8.3 THÉORÈME FONDAMENTAL DE LALGÈBRE cours 27
Au dernier cours nous avons vus La définition des nombres complexes Les opérations sur les nombres complexes La formule de De Moivre
Aujourdhui, nous allons voir Les racines de lunité Le théorème fondamental de lalgèbre
Ce fait navait pas réellement dimpact sur ce quon a fait jusquà présent. Par contre ceci va devenir important lorsquon va prendre des racines. Nest pas quune réponse
Exemple: Trouver les racines carré de 1 Ici, on a des réponses différentes pour
Exemple: Trouver les racines cubiques de 1 Ici, on a des réponses différentes pour
Racines de lunité De manière plus général, léquation possède n solutions, qui sont avec
Exemple: Voici une autre façon de trouver la racine dun nombre complexe. Trouveron cherche tel que et avec ou donc
Théorème: Théorème fondamental de lalgèbre Tous polynômes à coefficients complexes de degré a au moins un zéro dans. Cest à dire: Bien que ça semble simple, la preuve de ceci dépasse le cadre du cours.
Théorème: Preuve: Mais on sait déjà que est un zéro de est un facteur de SiSi on divise par Le reste est de degré 0
Les deux derniers théorèmes mis ensemble nous disent que tous polynômes complexes se factorise complètement.
Pour des raisons qui vont devenir plus clairs bientôt, explorons un peu le conjugué dun nombre complexe.
Soit un polynôme à coefficients réels. avec
Théorème: Preuve: Les racines dun polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires de conjuguées. Siest une racine de alors, doù et donc est aussi une racine de
Aujourdhui, nous avons vu Les racines de lunité Le théorème fondamental de lalgèbre
Devoir: p. 311 #6 à 12 p.315 #1 à 8