Examen partiel #1 Mardi le 12 octobre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 1.1 à 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, Notes de cours (guide d'études): sections 1 à 5. - Devoirs: 1 à 4.
Rappel... Décomposition des matrices: –décomposition LU –application: réseau de résistances Solution itérative de systèmes linéaires. –Méthodes de Jacoby et de Gauss-Seidel Mx (k+1) = (M - A)x (k) + b, k = 0, 1, 2,…
Aujourdhui Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). Application à linfographie.
7. Application à linfographie On retrouve un peu partout des applications de linfographie: –jeux sur ordinateurs –effets spéciaux au cinéma –logiciel de dessin On représente parfois, de façon simplifiée, des figures par un ensemble de lignes: « wire frame »
Exemple: canette
Exemple 2D La lettre N peut être représentée par deux vecteurs de coordonnées: x = [ ] y = [ ] Il faut aussi spécifier les lignes entre les points.
Transformations linéaires La transformation linéaire dun segment donne un autre segment. On peut effectuer des opérations sur les figures en multipliant les coordonnées par une matrice 2 2.
Coordonnées homogènes Avec les matrices 2 2, on ne peut pas faire de translation. Solution: coordonnées homogènes.
Coordonnées homogènes (suite) À chaque point (x, y) dans R 2, on peut faire correspondre un point (x, y, 1) dans R 3. Ces coordonnées peuvent être modifiées par une matrice 3 3.
Rotations y x (cos( ), sin( )) (-sin( ), cos( ))
x z y (0.866, 0, -0.5) (0, 1.0, 0) (0.5, 0, 0.866) Rotation de 30 o autour de laxe y
z x y 0 (x*, y*, 0) (x, y, z) (0, 0, d) z 0 d - z x x* Projection de (x, y, z) sur (x*, y*, 0)
Projection en perspective (x, y, z) (x*, y*, 0). x*/d = x/(d - z) x* = x/(1 - z/d) y*/d = y/(d - z) y* = y/(1 - z/d)
Projection en perspective (suite) La projection transforme (x, y, z, 1) (x/(1 - z/d), y/(1 - z/d), 0, 1) Si on multiplie par (1 - z/d): (x, y, z, 1) (x, y, 0, 1 - z/d )
Applets Java Demo/lettre/ Demo/homog/
Prochain cours... Sous-espaces de R n –Définition –Sous-espaces associés à une matrice –Bases –Coordonnées –Dimension –Rang