Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population

Plan de la séance 1 – La distribution normale 2 – Les distributions d’échantillonnage 3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population

1 – La distribution normale La distribution normale est symétrique et unimodale. Elle prend la forme d’une cloche. La forme exacte d’une distribution normale dépend de: - la moyenne μ - l’écart-type σ Notation : N(μ, σ)

1 – La distribution normale

1 – La distribution normale Propriétés de la distribution normale: 1 – Puisque la distribution est symétrique, la moyenne équivaut à la médiane 2 – Les données sont distribuées selon des proportions fixes La proportion d’observations qui se trouvent entre la moyenne et un nombre d’écart-type donné est la même, peu importe les paramètres

1 – La distribution normale

2 – Les distributions d’échantillonnage Une distribution d’échantillonnage est une distribution de statistiques (par exemple ) provenant de tous les échantillons possibles d’une taille N donnée que l’on peut tirer d’une population précise.

2 – Les distributions d’échantillonnage Théorème limite centrale Plus N est grand, plus la distribution d’échantillonnage de la moyenne s’apparente à une distribution normale : Distribution d’échantillonnage de la moyenne L’erreur-type

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population Objectif: On veut inférer la valeur de la moyenne d’une population (inconnue) à partir d’un échantillon La meilleure estimation de μ est x Puisque cette estimation a peu de chance d’être exacte, on aimerait connaître un intervalle à l’intérieur duquel il est probable de trouver μ

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population À partir du théorème de la limite centrale, on obtient : Mais, σ est aussi inconnu et doit lui aussi être estimé à partir de l’échantillon! Ainsi, on a :

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population Interprétation: Pour une grande quantité d’échantillon de taille N, la proportion des intervalles de confiance qui contiennent μ est de (1-α)%.

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population Ex. : On veut connaître la moyenne des notes de CEGEP des étudiants de l’UdM. On dispose d’un échantillon aléatoire de 100 observations, où : x = 78 s = 6 Quel est l’intervalle de confiance à 95%?

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population (suite de l’exemple) On a Borne inférieure : 78 – 1.98 * 6/10 = 76.812 Borne supérieure: 78 + 1.98 * 6/10 = 79.188 Donc, l’intervalle compris entre 76.8 et 79.2 contiendra à 95% du temps la vrai moyenne des notes de CEGEP des étudiants de l’UdM

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population (suite de l’exemple) On dispose d’un autre échantillon aléatoire de 100 observations, où : x = 74 s = 7 L’intervalle de confiance à 95% est : [72.6; 75.4]

3 – Les intervalles de confiance pour la moyenne d’une population (suite de l’exemple) On dispose d’un autre échantillon aléatoire de 100 observations, où : x = 76 s = 5 L’intervalle de confiance à 95% est : [75; 77]