Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008

Identification des ordres dans les modèles ARMA(p,q) Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q. Ceci correspond à l’étape d’identification d’un modèle, dans la procédure de Box et Jenkins. Deux outils sont fondamentaux à cette fin: les autocorrélations (ACF) et les autocorrélations partielles (PACF). STT-3220; Méthodes de prévision

Définition intuitive des autocorrélations partielles Supposons que l’on dispose de trois variables aléatoires, X, Y et Z. Souvent, la corrélation entre X et Y pourrait être attribuable au fait que: X et Z sont corrélées; Y et Z sont corrélées. L’autocorrélation partielle cherche à quantifier la dépendance entre X et Y en retirant la dépendance avec Z. STT-3220; Méthodes de prévision

Corrélations partielles dans un contexte de séries chronologiques Considérons un processus stochastique que l’on présume SSL et tel que . Comme dans le transparent précédent, la dépendance entre Zt et Zt+k pourrait être grandement attribuable à la dépendance de ces variables aléatoires avec Zt+1, Zt+2,…Zt+k-1. On voudrait calculer la corrélation conditionnelle: STT-3220; Méthodes de prévision

Définition formelle de la corrélation partielle Soient Zt et Zt+k. On note et les meilleures prévisions linéaires de Zt et Zt+k, respectivement, au sens de l’erreur quadratique moyenne, fonctions linéaires de Zt+1,Zt+2,…Zt+k-1. On définit autocorrélation partielle: STT-3220; Méthodes de prévision

Calcul des autocorrélations partielles Soit le processus SSL tel que . 1. On formule le modèle de régression: 2. On multiplie par Zt+k-j, j positif: On prend l’espérance: STT-3220; Méthodes de prévision

On forme le système d’équations suivant pour j = 1,2,…,k: Le système devient: Il suffit de résoudre ce système avec la règle de Cramer; l’autocorrélation partielle de délai k est fkk. STT-3220; Méthodes de prévision

Règle de Cramer pour le calcul des fkk Par la règle de Cramer: STT-3220; Méthodes de prévision

Propriétés générales des fkk 1. C’est par définition une corrélation, donc on a que 2. Puisqu’il n’y a pas de variables intermédiaires entre Zt et Zt+1: f11 = r(1). 3. On trouve que: STT-3220; Méthodes de prévision

STT-3220; Méthodes de prévision Estimation des fkk L’estimateur de fkk, que l’on pourrait noter , est obtenu en remplaçant dans l’acétate 8 les r(k) inconnues par les r(k). Les estimateurs ainsi obtenus sont convergents en probabilité sous des conditions générales pour fkk. La raison essentielle de ce résultat est que r(k) est convergent pour r(k). Si est un bruit blanc: STT-3220; Méthodes de prévision

Identification d’un ARMA(p,q) avec l’ACF et la PACF Si processus est AR(p): Nombre infini d’autocorrélations. Nombre fini d’autocorrélations partielles. En fait pour un AR(p): fkk = 0, si k > p. Si processus est MA(q): Nombre fini d’autocorrélations. En fait, pour un MA(q), on a que r(k) = 0, si k > q. Nombre infini d’autocorrélations partielles. STT-3220; Méthodes de prévision