Relations entre angles. Comparaison des angles. Soit deux angles TAOB et TA’B’C’; Transportons l’angle TA’B’C’ sur l’angle TAOB de façon que le sommet O’ coïncide avec le sommet O et le côté O’A’ avec OA. Trois cas peuvent se présenter: Le côté O’B’ est à l’extérieur de l’angle TAOB – alors TAOB < TA’B’C’; Le côté O’B’ coïncide avec le côté O’A’ - alors TAOB = TA’B’C’; Le côté O’B’ est à l’intérieur de l’angle TAOB – alors TAOB < TA’B’C’;

Opérations sur les angles. Deux angles sont adjacents quand ils ont un point commun et qu’ils sont situés de part et d’autre d’un côté commun. On appelle somme de deux angles l’angle formé par les côtés non communs de ces angles rendus adjacents. Pour obtenir la différence de deux angles, on superpose le plus petit angle sur le plus grand.

Angles (suite). Un angle aigu mesure entre 0° et 90°. Un angle obtus mesure entre 90° et 180°. Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90°. Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°.

Angles (suite). Théorème: Deux angles adjacents dont les côtés extérieurs forme une seule ligne droite sont supplémentaires. Réciproque: Si deux angles adjacents sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs forme une seule ligne droite .

Angles (suite). On appelle angles opposés par le sommet deux angles tels que les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre. Théorème: Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Théorème: Les bissectrices d’angles opposés par le sommet sont en ligne droite.

Angles (suite). Théorème: Par un point A pris sur une droite CD on peut mener une perpendiculaire AB à cette droite CD et on n’en peut mener qu’une. Théorème: Par un point A pris hors d’une droite MN on peut mener une perpendiculaire à cette droite et on n’en peut mener qu’une. Corollaire: Deux perpendiculaires à une même droite n’ont aucun point commun.

Angles (suite). Théorème: Si deux angles adjacents sont supplémentaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires l’une à l’autre.

Lignes brisées. Une ligne brisée est une séquence de segments de droite, deux segments consécutifs partageant une extrémité. Une ligne brisée fermée est une ligne brisée ayant la fin de son dernier segment coïncider avec le début de son premier segment. Une ligne brisée convexe est une ligne brisée située tout entière d’un même côté de chacun de ses segments supposés prolongés.

Lignes brisées. D Théorème: Toute ligne brisée convexe est moindre que la ligne brisée enveloppante qui aboutit aux mêmes extrémités. B E A C AB + BE < AD + DE BC < BE + EC AB+BE+BC<AD+DE+BE+EC AB + BC < AD + DE + EC AB + BC < AD + DC

Lignes brisées. Corollaire: Le périmètre d’une ligne brisée fermée et convexe est moindre que le périmètre de toute ligne brisée fermée qui l’enveloppe complètement (preuve par induction).

Triangles. Un triangle est la figure formée par une ligne brisée fermée de trois côtés. Dans tout triangle on distingue trois côtés et trois angles. Un angle extérieur d’un triangle est un angle formé par un côté quelconque et le prolongement de l’un des deux autres.

Triangles. Triangle remarquables. Un triangle est rectangle lorsqu’il a un angle droit. On appelle hypoténuse le côté opposé à l’angle droit. Un triangle est équilatéral quand ses trois côtés sont égaux. Un triangle est isocèle quand il a deux côtés égaux. Propriétés: Chaque côté d’un triangle est plus petit que la somme de deux autres et plus grand que leur différence

Triangles. Droites remarquables d’un triangle. La base d’un triangle est un des trois côtés pris à volonté. La hauteur issue du sommet A du triangle ABC est la droite passant par le sommet A et perpendiculaire au côté opposé BC. La médiane dans un triangle est la droite issue d'un sommet qui coupe le côté opposé en son milieu. La bissectrice est la droite qui coupe un angle en deux angles égaux.

Triangles. Droites remarquables d’un triangle (suite). La médiatrice est la droite qui coupe un côté du triangle perpendiculairement en son milieu. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediadef.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediap1.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/mediap2.html Théorème: Les trois médiatrices d’un triangle se rencontrent au point commun, qui est un centre du cercle circonscrit du triangle. http://home.nordnet.fr/~rdassonval/rdmediatrice.html http://home.nordnet.fr/~rdassonval/ddtmediatrice.html

Triangles. Triangle isocèle. Théorème: Dans un triangle isocèle ABC les angles opposés aux côtés égaux sont égaux. Réciproque: Si deux angles TB et TC d’un triangle ABC sont égaux, les côtés AC et AB, opposés à ces angles sont aussi égaux et le triangle est isocèle. Corollaire: Un triangle équilatéral est équiangle; réciproquement, un triangle équiangle est équilatéral.

Triangles. Triangle isocèle (suite). Théorème: Dans un triangle isocèle ABC la bissectrice AD est à la fois hauteur, médiane et médiatrice de la base. Réciproque: Un triangle ABC est isocèle Si une droite AD y est à la fois médiane et hauteur. Si une droite AD y est à la fois bissectrice et hauteur.

Égalité de triangles. Deux triangles sont égaux s’ils peuvent coïncider par superposition. Alors les trois côtés de l’un sont respectivement égaux aux trois côtés de l’autre, les trois angles de l’un sont respectivement égaux aux trois angles de l’autre. Les éléments respectivement égaux sont dits correspondants ou homologues.

Sens d’un triangle. Dans un triangle ABC les trois angles TABC, TBCA et TCAB sont de même sens. On dit que deux triangles ABC, A’B’C’ sont de même sens s’ils ont deux angles homologues TABC et TA’B’C’ de même sens; ils sont de sens contraire si les angles TABC et TA’B’C’ sont eux-mêmes de sens contraires. Si deux triangles sont de sens contraires, il suffit de retourner l’un d’eux pour les amener à être de même sens.

Égalité de triangles (1). Théorème ACA. Deux triangles sont égaux (congrus) lorsqu’ils ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux.

Égalité de triangles (2). Théorème CAC. Deux triangles sont égaux (congrus) lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux.

Égalité de triangles (3). Théorème CCC. Deux triangles sont égaux (congrus) lorsqu’ils ont trois côtés respectivement égaux.

Égalité de triangles. Problèmes. Problème 1: En un point donné D d’une droite DE, construire un angle égal à un angle donné. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=reprod_angle.xml Problème 2: Construire la bissectrice d’un angle donné. http://instrumenpoche.sesamath.net/IMG/lecteur_iep.php?anim=bissectrice-2.xml Problème 3: Construire un triangle connaissant un côté et les deux angles adjacents à ce côté. Problème 4: Construire un triangle connaissant deux côtés a, b et l’angle compris C. Problème 5: Construire un triangle connaissant trois côtés a, b, c.

Égalité de triangles rectangles. Théorème : Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu’ils ont l’hypoténuse égale et un angle aigu égal. Théorème : Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu’ils ont l’hypoténuse égale et un autre côté égal. Théorème : Le lieu géométrique des points équidistants de deux droites concourantes x’x et y’y se compose de deux droites perpendiculaires qui sont les bissectrices des angles formés par x’x et y’y.

Correspondance entre les angles et les côtés. Théorème: À un plus petit angle d’un triangle est opposé un plus petit côté. Réciproque: À un plus petit côté d’un triangle est opposé un plus petit angle.