enjeux, apports et méthodologie Enseigner avec les TIC enjeux, apports et méthodologie Exposé critique d’une expérience réalisée au cours de mathématique avec des étudiants de 3e régendat mathématique Par Rachel BEX et Nadia PARONI 9/11/2004 HEB DEFRE

Objectifs Responsabiliser les étudiants en les rendant acteurs de leur formation Susciter l’intégration des TICE dans les pratiques professionnelles des futurs enseignants Montrer la diversité des points de vue d’une même matière 9/11/2004 HEB DEFRE

Démarche (1) Les Coniques Choix d’un sujet pour lequel l’utilisation des TICE permet des développements enrichissants Les Coniques Consultation de références : Internet, livres, CD, monographies, … http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Coniques/ConiquesGene.html http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Coniques/Index_coniques.html http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/belges.htm http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/html/orthocentre/stage_irem.html http://www.sasked.gov.sk.ca/docs/francais/frmath/math-abc30/nxes3.html http://www.mathcurve.com/courbes2d/conic/conic.shtml http://www.chronomath.com/ 9/11/2004 HEB DEFRE

Démarche (2) Organisation et agencement de la matière 9/11/2004 Organisation et agencement de la matière Choix des outils utilisables : Power Point, Cabri géomètre, Excel, papier, crayon, compas, règle Calculatrice graphique, … 9/11/2004 HEB DEFRE HEB DEFRE

Démarche(3) Découpage et répartition de la matière en vue de permettre aux étudiants de réfléchir, émettre des hypothèses, construire, calculer, démontrer, justifier … et aussi de participer régulièrement à la progression de la leçon. 9/11/2004 HEB DEFRE

réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Définition bifocale L'hyperbole est le lieu des points dont la différence en valeur absolue des distances à deux points fixes F et F' est égale à une constante notée 2a.  ||MF|-|MF’|| = 5,77 |AA’| = 5,77 ||M’F|-|M’F’|| = 5,77 Construction 9/11/2004 HEB DEFRE

Éléments caractéristiques d’une hyperbole réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Éléments caractéristiques d’une hyperbole |AA’| = 5,77 cm ||MF|-|MF’|| = 5,77 cm Les points F et F’ sont ses foyers. d(FF’) = 2c L’axe qui comprend les foyers est l’axe focal ou transverse. C’est un axe de symétrie de l’hyperbole. la médiatrice de [FF’] appelée axe non focal est aussi un axe de symétrie l’intersection O des axes focal et non focal est un centre de symétrie Si M est un point de l’hyperbole, on a |d(MF’) – d(MF)| = 2a. Les points d’intersection de l’hyperbole avec l’axe focal sont ses sommets. 2a est donc la distance de A à A’. 9/11/2004 HEB DEFRE

Éléments caractéristiques d’une hyperbole réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Éléments caractéristiques d’une hyperbole Il existe, comme dans l’ellipse, une constante b. Comment la définir? Comme 2a < 2c, b est le nombre tel que b² + a² = c² 9/11/2004 HEB DEFRE

Équation réduite d’une hyperbole réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Équation réduite d’une hyperbole avec l’axe OX des abscisses est l’axe focal L’axe OY des ordonnées est l’axe perpendiculaire à l’axe focal passant par le milieu de [F F’] 9/11/2004 HEB DEFRE

Quelles sont leurs équations? réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Les asymptotes Quelles sont leurs équations? Une hyperbole admet 2 asymptotes obliques 9/11/2004 HEB DEFRE

Constructions associées réfléchir - émettre des hypothèses - construire - calculer - démontrer - justifier Constructions associées L’hyperbole du jardinier est obtenue à l’aide de 2 ficelles attachées à une extrémité en F et F’, tenues tendues à l’autre extrémité ensemble et enfilées dans un anneau dans lequel passe un crayon Construction de l’hyperbole du jardinier Tracé par contre parallélogramme articulé formé de deux triangles symétriques Construction par contre parallélogramme 9/11/2004 HEB DEFRE

Démarche(4) Création ou choix dans les références retenues, d’animations, d’illustrations claires, pertinentes et agréables à la vue, de textes bien adaptés 9/11/2004 HEB DEFRE

Trace- hyperbole de Delaunay Trace-hyperbole de Cavalieri Équation cartésienne d’une hyperbole 9/11/2004 HEB DEFRE

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Quel est le mouvement du point Q de la porte? Illustration des théorèmes belges (de Dandelin et Quételet) 9/11/2004 HEB DEFRE

Définition des coniques par courbe d'équidistance entre un point et un cercle généralisé. Les coniques sont les lieux des points équidistants d’un point fixe (un foyer) et d’un cercle ou d'une droite (D) (le cercle directeur ou la directrice); autrement dit, ce sont les lieux du centre d’un cercle variable astreint à passer par un point fixe et à être tangent à (D). Lorsque le foyer est intérieur au cercle, on obtient les ellipses, extérieur les hyperboles, et lorsque (D) est une droite : la parabole. 9/11/2004 HEB DEFRE

Bénéfices (1) Prise de conscience par les étudiants des différents angles sous lesquels on peut envisager un même sujet et des enrichissements mutuels qu’ils se procurent. Ici, les points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire se rencontrent et coexistent 9/11/2004 HEB DEFRE

La même figure de la main de kepler points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire La trajectoire d'une particule soumise à une force centrée en F proportionnelle à 1/MF2 est une conique de foyer F :                                                                                                                              La même figure de la main de kepler 9/11/2004 HEB DEFRE

points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire Les coniques sont des courbes étudiées par Menechme en 400 avant J.C., Archimède, Appolonius, Kepler etc... Les coniques à centre, dans un repère d'origine le centre et d'axe des abscisses l'axe focal ont comme équation cartésienne : (1 – e²) x² + y² = (1 - e²) a². Définition (géométrique) des Grecs : les coniques sont les sections d’un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. D'après les lois de la réflexion, tout rayon lumineux pointant sur l'un des foyers, est réfléchi par l'hyperbole dans une direction passant par l'autre foyer. C’est le principe du télescope de Cassegrain. 9/11/2004 HEB DEFRE

points de vue algébrique, géométrique, historique, étymologique, épistémologique, scientifique, socio-économique, technique et littéraire Etymologie : du grec ellipsis = déficient, défectueux, par opposition à l'hyperbole. Ainsi ellipse apparaît antinomique à hyperbole. Ces termes sont d'Apollonius de Perge. lien littéraire : L’hyperbole est une figure de style qui consiste à amplifier une idée pour la mettre en relief. Il s'agit d'une exagération. Exemples: Briller de mille feux, mourir de soif, avoir trois tonnes de boulot, se faire tuer par sa mère en rentrant 9/11/2004 HEB DEFRE

Bénéfices (2) Travail individuel favorisant la réflexion et la confrontation des résultats Situations et figures claires et précises, impossibles au tableau Disponibilité de l’enseignant dégagé de son tableau Résolution de problèmes divers Construction d’une hyperbole équilatère Mener les tangentes à une hyperbole par un point extérieur à l’hyperbole 9/11/2004 HEB DEFRE

Bénéfices (3) Possibilité, dans Cabri Géomètre, d’employer l’historique présent pour revoir, pas à pas, toutes les constructions qui ont été réalisées Construction d’une conique à partir des 2 foyers et d’une tangente de montrer différentes figures d’une même situation en faisant varier certains paramètres Variation de l’excentricité de créer et utiliser des macros selon les besoins Tangente à une ellipse 9/11/2004 HEB DEFRE

Bénéfices (4) Possibilité, dans Power Point, de rompre la séquence et d’insérer des liens hypertextes pour naviguer dans la présentation de faire des liens vers Cabri, vers Internet 9/11/2004 HEB DEFRE

Bénéfices (5) Possibilités dans Excel de créer des coniques point par point de faire des exercices parabole 9/11/2004 HEB DEFRE

Remarques Tout doit être essayé, vérifié : tout ce qui se trouve sur Internet n’est pas correct, même si le site est sérieux Qu’est-ce? Difficulté de choisir et de structurer la masse d’information Certaines images animées ne sont pas « chargeables » Il faut prévoir plus d’heures de cours que pour un cours « normal » Il faut prévoir 200 heures de préparation pour 30 heures de cours 9/11/2004 HEB DEFRE

Conseils (1) Bien balancer les temps d’information et les temps d’activité personnelle des étudiants Il faut oser se lancer, on apprend au fur et à mesure : chaque préparation est meilleure que la précédente, tirant avantage des essais et erreurs antérieurs Parabole Ellipse 9/11/2004 HEB DEFRE

Tangente en un point paraFD.mac Parab6 Conclusion : en tout point P d’une parabole, existe une tangente qui est la médiatrice de [FM] si M est la projection orthogonale de P sur la directrice. Construction1: cf. 1e construction de la parabole (parab7) Construction2: (parab8) Construction des tangentes parallèles à une droite donnée d (parab9) 9/11/2004 HEB DEFRE

Tangentes à une ellipse La tangente en M’ est la médiatrice du segment F’M, si M appartient au cercle directeur Son équation est si M’(x0,y0) Tangentes.fig 9/11/2004 HEB DEFRE

Conseils (2) Chaque étudiant doit disposer d’un ordinateur Chaque étudiant peut disposer de notes de cours qui sont l’impression (3 dias par page) des écrans de la présentation avec de l’espace pour noter ses propres commentaires. 9/11/2004 HEB DEFRE

Nadia Paroni et Rachel Bex Nous espérons que cette présentation vous aura intéressé et vous aidera à concevoir d’autres cours utilisant les TICE. Nadia Paroni et Rachel Bex 9/11/2004 HEB DEFRE