Varia Lectures obligatoires dans manuel du cours: Chapitre 5 Probabilité en gestion et en économie, Martel et Nadeau, Sections 3.1, 3.2, 5.1, 5.2, 5.3.1. et 5.3.2

Plan de la séance On poursuit l’étude des probabilités en introduisant les concepts de variable aléatoire et de distribution (ou loi) de probabilité Distributions de probabilités discrètes Loi Binomiale Loi de Poisson loi Hypergéométrique

Notion de variable aléatoire Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: S (ou W): l’ensemble fondamental des résultats Une famille d’événements associés à S Une fonction de probabilité P Cependant, souvent, on ne s’intéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience

Notion de variable aléatoire Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. Ce qui nous intéresse, ce n’est pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet Par exemple le nombre de faces De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

Notion de variable aléatoire Il est pratiquement impossible d’effectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P) Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

Exemple Dans l’espoir d’être mieux informé sur des intentions de vote lors de prochaines élections au Québec, on décide d’effectuer un sondage éclair. On choisit trois étudiants au hasard dans la classe, et on décide de les interroger sur leurs intentions de vote. On suppose qu’il y a simplement 2 partis: le parti vert (V) et le parti mauve (M). En assignant à chacun des trois étudiants la lettre V s’il se déclare pour le parti Vert et la lettre M s’il se déclare pour le parti Mauve, on obtient l’ensemble fondamental comme suit: W= {(M,M,M), (M,V,M), (M,M,V), (V,V,V), (V,M,V),(V,V,M), (M,V,V) (V, M,M)}.

L'ensemble des nombres réels Exemple Cependant, on ne s’intéresse pas à un résultat particulier, par exemple, si le premier étudiant vote pour le parti Mauve, mais plutôt disons, au nombre d’étudiants qui voteront pour le parti Mauve. Dans cette perspective, il est utile de définir une variable aléatoire qui permet d’associer à chaque résultat un nombre réel x, ce nombre étant le nombre de “Verts” dans l’échantillon de 3 étudiants. L'ensemble des nombres réels

Le nombre de votants pour le parti vert Exemple X: W w Le nombre de votants pour le parti vert (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 1 2 3

Variable aléatoire - Définition Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre réel Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

Notation Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x : x= 0, 1, 2 ou 3 faces

Variable aléatoire discrète Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

Variable aléatoire discrète - Exemples Expérience aléatoire Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Contacter cinq clients Nombre de clients qui passent une commande 0,1,2,3,4,5 Inspecter une cargaison de 50 radios Nombre de radios défectueuses 0,1,2,…,49,50 Gérer un restaurant pendant une journée Nombre de clients 0,1,2,3,…

Variable aléatoire continue Variable aléatoire continue (V.A.C.) : Lorsque l’ensemble des résultats est un intervalle de nombres réels ou une suite d’intervalles. Poids, température, temps, distance, etc.

Variable aléatoire continue - Exemples Expérience Variable aléatoire (X) Valeurs x que peut prendre la variable aléatoire X Gérer une banque Temps écoulé entre les arrivées des clients en minutes x≥0 Remplir une canette de soda (max=12,1 onces) Nombre d’onces 0≤ x ≤12,1 Travailler sur un projet de construction Pourcentage du projet réalisé après six mois 0≤ x ≤100

Quel type de variable aléatoire? Représenter les valeurs de la variable aléatoire par des points sur une droite Choisissez deux points représentant des valeurs de la variable aléatoire Si n’importe quel point du segment formé par ces deux points représente aussi une valeur possible, alors cette variable aléatoire est continue

Généralités Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues On les a abordées sous l’angle des statistiques descriptives pour des échantillons L’étude des lois de probabilités permet de caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie Le calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

Généralités Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire) Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint d’observations (échantillon) La loi des grands nombres nous permet d’établir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques Elle précise que la fréquence relative d’un événement tend vers sa probabilité lorsque le nombre de répétitions de l’expérience aléatoire augmente

Généralités Notions probabilistes (Concepts théoriques) Notions statistiques (Concepts pratiques) Probabilité d’un événement Fréquence relative Variable aléatoire Variable statistique Loi de probabilité Distribution statistique (empirique) Espérance mathématique d’une variable aléatoire m Moyenne arithmétique d’une variable statistique Variance d’une variable aléatoire s2 Variance d’une variable statistique s2

Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.) La distibution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité d’une v.a. discrète c’est associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité L’ensemble des réalisations de X est : x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

Pour une variable aléatoire discrète Exemple Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): Pour une variable aléatoire discrète x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) ou f(x) 36

Le nombre de votants pour le parti vert Exemple X: W w Le nombre de votants pour le parti vert (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 1 2 3 f(0)=1/8 f(1)=3/8 f(2)=3/8 f(3)=1/8

Représentation graphique

Propriétés d’une fonction de probabilité f(x)  0  x   f(xi) = 1

Exemple Considérons les ventes d’automobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. L’expérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de l’opération.

Exemple - suite Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour: Soit X le nombre d’autos vendues par jour X est une variable aléatoire discrète Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné. La distribution (fonction) de probabilité de x est: f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ; f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

Exemple - suite L’avantage de décrire une variable aléatoire et sa distribution de probabilité est qu’une fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité d’occurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours d’une journée est: f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

Fonction de répartition La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs xj de X (inférieures à x) jusqu’à x: F(x) = P( X  x ) = f(x1) + f(x2) +…+ f(xj) tel que x1, ..xj,  x - C’est la fonction de probabilités cumulées des valeurs de X jusqu’à xj - C’est aussi la surface sous la courbe f(x) jusqu’à la valeur xj

Exemple somme de 2 dés - suite 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=x) f(x) 36 P(Xx) F(x) 15 21 26 30 33 35

Représentation graphique

Propriétés de la fonction de répartition Une fonction de répartition F(xi) prends ses valeurs dans l’intervalle (0, 1) F(-) = lim F(x) lorsque x tend vers -  = 0 F(+) = lim F(x) lorsque x tends vers +  = 1 F(x) est non-décroissante, i.e. si x1<x2 alors F(x1) F(x2)

Propriétés de la fonction de répartition Pour une variable aléatoire discrète: P(a < X  b) = F(b) – F(a) P(a < X < b) = F(b-) – F(a) P(a  X < b) = F(b-) – F(a-) P(a  X  b) = F(b) – F(a-) où : F(x-) = P(X <x)

Paramètres d’une v.a.d Paramètre de tendance centrale Espérance mathématique Paramètres de dispersion Variance Écart type

L’espérance mathématique L’espérance mathématique d’une v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a. Notation : E[X] ou  Si X est une v.a. discrète : E[X] =  xi f(xi)

Exemple 1 - suite xi P(X=xi) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=xi) 36 xi .f(xi) 20 30 42 40 22 E[X] =  xi f(xi) = 0 + 2 + …+ 12 = 252 = 7 36 36 36 36

La variance La variance sert d’indicateur pour l’étalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à  (l’espérance mathématique) Var(X) = 2 = E[(X-)2] =

La variance Var(X) = E[X2] – (E[X])2

Écart type L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement , est défini comme la racine carrée positive de Var(X) (X) =

Exercice La demande journalière Q d’un produit obéit à la loi de probabilité suivante : Quantité Q 1 2 3 4 5 6 f(X) 0.05 0.15 0.25 0.30 a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main d’un article donné.

Rappel Définition d’une population : On appelle population tout ensemble sur lequel porte une étude statistique Les éléments d’un tel ensemble s’appellent «individus» ou «unités statistiques» Taille de la population = N

Rappel Définition d’un échantillon : On appelle échantillon tout sous-ensemble d’une population. Taille de l’échantillon = n

Expérience binomiale C’est une expérience aléatoire constituée d’une suite d’épreuves indépendantes où chaque épreuve ne peut conduire qu’aux 2 mêmes résultats possibles (succès, échec) et où chacun de ces résultats a la même probabilité de réalisation d’une épreuve à l’autre

Processus Bernoulli et expérience binomiale Propriétés: L’expérience est une série de n tirages identiques Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas d’un tirage à l’autre. La probabilité d’échec q=1-p ne se modifie pas non plus Les tirages sont indépendants Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il s’agit d’une expérience binomiale

Distribution binomiale Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsqu’on effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale. X  Bi (n, p) Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p» L’intérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

Distribution binomiale n = le nombre d’épreuves de Bernoulli p = la probabilité de succès Définition mathématique d’une v.a. binomiale : Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0  p  1, q=1-p, avec les probabilités : s’appelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

Distribution binomiale Si X est une v.a. binomiale alors :

Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité d’obtenir 2 succès ? p= q= n= x= Utilisation des tables p. 702: probabilité d’obtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 succès?

Exemple Dans une population, il y a 49% de filles et 51% de garçons. Quelle est la probabilité que dans une famille de 6 enfants, il y ait au moins 3 garçons?

Distribution binomiale Exemple : X~Bi (50, 0,30) Procédure dans Excel : Insertion; fonction, Statistiques, loi binomiale. LOI.BINOMIALE(nombre_succès;tirages;probabilité_succès;cumulative) P( X = 19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;FAUX) = 0,0557 P( X  19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;VRAI)= 0,915

Exemple À l'entrée de l'hiver, une épidémie de grippe affecte une population et on estime que 20% des personnes âgées sont menacées. 1- Calculer la probabilité que, dans un groupe de 20 personne âgées, il y en ait moins de 5 atteintes. 2- Une campagne de vaccination est mise en place, à l'issue de laquelle, soit le risque de maladie reste le même, soit il est diminué de moitié: on estime à 40% les chances que la campagne soit efficace. Que devient la probabilité de la question précédente?

Distribution de Poisson (distribution des événements rares) Une v.a.d. souvent utilisée pour décrire le nombre d’occurrences d’un événement au cours d’un intervalle de temps ou d’espace bien défini Si les deux propriétés suivantes sont satisfaites: La probabilité d’occurrence est la même dans deux intervalles de la même longueur L’occurrence ou la non-occurrence d’un événement dans un intervalle est indépendante de l’occurrence ou de la non-occurrence d’un événement dans un autre intervalle Alors: X  Po (m) Ce qui se lit «X suit une loi de Poisson de paramètre m»

Distribution de Poisson Définition mathématique d’une v.a. de Poisson : Une v.a.d. X qui prend toutes les valeurs entières x telles que x = 0, 1, 2,… avec les probabilités : s’appelle une v.a. de Poisson de paramètre m

Distribution de Poisson Variables utilisées : V.a. X donne le nombre de succès obtenus pour une période de temps donnée; t= période de temps considérée; - a= l’intensité du processus considéré (constante de proportionnalité) (correspond au nombre moyen de succès pour une période de temps unitaire); m= a.t e=2,71828 183…

Distribution de Poisson Si X est une v.a. de Poisson alors : E(X) = m VAR(X) = m

Exemple Dans une grande usine, on sait par expérience qu’il se produit en moyenne 1,8 accidents de travail par semaine. Trouvons : 1- La probabilité qu’il se produise, dans cette usine, au plus 2 accidents dans une semaine; 2- La probabilité qu’il se passe 2 semaines sans qu’il se produise d’accident dans cette usine.

Approximation La distribution de Poisson comme approximation de la distribution binomiale X  Bi (n, p)  X  Po(np) En général l’approximation est valable si: n ≥ 20 et p < 0,1

Distribution binomiale Exemple : X~Bi (50, 0,30) approximer par :X~Po (50*0,30)= X~Po (15) Calcul par binomiale: P( X = 19)= 0,05575 Calcul par Poisson: P( X = 19)=0,05574

La distribution hypergéométrique Étroitement liée à la binomiale. La différence majeure est que, lorsqu’il s’agit d’une loi hypergéométrique, les tirages ne sont pas indépendants et la probabilité de succès change d’un tirage à l’autre

La distribution hypergéométrique La distribution hypergéométrique permet de calculer la probabilité d'obtenir x succès et n-x échecs lorsqu'on choisit n éléments sans remise à partir d'une population de taille N

La distribution hypergéométrique N = taille de la population; n = taille de l’échantillon; r = nombre d’individus dans la population qui possèdent la caractéristique étudiée (considérés comme un succès); N-r= nombre d’individus dans la population qui ne possèdent pas la caractéristique étudiée (considérés comme un échec); P= r/N (probabilité de succès au premier tirage)

La distribution hypergéométrique Si une variable aléatoire X représente le nombre d’individus dans l’échantillon qui possède la caractéristique étudiée, alors X obéit à une distribution hypergéométrique X  Hg (N, n, p) Ce qui se lit «X suit une loi hyper-géométrique de paramètres N, n, p.»

La distribution hypergéométrique Si X est une v.a. hypergéométrique alors :

Exemple Considérons une urne contenant 10 boules dont 4 sont blanches. On tire successivement et sans remise trois boules de cette urne et on s’intéresse à la v.a. X représentant le nombre de boules blanches tirées. Donnez la distribution de probabilité de la v.a X.

Exemple Un élève n’a pas étudié son examen de statistiques qui comporte 5 questions. Chaque question contient 3 choix de réponses. L’élève répond au hasard aux 5 questions. Quelle est la probabilité qu’il réponde correctement à: a) aucune des 5 questions 0,13 b) au moins une des questions 0,87 c) exactement 2 des 5 questions 80/243

Exemple Dans un groupe de 25 personnes, 10 sont fumeurs. On choisit au hasard quatre de ces personnes pour former un comité. Quelle est la probabilité que le comité ait moins de fumeurs que de non-fumeurs ?

Exemple (solution intranet) On choisit au hasard deux chiffres différents et on considère la variable aléatoire X correspondant au plus petit des deux chiffres. Trouver la fonction de probabilité de X Trouver fonction de répartition de X Trouver P(3  X  6) 18/45

Exemple Pour célébrer son 150e anniversaire, un grand magasin organise un tirage (avec remise) spécial : chaque client, immédiatement après avoir payé ses achats, est invité à prendre un jeton dans un sac contenant 100 jetons portant le nom du magasin et 900 jetons blancs; si le client tire un jeton portant le nom de la compagnie, on lui remet un chèque d’un montant correspondant à 30% de ses achats; si le client tire un jeton blanc, on l’encourage à revenir au magasin et à «tenter sa chance» une autre fois. Quelle est la probabilité pour que, dans un groupe de 8 clients, il y ait 4 gagnants ?

[E(X) - s(X), E(X) + s(X)] Exemple Le responsable du comité de sécurité de l’entreprise Nicom a effectué une compilation du nombre d’accidents de travail qui se sont produits depuis deux ans dans l’usine. Ceci a permis d’établir que le taux moyen d’accidents de travail a été de 1,6 accident par jour. En admettant que le nombre d’accidents de travail en une journée obéit à une loi de Poisson, quelle est l’expression qui permettrait de calculer la probabilité d’observer x accidents de travail par jour? Quel est l’écart type de la v. a. concernée? Quel est la probabilité d’observer plus de 2 accidents par jour? Quelle est la probabilité d’avoir un nombre d’accidents compris dans l’intervalle : [E(X) - s(X), E(X) + s(X)]

Exemple (solution intranet) Un cavalier désire analyser ses chances de succès lors d'un prochain concours hippique sur un terrain qui lui est nouveau. Il décide de recueillir des renseignements auprès des 20 cavaliers qui connaissent bien le terrain en question. Le gagnant du concours est le cavalier qui accumule le moins de points de pénalité. Le nombre de points de pénalité se répartit comme suit : n points pour le n-ième obstacle qui tombe (1 pour le 1er obstacle, 2 pour le 2ième obstacle, etc.). Ainsi, pour un cavalier qui fait tomber 3 obstacles, il accumule 6 points de pénalité. Il demande donc à chacun des 20 cavaliers son estimation de la difficulté du parcours en terme du nombre de points de pénalité. Il obtient le résultat suivant : Nb de pts acc. 0 1 3 6 10 15 21 Nb de cavalier ayant attribué un nb de pts de pén. 2 2 6 4 1 3 2

Exemple (suite) Notre cavalier estime que l'ensemble de ces renseignements est représentatif de sa performance lors du prochain concours hippique. On définit la variable aléatoire X comme étant le nombre de points de pénalité accumulés. a) Déterminer la masse de probabilité de X, sa fonction de répartition. b) Quelle est la probabilité que notre cavalier se qualifie, c'est-à-dire qu'il accumule 18 points de pénalité ou moins ? .9 c) Calculer la valeur espérée du nombre de points de pénalité pour notre cavalier. 7.05 d) Calculer la déviation moyenne (écart type) du nombre de points accumulés autour de la valeur espérée. 6.56 e) Quelle est la valeur modale du nombre de points accumulés ? 0.3

Exemple Une compagnie maufacture des clous sur cinq machines identiques. La probabilité qu’une machine tombe en panne un jour donné est de 0,1. On définit une variable aléatoire X qui correspond au nombre de machines qui tomberont en panne un jour donné. Quelle est la distribution de probabilité appropriée pour X ? Expliquer pourquoi. Calculer la probabilité qu’au moins 4 machines tombent en panne. .00046 Calculer la probabilité que 4 machines tombent en panne. .00045 Quelle est l’espérance du nombre de machines qui tomberont en panne un jour donné? .5 Quelle est la variance du nombre de machines qui tomberont en panne un jour ? .45

Exemple Jean travaille comme valet de stationnement dans un hôtel du centre-ville. En moyenne, 6,7 autos arrivent par heure. La décision d’un client de l’hôtel d’utiliser ou non les services d’un valet de stationnement ne dépend pas de la décision d’autres clients. On définit X la variable aléatoire correspondant au nombre d’autos qui arrivent au stationnement par période d’une heure. Quelle est la distribution de probabilité appropriée pour X ? Justifiez votre choix. Calculer la probabilité que 5 autos arrivent dans la prochaine heure. .1385 Calculer la probabilité que pas plus de 5 autos arrivent dans la prochaine heure. .3406

Exemple 5% des items d'une ligne de montage sont défectueux. Un client achète un lot de 10 items. 1- Quelle est la probabilité qu'aucun des items achetés soit défectueux? 2- Si plus d'un item est défectueux, le client retourne le lot et annule sa commande. S'il y a exactement un item défectueux, le client retour l'item et demande qu'on le remplace. Dans ce cas, le responsable de la ligne de montage envoie un item de remplacement sans vérification préalable. Si l'item de remplacement est aussi défectueux, le client annule la commande. Quelle est la probabilité qu'une commande soit annulée ?