CHAPITRE 2 Théorème de Thalès

Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546) aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

Objectifs: Connaître et utiliser le théorème de Thalès. Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès. aaaaaa

I. Théorème de Thalès 1) Les configurations Situation 4ème Situation papillon

2) L’énoncé du théorème Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Voir une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce lien: http://www.mathkang.org/swf/thales2.html Source: © 2003 ACL - les Éditions du Kangourou Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. Exemple : Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. E D C P R B A (EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. 1 ) Comme P appartient à (BC), R appartient à (BD) (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix) = cm  3,33 cm.

2) Comme E appartient à (BD) A appartient à (BC) (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) = 2,4 cm.

3) Application: partage d’un segment Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée le point M sur le segment [AB] tel que : Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

Réciproque du théorème de Thalès Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

Exemples : 1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? . . B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 . On a et donc . De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D . d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles.

2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès. (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.