Suites numériques T. Thangaï LP Le Verger

Suites arithmétiques Sommaire Exemple 1 Définition Calcul d’un terme Terme de rang n Somme n premiers termes Exemple T. Thangaï LP Le Verger

Sommaire Suites géométriques 1. Définition 2. Terme de rang n 3. Somme des n premiers termes Application T. Thangaï LP Le Verger

Suites arithmétiques T. Thangaï LP Le Verger

I.   Définition T. Thangaï LP Le Verger

Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en ajoutant au précédent un même nombre appelé raison de la suite. Le premier terme ou terme de rang 1 est noté U1 ; la raison est notée r. Le terme de rang n est noté Un ; le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un -1 Dans ces conditions : Un = Un -1 + r. Par exemple : U2 = U1 + r ; U3 = U2 + r, etc.   T. Thangaï LP Le Verger

II. Calcul d’un Terme de rang n T. Thangaï LP Le Verger

Un = U1 + (n ‑1) r Plus généralement, on remarque que: U1 U2 U3 U4 U2 = U1 + r U3 = U1 + 2 r U4 = U1 + 3 r Plus généralement, on remarque que: Un = U1 + (n ‑1) r T. Thangaï LP Le Verger

III. Somme des n premiers termes d’une suite arithmétique T. Thangaï LP Le Verger

On donne une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r Exemple On donne une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r Calculer en fonction de U1 et U7 : U2 + U6 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7 U3 + U5 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7 U4 + U4 = U1 + (U4 + 3 r) = U1 +U7 U5 + U3 = U1 + (U5 + 2 r) = U1 +U7 U6 + U2 = U1 + (U6 + r) = U1 +U7 2. On constate donc que: U1 + U7 = U2 + U6 = U3 + U5 = U4 + U4 = U5 + U3 = U6 + U2 = U7 + U1 T. Thangaï LP Le Verger

On écrit S7 de 2 façons différentes: 3. Pour calculer la somme S7 des 7 premiers termes de cette suite arithmétique en fonction de U1 et r, On écrit S7 de 2 façons différentes: S7 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 S7 = U7 + U6 + U5 + U4 + U3 + U2 + U1 2×S7 = (U1 + U7) + (U2 + U6) + (U3 + U5) + (U4 + U4) + (U5 + U3) + (U6 + U2) + (U1 + U7) 2×S7 = 7× (U1 + U7) T. Thangaï LP Le Verger

On démontre que pour tout nombre entier n > 1 D’où: On démontre que pour tout nombre entier n > 1 la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de premier U1 et de raison r est donnée par la relation: T. Thangaï LP Le Verger

Suites géométriques T. Thangaï LP Le Verger

Une suite géométrique est une suite de nombres, 1. Définition  Une suite géométrique est une suite de nombres, tels que chacun d'eux, à partir du second, s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre appelé raison de la suite. Le premier terme est noté U1 ; La raison est notée q. Le terme de rang n est noté Un ; Le terme précédent de rang n ‑ 1 est noté Un - 1 Dans ces conditions : Un = Un -1 ×q. Par exemple : U2 = U1 × q U3 = U2 × q, etc T. Thangaï LP Le Verger

Voir exemple : activité suite géométrique (séance informatique) T. Thangaï LP Le Verger

2. Terme de rang n d’une suite géométrique : Soit (Un) une suite géométrique de premier terme U1 et de la raison q On a donc : Un = Un -1 ×q T. Thangaï LP Le Verger

Un = Un -1 ×q U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q Écrire les termes U2 à U7 de cette suite en fonction de U1 et de q U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q U6 = U5 × q U7 = U6 × q T. Thangaï LP Le Verger

U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q U6 = U5 × q Sachant que tous les termes de cette suite sont non nuls, donner le résultat du produit membre à membre des expressions suivantes U2 = U1 × q U3 = U2 × q U4 = U3 × q U5 = U4 × q U6 = U5 × q U7 = U6 × q U7 = U1 × q6 = U1 × q7 - 1 T. Thangaï LP Le Verger

×q ×q ×q Un = U1 ×q(n ‑1) On admet donc que: et plus généralement: U1 U2 = U1 ×q U3 = U1 ×q2 U4 = U1 ×q3 Un = U1 ×q(n ‑1) et plus généralement: T. Thangaï LP Le Verger

3. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique : On considère une suite géométrique de premier terme U1 et raison q( ). Soit S6 la somme des 6 premiers termes de cette suite géométrique : S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 1.  Montrer que: q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 q S6 = q×U1 + q×U2 + q×U3 + q×U4 +q× U5 + q×U6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 T. Thangaï LP Le Verger

2. Montrer que: S6 – q× S6 = U1 - U7 = U1 – U1×q6 Pour cela, on a: S6 = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + U6 q S6 = U2 + U3 + U4 + U5 + U6 + U7 S6 – q S6 = U1 - U7 Ou encore S6 ×(1– q ) = U1 – U1×q6 = U1×(1 - q6 ) T. Thangaï LP Le Verger

On a : (1 – q)× S6 = U1 (1 – q6 ) donc: 3.  Montrer que: On a : (1 – q)× S6 = U1 (1 – q6 ) donc: T. Thangaï LP Le Verger

La somme Sn d’une suite géométrique de premier terme U1 et de raison q(q 1) est donnée par la relation : Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + ……… + Un = Remarque : Si q = 1, alors Sn = n×U1 T. Thangaï LP Le Verger

Application Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison . T. Thangaï LP Le Verger