en M coupe donc l’axe horizontal au point (6; 0).

Descartes et la normale La normale passe par les points (2; 4) et (6; 0). Sa pente est donc : Le produit des pentes de droites perpendiculaires étant égal à –1, on a mT = 1. L’équation de la tangente est : y = x + 2. Elle coupe l’axe horizontal à x = –2. On obtient également la tangente au point (2; –4) On remarque qu’avec la géométrie analytique il n’est plus nécessaire de considérer la courbe comme la composition de deux mouvements.

Pierre de Fermat En 1636, Pierre de Fermat (1601-1665) fait parvenir à Mersenne et Roberval un essai décrivant son approche algébrique de la géométrie, Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides) ainsi qu’un traité intitulé Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Méthode pour déterminer les maxima et les minima). Le premier ouvrage décrit les fondements et méthodes de sa géométrie analytique. Le deuxième décrit une méthode pour trouver les valeurs optimales d’une fonction, méthode qu’il utilisera par la suite pour déterminer la tangente à une courbe.

Fermat et les valeurs optimales Utilisons la notation moderne pour illustrer la procédure de Fermat pour trouver les valeurs optimales. La fonction a donc une valeur optimale à x = 5/2.

Fermat et la tangente Pour illustrer comment Fermat utilise la procédure pour trouver les valeurs optimales dans la recherche de la tangente, consi-dérons la courbe y2 = 8x et un point B quelconque sur la courbe. En traçant la tangente et en la prolongeant, celle-ci coupe l’axe horizontal en un point E. En abaissant du point B une perpendiculaire à l’axe horizontal, on détermine un point C. Le segment EC est appelé la sous-tangente au point B et en déterminant sa longueur, on pourra déterminer le point E, soit un deuxième point de la tangente.

Fermat et la tangente Fermat considère alors en un point I une autre verticale à l’axe horizontale qui coupe la parabole en A et la tangente en O. Il obtient alors les rapports : De plus, puisque Le point O peut être à droite ou à gauche de B, cette inéquation demeure valide. Considérons que le point O s’approche du point B. Le rapport s’approche alors de Il atteint sa valeur optimale lorsque O se superpose à B.

Fermat et la tangente Notons s, la longueur de la sous-tangente, (x; y), les coordonnées du point B et (u; v), celles du point O. De plus u = x + h. Les rapports s’écrivent alors : De plus, puisque les triangles EBC et EOI sont semblables, on a : Cela donne y = ks et v = ku = k(x + h). On a donc, par substitution :

Fermat et la tangente Pour trouver la valeur optimale en utilisant la méthode de Fermat, il faut égaler ces deux rapports, ce qui donne : En simplifiant, on obtient : D’où, s2(x + h) = x(s + h)2 et s2x + s2h = x(s2 + 2sh + h2. En distribuant : s2x + s2h = s2x + 2shx + h2x. En simplifiant : s2h = 2shx + h2x. En divisant par h : s2 = 2sx + hx. En posant h = 0 : s2 = 2sx. En divisant par s : s = 2x. Ainsi, au point B(2; 4) la longueur de la sous-tangente est 4, ce qui permet de déterminer que la tangente coupe l’axe horizontal au point (–2; 0).

Isaac Barrow Isaac Barrow (1630-1677) publie ses Lectionæ opticæ en 1669 et ses Lectionæ geometricæ en 1670 qui comprennent treize leçons. Dans ces ouvrages, il inclut tous les procédés infinitésimaux qu’il connaît ainsi q’une méthode algébrique pour la détermination des tangentes. Dans la première leçon, il discute de la nature des concepts de temps et de mouvement et de leur représentation géométrique à la manière d’Oresme et de Galilée. Il considère qu’une ligne peut être conçue comme la trace d’un point mobile ou comme la trace d’un moment continuellement fluant. Le temps peut dont être représenté par une ligne droite uniforme, ce qui l’amène au problème de la vitesse instantanée.

Barrow et la tangente Barrow présente dans la dixième leçon sa méthode des tangentes qui est assez semblable à celle de Fermat. Pour illustrer cette méthode, considérons la courbe ci-contre et un point M quelconque sur la courbe. Barrow veut déterminer la longueur t de la sous-tangente. Il considère alors un point N sur la courbe et le triangle de côtés e et a formé en traçant NR parallèlement à l’axe horizontal. Lorsque M et N sont infiniment rapprochés, les rapports m/t et a/e sont égaux et le rapport a/e donne la valeur de la pente de la tangente à la courbe.

Barrow et la tangente Considérons la courbe y2 = 8x. Pour déterminer le rapport a/e, Barrow substitue x + e à x et y + a à y dans l’équation définissant la rela-tion. Cela donne : (y + a)2 = 8(x + e) D’où : y2 + 2ya + a2 = 8x + 8e 2ya + a2 = 8e, puisque y2 = 8x et : 2ya = 8e, en négligeant les puissances de a et e. Par conséquent : , d’où , et Au point M(2; 4), y = 4 et m = 4, d’où t = 4. La longueur de la sous-tangente étant égale à 4, il est facile de tracer la tangente.

Isaac Newton En 1671, Newton rédige sa Méthode des fluxions qui ne sera publiée qu’en 1736. Dans cet ouvrage, il considère qu’une courbe est engendrée par le mouvement continu d’un point. Dans cette conception, l’abscisse et l’ordonnée du point sont des quantités variables appelées fluentes et son taux de variation est appelé fluxion. De plus, le moment d’une fluente est l’accroissement infiniment petit de la fluente durant un intervalle de temps infiniment petit o. L’ordonnée d’un point est une fluente notée : y sa fluxion est notée : (en notation moderne, dx/dt). son moment est noté : la fluxion de la fluxion est notée :

Newton et les fluxions Newton explique que l’on peut toujours négliger les termes contenant des puissances de o supérieures à 1 et obtenir une équation décrivant la relation entre les coordonnées x et y du point qui engendre la courbe et les fluxions de celles-ci. Voyons comment procéder avec la courbe y2 = 8x. , par substitution; , en développant; , puisque y2 = 8x; , en divisant par o; , en posant o = 0. Remarque : La procédure de Newton s’apparente à la dérivation implicite actuelle. L’expression obtenue s’écrit en notation moderne :

Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz a communiqué le fruit de ses réflexions sur le calcul différentiel et intégral dans deux articles publiés dans Acta eruditorum, l’un en 1684 et l’autre en 1686. Dans celui de 1684, il présente les règles générales de la différentiation en se servant des différentielles et plutôt que des dérivées. Les différentielles dy et dx sont définies comme des accroissement finis, mais en une occasion il définit dy par le rapport suivant : où dx est considéré comme une constante arbitraire, établissant un lien entre les différentielles et la tangente.

Règles de différentiation Dans son article, Leibniz présente les règles de différentiation qu’il avait obtenues en 1677, soit : La différentiation d’une somme : d(u + v) = du + dv; La différentiation d’un produit : d(uv) = udv + vdu; La différentiation d’un quotient : La différentiation d’une puissance : d(xn) = nxn–1dx Il n’utilise pas le terme fonction mais, il introduit l’appellation calcul différentiel et présente des applications géométriques comme la recherche des tangentes, des minima et maxima et des points d’inflexion. Il donne la condition dv = 0 pour un maximum et un minimum et la condition ddv = 0 pour un point d’inflexion.

Conclusion Les méthodes algébriques développées au XVIIe siècle pour déterminer la tangente à une courbe avaient en commun une même faiblesse. Elles comportaient toutes une division des deux membres de l’équation par une quantité à laquelle on donne par la suite la valeur 0, or la division par 0 n’est pas définie. Ces méthodes ont été sévèrement critiquées par l’évêque anglican Berkeley en partie pour cette raison. Il faudra cependant attendre les travaux d’Augustin Cauchy (1789-1857) et le développement des notions de limite et de continuité pour donner des fondements solides au calcul différentiel.

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