RELATIFS Bernard Izard 4° Avon 2010 01-RE I - ADDITION SOUSTRACTION Chapitre 01-RE RELATIFS I - ADDITION SOUSTRACTION II – RAPPEL des PRIORITES III- MULTIPLICATION IV – DIVISION V - DISTRIBUTIVITE VI – CHASSER LES PARENTHESES Bernard Izard 4° Avon 2010

RESULTAT DE L’OPERATION Additions et soustractions de relatifs (Rappel) OPERATION OPERATION DECOMPOSEE JEU RESULTAT DU JEU RESULTAT DE L’OPERATION 3 - 9 +3 -9 G = 3 P = 9 P = 6 -6 -3 + 4 -3 +4 P = 3 G = 4 G = 1 1 -8 - 7 -8 -7 P = 8 P = 7 P = 15 -15 4 + 6 +4 +6 G = 4 G = 6 G = 10 10 14 - (-31) 14 +31 G = 14 G = 31 G = 45 45 -21 + (-52) -21 -52 P = 21 P = 52 P = 73 -73 -(+18) + (+2) -18 +2 P = 18 G = 2 P = 16 -16 3 - 7 + 4 - 8 + 2 3 -7 +4 -8 +2 G = 9 P = 15 4 - (-5) + (-3) - (-2) +4 +5 -3 +2 G = 11 P = 3 G = 8 8

Rappel des règles La somme de 2 positifs est un positif. On les additionne et on met un signe + ou rien au résultat. Ex: +5 +8 = +13 La somme de 2 négatifs est un négatif. On additionne les 2 nombres et on met un signe – au résultat. Ex: -7+(-5) = -12 Pour additionner un positif et un négatif on retranche le plus petit du plus grand (sans s’occuper des signes), et on met au résultat le signe du plus grand. Ex: -7 + (+2) = -5

Ex : Effectuer les calculs suivants A = 5 + 18 - 14 + 3 - 9 B = (2 - 8) + (-15 + 4) B = -6 + (-11) A = 5 + 18 + 3 - 14 - 9 B= -6 – 11 A = 26 - 23 B= -17 A = 3 C= -15 – (7 - 18) + (14 - 16) C= -15 - (-11) + (-2) C= -15 + 11 - 2 C= 11 - 17 C= -6

Soustraction La soustraction est l’addition avec l’opposé 7-(-3) = 7 + 3 car +3 est l’opposé de -3 Un nombre + son opposé = o Exercices: 6 - ( 7 – 24 ) = - 2 – (+3) =

II. Règles de priorités opératoires La multiplication et la division sont des opérations prioritaires sur l’addition et la soustraction. Remarque : dans une suite de calculs avec des parenthèses, on commence par les calculs entre parenthèses en respectant les opérations prioritaires. Exemples : Effectuer les calculs suivants A = 7 – 4 x 8 B = 15 – (7 + 8 x 2) ÷ 10 A= 7 - 32 B= 15 - (7 + 16) ÷ 10 A= -25 B= 15 - 23 ÷ 10 B= 15 - 2,3 B= 12,7

III. Multiplication des relatifs Nous allons construire un tableau de multiplication et en déduire des règles de calcul

5 10 15 20 25 4 8 12 16 3 6 9 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 X +1 +2 +3 +4 +5 2° nombre 1° nombre

5 -25 -20 -15 -10 -5 10 15 20 25 4 -16 -12 -8 -4 8 12 16 3 -9 -6 -3 6 9 2 -2 1 -1 X +1 +2 +3 +4 +5 2° nombre 1° nombre

Le produit de 2 positifs est un positif Règle des signes (1ère version) Le produit de 2 positifs est un positif Le produit de 2 négatifs est un positif Le produit d’un négatif et d’un positif est un négatif Découverte par le français Nicolas Chuquet (1445 ; 1500)

Le produit de 2 relatifs de même signe est un positif Règle des signes (2ième version) Le produit de 2 relatifs de même signe est un positif Le produit de 2 relatifs de signes contraires est un négatif A = -5 x (-6) = + 30 A = +5 x (+6) = + 30 A = +5 x (-6) = - 30 A = -5 x (+6) = - 30

Exemples : 2 x 7 = 14 + par + devient + 2 x (-7) = -14 + par - devient - (-2) x 7= -14 - par + devient - (-2) x (-7) = 14 - par - devient + Remarque : Cette règle des signes ne s’applique que dans le cas où : - deux signes se suivent - deux nombres se multiplient. Ne pas confondre : -2 - 3 = -5 et (-2) x (-3) = 6

Exemples : Effectuer les calculs suivants A = (-7 - 4) x (-2) B = -3 - (-4 + 8) x (2 - 9) A = -11 x (-2) B = -3 - 4 x (-7) A = + 22 B = -3 + 28 B = 25 La multiplication par un négatif change le signe -1 x (+4) = -4 -1 x (-4) = +4

Produit de plusieurs nombres Règle des signes (3ème version): Lorsqu’on multiplie on compte les signes - : S’il y a un nombre pair de facteurs négatifs, alors le produit est positif. S’il y a un nombre impair de facteurs négatifs, alors le produit est négatif. Exemple : Quel est le signe du nombre   (-15) x (-2,5) x (-8,3) x 7 x (-14,65) ? Il y a 4 facteurs négatifs, donc le produit est positif.

Nombres au carré et nombres au cube Exemples : Effectuer : (-7)² ; (-2)³; -5² et 3 x (-3)³ (-7)² = 49 Un carré est toujours positif (-2)³ = -8 (3 facteurs négatifs) (1 facteur négatif) -5² = -25 3 x (-3)³ = -81 (3 facteurs négatifs)

IV. Division des nombres relatifs 1) Définition La division est la multiplication avec l’inverse L’inverse de a est 1/a car a x 1/a = 1 avec a non nul Pour trouver l’inverse on fait 1 divisé par le nombre L’inverse de 5 est 1/5 = 0,2 on remarque que 5 x 0,2 =1 L’inverse de 8 est 1/8 = 0,125 on remarque que 8 x 0,125 =1 Comme l’inverse ne change pas le signe et que la division est la multiplication avec l’inverse, la règle des signes de la division est la même que celle de la multiplication Attention: l’inverse de 0 n’existe pas

2) Règle des signes Le quotient de deux nombres de même signe est positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif. Exemples: = -4 ÷ (- 5) = 0,8 = 4 ÷ 5 = 0,8 = (-3) ÷ 4 = - 0,75 = 3 ÷ (-4) = - 0,75

Exemples: Effectuer les calculs suivants A = -2 x 8 + (-21) ÷ 7 B = (-15 + 3) ÷ ( -1 -3) A = -16 + (-3) B= (-12) ÷ (-4) A= - 19 B= 3

V. DISTRIBUTIVITÉ Exemples: Effectuer les calculs suivants A = -2 x (8 -21) B =-15 x ( -1 -3) B = -15 x (-1) – 15 x (-3) A = -2 x 8 – 2 x (-21) B= +15 +45 A = -16 +42 A= + 26 B= 60 k x ( a + b ) = k x a + k x b k x ( a - b ) = k x a - k x b

VI. CHASSER LES PARENTHESES Ex: + ( + 4) = + 4 + ( - 4) = - 4 - ( + 4) = - 4 - (- 4) = + 4

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