Primitives Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous verrons : que l’aire sous une courbe peut représenter une grandeur physique; que la dérivée de la fonction décrivant l’aire sous une courbe est la fonction décrivant cette courbe; comment déterminer la fonction dont la dérivée est connue.

Débit et volume Le réservoir illustré ci-contre contient 500 L de liquide. L’opérateur ouvre la valve de la conduite principale pour augmenter le volume de liquide. L’indicateur de débit donne une lecture de 15 L/min et l’opérateur referme la valve après 1 h 40 min. a) Représenter graphiquement la fonction débit et calculer le volume de liquide ajouté dans le réservoir 60 minutes après l’ouverture de la valve. Le débit est constant, sa représentation graphique est une droite horizontale. 40 30 20 10 ∆V ∆t Le volume de liquide ajouté après 60 minutes est le produit du débit par l’intervalle de temps écoulé. Cet intervalle est : Débit (L/min) 20 40 60 80 ∆t = 60 – 0 = 60 min ∆t Temps (min) et V(60) = 15 L/min ´ 60 min = 900 L S

Débit et volume b) Construire un modèle décrivant le volume de liquide dans le réservoir en fonction du temps et représenter graphiquement ce modèle. Le volume de liquide au temps t est le volume initial plus le volume de liquide ajouté. On a donc : V = V0 + ∆V = 15∆t Dans la situation présente, l’intervalle de temps est : V(t) Débit (L/min) Temps (min) ∆V ∆t 40 30 20 10 60 80 ∆t = t – 0 = t min On a donc : 2,0 1,5 1,0 0,5 V(t) = 500 L + 15 L/min ´ t min = 15 t + 500 L Volume (kL) Le modèle obtenu décrit l’aire sous la courbe du débit en fonction du temps t. 20 40 60 80 100 t Temps (min) S

Vitesse et distance S S v(t) s(t) 2,0 1,6 0,8 1,2 0,4 0,8 0,4 t t Un mobile part d’un point fixe O et s’éloigne vers la droite à une vitesse constante de 0,4 m/s pendant 5 secondes. O ∆s a) Représenter graphiquement la fonction vitesse et évaluer ∆s, la variation de la position de ce mobile durant les quatre premières secondes. b) Décrire la position du mobile par rapport au point O en fonction du temps t et représenter graphiquement cette fonction. La vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale. La vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale. La position du mobile est donnée par : S S s = s0 + v ∆t La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit : La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit : où v = 0,4 m/s et s0 = 0 puisque, à l’instant t = 0, le mobile est au point O. De plus, ∆t = t – 0 = t. La position est alors : v(t) s(t) ∆s ∆t 2,0 1,6 1,2 0,8 0,4 0,8 0,4 ∆t = 4 – 0 = 4 s ∆t = 4 – 0 = 4 s s(t) = 0,4t m Vitesse (m/s) et ∆s = 0,4 m/s ´ 4 s = 1,6 m et ∆s = 0,4 m/s ´ 4 s = 1,6 m Position (m) Graphiquement, cette fonction est un segment de droite de pente 0,4 m/s passant à l’origine et dont le domaine de validité est l’intervalle [0; 5]. 1 2 3 4 5 t 1 2 3 4 5 t Temps (s) ∆t Temps (s)

Aire sous une courbe Les deux exemples qui précèdent nous ont permis de voir que l’aire sous une courbe peut représenter, dans certaines situations, une grandeur physique. De plus, l’aire sous la courbe dans un intervalle [0; t] pouvait, dans les situations présentées, se décrire à l’aide d’une fonction de t. Nous allons tenter d’établir le lien entre la fonction décrivant la courbe d’une fonction f et la fonction décrivant l’aire sous la courbe de f. Évidemment, les cas les plus intéressants sont ceux pour lesquels la courbe n’est pas une droite horizontale. C’est-à-dire : • comment procède-t-on lorsque le débit n’est pas constant ? • comment procède-t-on lorsque la vitesse n’est pas constante ? • comment procède-t-on lorsque l’accélération n’est pas constante ? Établissons une première relation entre la fonction décrivant l’aire sous la courbe et celle décrivant la courbe.

∆A = A(x+h) – A(x) ≈ f(c) ´ h Aire sous une courbe Soit f une fonction continue et non négative sur un intervalle [a; x] dont la frontière droite est variable. On a donc : f(x) ∆A = A(x+h) – A(x) ∆A h = A(x+h) – A(x) h ≈ f (c) ´ h h L’aire sous la courbe de la fonction f sur cet intervalle dépend de la valeur de x. Notons-la A(x). En considérant la limite lorsque h tend vers 0, on a : A(x) REMARQUE : La dérivée de la fonction décrivant l’aire sous la courbe est la fonction décrivant la courbe. Nous allons tenter d’établir le lien entre la fonction A et la fonction f. lim h ® 0 ∆A h = A(x+h) – A(x) h lim h ® 0 a x x Considérons un accroissement h de la valeur d’abscisse. = f (c) ´ h h lim h ® 0 = f (c) lim h ® 0 x+h L’aire s’accroît alors d’une valeur : lim h ® 0 ∆A h A'(x) = ∆A = A(x+h) – A(x) Or, par définition de la dérivée : Cette différence d’aire peut être approchée par l’aire du rectangle de largeur h et de hauteur f(c), où c est le point milieu de l’intervalle [x; x+h]. Soit : f (c) lim h ® 0 De plus, = f (x) A'(x) = f (x) On obtient donc : x x+h ∆A = A(x+h) – A(x) ≈ f(c) ´ h c S S

Exemple Déterminer l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 sur l’intervalle [0; 2]. f (x) (2; f(2)) Puisque : A'(x) = f (x) on doit déterminer la fonction dont la dérivée est f(x) = x2. On obtient facilement : A(x) = 1 3 x3 Conclusion : L’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 sur l’intervalle [0; 2] est égale à 8/3 d’unités d’aire. Cependant, ce n’est pas la seule solution. On constate que les fonctions : 2 x A(x) = 1 3 x3 x3 + 2 A(x) = 1 3 x3 + 3 et satisfont également à la condition : A'(x) = f (x) Cependant, dans la situation présente, on doit avoir A(0) = 0 et on retient : A(x) = 1 3 x3 On trouve alors : A(2) = 1 3 23 = 8 3 S S S

Primitive DÉFINITION Fonction primitive Soit f, une fonction. On appelle primitive de f toute fonction F telle que : d dx F(x) = f(x) Dans l’exemple précédent, nous avons constaté qu’une fonction a plusieurs primitives. Ainsi : A(x) = 1 3 x3 A(x) = 1 3 x3 x3 + 2 A(x) = 1 3 x3 + 3 , et sont toutes des primitives de f(x) = x2. On constate que ces primitives ne diffèrent que par une constante. Existe-t-il des primitives d’une fonction f qui diffèrent autrement que par une constante ? Si on ne considère que des valeurs de f contenues dans un intervalle I, la réponse est non.

Intégration et notations Théorème Fonction primitive Soit F(x) une primitive de f(x). Alors, pour tout valeur de k, la fonction F(x) + k est également une primitive de la fonction f(x). De plus, sur un intervalle donné, toute primitive de f(x) s’exprime comme la somme de F(x) et d’une constante k. Le procédé consistant à trouver une primitive s’appelle l’intégration. Pour indiquer que l’on recherche les primitives d’une fonction on utilise la notation suivante : f(x) dx = F(x) + k qui se lit : l’intégrale indéfinie de la fonction f(x) est égale à F(x) + k. Dans cette notation : est le symbole d’intégration, f(x) est l’intégrande, F(x) est une primitive, k est la constante d’intégration. S

Exercice S S S Effectuer l’intégration suivante : cos x dx. La fonction F(x) = sin x est une primitive de f(x) = cos x pour tout x sur l’intervalle ]–∞; ∞[. On a donc : cos x dx = sin x + k Effectuer l’intégration suivante : ex dx. La fonction F(x) = ex est une primitive de f(x) = ex pour tout x sur l’intervalle ]–∞; ∞[. On a donc : ex dx = ex + k S S S

Fonction, dérivée et primitive F (x) x Il faut bien distinguer fonction, fonction dérivée et fonction primitive. Considérons, par exemple, la fonction définie par f(x) = x2. f (x) x Sa dérivée est obtenue en appliquant l’opérateur de dérivation : d dx x2 = 2x Sa famille de primitives est obtenue en appliquant l’opérateur d’intégration : f ' (x) x x2 dx = 1 3 x3 + k S S

Intégrale de fonctions usuelles On constate que toute formule de dérivation est équivalente à une formule d’intégration. On obtient ainsi les intégrales de base : d dx = 1 x dx = x + k xr +1 r +1 d dx = xn xr dx = + k xr +1 r +1 , où r ≠ –1 d dx = ex ex ex dx = ex + k d dx = cos x sin x cos x dx = sin x + k d dx = sin x –cos x sin x dx = –cos x + k d dx = sec2x tan x sec2x dx = tan x + k d dx = sec x tan x sec x sec x tan x dx = sec x + k . . . . . . L’étudiant doit compléter et mémoriser.

Un cas délicat Dans le cours de calcul différentiel, on a vu comment dériver la fonction définie par f(x) = ln x et on a généralisé aux fonctions composées. On a alors obtenu : 1 x d dx = ln x 1 u du dx d = ln u et Il est bon de rappeler que le domaine de la fonction f(x) = ln x est ]0; ∞[. La fonction est définie seulement pour x > 0 (ou u > 0). Considérons d dx ln |x| On rencontre alors deux cas : Si x > 0, on a |x| = x et d dx ln |x| 1 x = Si x < 0, on a |x| = –x et la dérivation en chaîne donne : d dx ln |x| ln (–x) d dx = 1 –x = d dx 1 x = On a donc la formule d’intégration suivante : dx = ln |x| + k 1 x

Relations dérivée intégrale Remarque On peut décrire la relation entre la dérivée et l’intégrale de la façon suivante : d dx f(x) dx = f(x) Cette expression est utile en particulier pour vérifier le résultat obtenu en intégrant une fonction. En dérivant la primitive obtenue en intégrant, on doit obtenir l’intégrande.

Propriétés Théorème Propriétés de l’intégrale indéfinie Soit f et g, deux fonctions intégrables, c’est-à-dire : f(x) dx = F(x) + k1 g(x) dx = G(x) + k2 et et c, une constante. Alors : a) c f(x) dx = c f(x) dx L’intégrale du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de la constante par l’intégrale de la fonction. b) [ f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx L’intégrale d’une somme de fonctions est la somme des intégrales de ces fonctions.

Exercice S Effectuer l’intégration suivante : [3 sin x + 2 cos x] dx Par les propriétés de l’intégrale, on a : [3 sin x + 2 cos x] dx = 3 sin x dx + 2 cos x dx , par la propriété de la somme; = 3 sin x dx + 2 cos x dx , par la propriété du produit par une constante; = – 3 cos x + 2 sin x + k , par définition de l’intégrale indéfinie. S

Conclusion L’aire sous la courbe d’une grandeur physique peut également représenter une grandeur physique. La dérivée de la fonction décrivant l’aire sous une courbe est la fonction décrivant cette courbe. On appelle primitive d’une fonction f(x) toute fonction dont la dérivée est f(x). Dans cette présentation, nous n’avons pas défini de façon stricte ce que l’on entend par aire, nous avons eu recours à une compréhension intuitive. Nous devrons éventuellement donner une telle définition en ayant recours à la notion de limite.