Géométrie analytique Distance d’un point à une droite

La formule calculant la distance d’un point à une droite nous permet de déterminer la longueur du segment qui relie ce point à la droite. 1 2 3 4 5 6 7 Cette distance doit être la plus courte possible. C’est donc le segment perpendiculaire à la droite qui est le plus court chemin. La formule calculant la distance d’un point à une droite tient donc compte de ce principe.

Distance d’un point à une droite oblique. Soit la droite d1 ayant comme équation y1 = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6 , 4 ) et cette droite. 1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 ( 6 , 4 ) 1) Déterminons la pente de la droite d2 : donc m d2 = 1 2 m d1 = - 2 d1 d2 2) Déterminons l’équation de la droite d2 : y = mx + b 1 2 y = x + b avec ( 6 , 4 ) 4 = X 6 + b 1 2 4 = 3 + b 1 = b Équation d2 : y = 0,5 x + 1

1 2 3 4 5 6 7 3) Déterminons les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d2 : ( 6 , 4 ) d1 En utilisant la méthode de comparaison : y = - 2x + 6 y = 0,5 x + 1 d2 -2 x + 6 = 0,5x + 1 5 = 2,5x 2 = x y = 0,5 x + 1 y = 0,5 X 2 + 1 = 2 Coordonnées du point d’intersection ( 2 , 2 )

1 2 3 4 5 6 7 4) Calculons la distance entre le point d’intersection des deux droites et le point ( 6 , 4 ) : ( 6 , 4 ) d1 P1 ( 2 , 2 ) P2 ( 6 , 4 ) P2 ( x1 x2 - ) 2 y1 y2 + d (P1 , P2 ) = d2 P1 ( 2 6 - ) 4 + d (P1 , P2 ) = d (P1 , P2 ) = 4 2 + d (P1 , P2 ) = 20 ≈ 4,472 Distance du point P2 à la droite d1 ≈ 4,472

1 2 3 4 5 6 7 Il existe des formules construites à partir de ce raisonnement. ( 6 , 4 ) d1 Elles permettent de calculer la distance d’un point à une droite, plus rapidement. P2 Avec une équation écrite sous la forme fonctionnelle: d2 P1 y = ax + b d ( P , d ) = ax1 - y1 + b a2 + 1 a : la pente de la droite; x1 et y1 : les coordonnées du point b : l’ordonnée à l’origine de la droite Remarque : Le numérateur est en absolu pour s’assurer d’une réponse positive.

Problème 1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 ( 6 , 4 ) P1 P2 Soit la droite d1 ayant comme équation y = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6 , 4 ) et cette droite. a = - 2 b = 6 x1 = 6 y1 = 4 d ( P , d ) = ax1 - y1 + b a2 + 1 d ( P , d ) = -2 X 6 - 4 + 6 (-2)2 + 1 d ( P , d ) = - 12 - 4 + 6 4 + 1 d ( P , d ) = - 16 + 6 5 - 10 5 = 10 5 ≈ 4,472 Remarque: Attention aux priorités d’opérations et aux signes.

1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 ( 6 , 4 ) P1 P2 Il existe une formule similaire quand l’équation est écrite sous la forme générale : Ax + By + C = 0 d ( P , d ) = Ax1 + By1 C A2 + B2 A, B et C sont les paramètres de l’équation écrite sous la forme générale. x1 et y1 sont les coordonnées du point.

Problème 1 2 3 4 5 6 7 d1 d2 ( 6 , 4 ) P1 P2 Soit la droite d1 ayant comme équation y = - 2x + 6 ; on cherche la distance entre le point ( 6 , 4 ) et cette droite. Ramenons l’équation, forme fonctionnelle, sous la forme générale : y = - 2x + 6 2x + y - 6 = 0 A = 2 B = 1 C = - 6 x1 = 6 y1 = 4 d ( P , d ) = Ax1 + By1 C A2 + B2 10 5 ≈ 2 X 6 + 1 X 4 - 6 22 + 12 = 12 + 4 - 6 5 = 16 - 6 5 = 4,472 d ( P , d ) = Remarque: La formule de la distance d’un point à une droite permet de mesurer la longueur d’un segment. Intéressant, entre autre, pour trouver la mesure d’une hauteur.

| x2 – x1 | Cas particuliers Distance d’un point à une droite parallèle à l’axe des ordonnées. Une droite parallèle à l’axe des ordonnées possède toujours la même abscisse; on calcule simplement la différence des abscisses entre le point et la droite en valeur absolue; x y 1 2 3 4 5 6 7 P ( 6 , 3 ) d1 d ( P , d1 ) : | x2 – x1 | | 6 – 2 | = 4

Distance d’un point à une droite parallèle à l’axe des abscisses. Une droite parallèle à l’axe des abscisses possède toujours la même ordonnée; on calcule simplement la différence des ordonnées entre le point et la droite en valeur absolue; x y 1 2 3 4 5 6 7 P1 ( 2 , 6 ) d1 d ( P , d1 ) : | y2 – y1 | | 6 – 1 | = 5