Traitement d’images : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements :  Information représentée par un pixel, Manipulation d’histogrammes : égalisation, Filtrage passe-bas. Introduction à la morphologie mathématique (cas binaire) :  Erosion, dilatation, ouverture et fermeture binaires, Reconstruction géodésique, étiquetage en composantes connexes, Squelette. Détection de contours : filtrage passe-haut, filtrage optimal, traitement des contours : fermeture, transformée de Hough. Introduction à la classification (cas pixelique) : algorithme des k-ppv, des c-moyennes critères bayésiens : MV, MAP.

Information représentée par 1 pixel Selon longueur d’onde Selon longueur d’onde, les propriétés de réflexion et d’absorption diffèrent  distinction de différents objets (e.g. télédétection) Géométrie d’acquisition  échantillonnage résolution spatiale Discrétisation de l’espace : pavage Capacité à discerner 2 objets proches spatialt Liée à la taille du pixel : Haute résolution  pixels ‘petits’ Basse résolution  pixels ‘grands’ Quantification des niveaux de gris provient de la discrétisation des niveaux de gris

Exemples ‘d’école’

Exemples en télédétection ERS/SAR (bande C, pix. 3030m) Tunisie, désert Delta du Rhône SPOT/HRV (Visible/IR, pix. 2020m) SPOT/VGT (Visible/IR, pix. 1km2) Val de Saône

Pavage et maillage Pavage = partition de l’espace continu en cellules élémentaires Cas de pavages plan réguliers : cellules identiques et régulières Maillage = ensemble des segments reliant les ‘centroïdes’ des cellules ayant une arête commune Dualité pavage et maillage

Pavage de Voronoï Ensemble de germes {P1, P2, …, Pn} V(Pi)={PR2 / j[1,n], d(P,Pi)d(P,Pj)} Propriétés : tout sommet de Voronoï est le centre d’un cercle (de Delaunay) passant par 3 germes et ne contenant aucun autre germe ; V(Pi) non borné ssi Pi  la frontière de l’enveloppe convexe des Pj Triangulation de Delaunay Algorithmes sous optimaux : insérer les points un par un Applications, e.g. : enveloppe convexe de points, distance de 2 ensembles de points Cas discret : distance discrète

Images niveaux de gris vs binaire Image niveaux de gris idéale Image niveaux de gris réelle # colonnes # lignes pixel (i,j) Amélioration d’image / Filtrage Classification / binarisation Image binaire idéale Image binaire bruitée Taille = #lignes  #colonnes  #bits/pixels

Images couleur vs binaire / niveaux de gris Images binaires idéales (3 canaux) Canal Rouge Vert Bleu Image couleur idéale Image couleur réelle

Représentations Images peuvent être binaires  x{0,1} à niveaux de gris  x[xmin, xmax] (généralement [0,255]) RVB  x = (xrouge, xvert, xbleu) avec xrouge [xmin, xmax] etc. multispectrales x = (xl1, xl2, …, xln) avec xli [xmin, xmax] etc. multitemporelles x = (xt1, xt2, …, xtn) avec xti [xmin, xmax] etc. Image = Signal bidimentionnel à support et à valeurs bornées {x(i,j), i[1,N], j[1,M]} Processus stochastique {x(s), s[1,NM]} Vecteur aléatoire (x(1), … x(NM)) Surface (i,j,x(i,j))

Amélioration d’images Problème : Comment rehausser le contraste d’une image de façon à faire apparaître les objets ? Comment s’affranchir des paramètres de luminosité lors de l’acquisition ? ‘Étalonnage’ des valeurs des pixels en vue de leur comparaison Applications : mise en correspondance, détection de changement, classification, etc. Principalement le cas des images à niveaux de gris (décomposition des images multiXXX en N images à niveaux de gris)

1ères méthodes : modifications de l’histogramme Transformation qui n’altère pas la relation d’ordre Translation d’histogramme Etalement de la dynamique Seuillage Transformation linéaire : x’(s) = a.x(s)+b x’(s)[0,256]  a.xmin+b=0 et a.xmax+b=255  a=(255-0)/(xmax-xmin) et b=0-(255-0)xmin/(xmax-xmin) Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Perte d’information irréversible Niveau de gris # pixels

Egalisation d’histogrammes Principe : Maximiser l’entropie Niveau de gris # pixels Algorithme Calcul de l’histogramme initial H (attention : bins suffisamment fins)  Pour chaque bin, on stocke sa borne sup. et le # de pixels Calcul de l’histogramme égalisé H’ (nbp pixels/bin, nbpcst) n=0; k=0; Pour chaque bin j de H { n+=#pixels de H[j]; si nnbp, alors { borne sup de H’[k] = borne sup de H[j]; #pixels de H’[k++] = #pixels de H[j]; n=0; } } Création de la table de correspondance entre les niveaux de gris de l’image initiale et de l’image égalisée Création de l’image égalisée si n>0 { borne sup de H’[k] = xmax ; #pixels de H’[k++] = n; } Soit j / x[borne sup H’[j] ; borne sup H’[j+1] ] T[x]=j 255/k s  domaine image, x’s=T[xs]

Egalisation des cas ‘d’école’ Avant égalisation Après égalisation Avant égalisation Après égalisation Après étirement

Egalisation : autre exemple Avant égalisation   Après égalisation  Pas de réelle sensibilité visuelle à l’histogramme

Spécification d’histogrammes Principe Objectif : à partir de l’image X et HX, son histogramme, on calcule Y=g(X) ayant HY donné Soit FX la fct d’égalisation de X, et FY celle de Y. Les deux égalisations doivent conduire au même histogramme (uniforme)  Y= Fy-1(FX(X)) Y n’est pas connue mais HY si ce qui suffit à spécifier FY et FY-1 Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels FX Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels Niveau de gris # pixels FY FY-1 Application : inter-étalonnage d’images Attention : perte de dynamique

Egalisation : exercices Soit une image ayant pour histogramme Calculer sa fonction d’égalisation -A +A +B +2B -A +A +B

Filtrage passe-bas d’images Problème : Comment réduire le bruit d’une image de façon à améliorer la ‘netteté’ des objets ? Comment réduire la variabilité intrinsèque des objets de façon à les simplifier ? Hyp. fondamentale : le bruit est 1 signal haute fréquence et l’information ‘utile’ est 1 signal basse fréquence. Applications : analyse statistique, classification, etc. Principalement le cas des images à niveaux de gris (décomp. des im. multiXXX en N im. à niv. de gris)

Modèles de bruits Valeurs ‘aberrantes’ en p% pixels de l’image, ex : - Bruit ‘poivre et sel’ Valeurs ‘altérées’ en tout pixel de l’image, ex : - Bruit ‘gaussien’ - Bruit à distribution uniforme - Bruit à distribution de Rayleigh Bruit indépendant en chaque pixel  hautes fréquences sur l’image xs valeur non bruitée en s, ys valeur bruitée en s  f(ys=0)=f(ys=255)=p/2, f(ys=xs)=1-p Bruit généralement additif : zs=ys-xs Ex. de ddp bruit : f(zs)=C.exp{-K|zs|n} n = 0  bruit uniforme n = 1  bruit exponentiel C= K/2 n = 2  bruit gaussien K=1/[2s2 ], C=1/[sqrt(2p)s] bruit Rayleigh f(zs)=zs/s2.exp{-zs2/[2s2 ]}

Exemples de bruits Poivre et sel 10% Gaussien s=20 Gaus. s=10, poivre&sel 10%

Modèle Gauss-Markov Histogramme à saut  gaussienne centrée : Fct d’autocorrélation  exponentielle : Modèle Gauss-Markov : processus stationnaire à accroissement gaussien : p(xi /xi-1)= p(xi -xi-1) Modèle mosaïque : image stat. ‘par morceaux’  modèle de Markov-Gauss spécifique à chaque ‘morceau’ de l’image Exemple : morceau

Quelques filtres lisseurs de base (I) Cas d’images bruitées (e.g. gaussien, impulsionnel)  prétraitement : ‘lissage’ Filtrage linéaire Moyennage Rq : Somme des coefficients = 1 Exemple avec filtre ‘triangle’ Linéaire gaussien, paramètre s e.g. s=1.0, s=1.6 filtrage seuillage

Quelques filtres lisseurs de base (II) Filtres à coefficients séparables Réponse impulsionnelle : h(i,j) = hl(i).hc(j) filtrage linéaire selon les colonnes par hc, puis filtrage linéaire selon les lignes par hl Exemples Bruit gaussien s=30 Filtre moyenne 33 Filtre Gaussien s=1.0

Quelques filtres lisseurs de base (III) Propriétés du filtre médian : Pas de nouvelles valeurs  s’applique aux images binaires, préserve les contours rectilignes (mais érode les convexités et coins) Invariance par étirement de contraste  commute avec toute transformation croissante des niv. de gris ( du filtrage linéaire qui ne commute qu’avec les transf. linéaires) Elimination du bruit poivre et sel  np pixels poivre, ns pixels sel, la médiane est dans les n-np-ns pixels restants corrects sauf si np ou ns>n/2 Autres filtres de rang : érosion fonctionnelle (k=1), dilatation fonctionnelle (k=p) Quelques filtres lisseurs de base (III) Hyp: voisinage Vs traversé par 1 contour au + Vs décomposé en paires (Pi,Qi)  pour chaque paire ne considérer que le pixel le + proche en caractéristique(s) de P0 Ex. P1 P2 P3 P4 P0 Q4 Q3 Q2 Q1 Filtrage non linéaire De Nagao SNN (Symetric Nearest Neighbor) Filtrage d’ordre k Médian (p pixels, p≤|Vs|, k=p/2) Prise en compte de processus bord Algorithme : 1) Calcul de l’histogramme sur le voisinage Vs 2) Tri des valeurs du voisinage 3) Sélection E le plus compact |E|=p 4) Sélection de la valeur de E à l’ordre considéré Bruit gaussien s=30 Filtre de Nagao Filtre médian 33

Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 10% Filtrage moyenne Filtrage gaussien Filtrage de Nagao Filtrage médian Bruit gaussien s=20 33 s=1.0 33 Bruit gaussien s=60 77 s=2.5 77 Bruit impulsion 15% 77 s=2.5 77 33 s=1.0 33 Bruit gaussien s=20 + bruit impuls 10% 77 s=2.5 77

‘S&P’ 10%  filtre médian 7x7 Bruit ‘P&S’ 10% Image non bruitée Gaus. s=20  filtre gaus. s=2.5 Bruit gaussien s=20 ‘S&P’ 10%  filtre médian 7x7 Bruit ‘P&S’ 10% s=20 + ‘S&P’ 10%  filtre Nagao Bruit gaussien s=20, ‘P&S’ 10%

Filtrage : exercices Que font les filtres à noyau de convolution suivants ? (prenez un exemple numérique si nécessaire) Quelle est la condition sur les coefficients pour que le filtrage soit passe-bas ? Décomposer le filtre 2D de noyau sous forme du produit de convolution de 2 filtres 1D. En déduire un moyen efficace, en nombre d’opérations par pixel, d’implémenter les filtres précédents.

Des pixels à l’image § ‘Amélioration d’images’ : image vue comme 1 collection de pixels (val. scalaires, vectorielles…) vus comme des échantillons indépendants d’1 même distribution. § ‘Filtrage PB d’images’ : im. vue comme la superposit° d’1 signal 2D constant par morceaux (sur le support 2D) et d’1 collect° de d’échantillons de bruit indépendants. Ce qu’on recherche : pas des pixels, mais des objets  comment passer d’1 vision myope (pixel, voisinage pixel) à 1 caractérisation niveau objet ? On laisse de coté (temp.) l’aspect radiométrique pour se concentrer sur les aspects géom. et topolog.  cas d’images binaires Caractérisation géométrique et topologique (et non seulement radiométrique)

Notions préliminaires de géométrie discrète Topologie 2D discrète :  nombre de composantes connexes, de trous,  représentation hiérarchique des objets. Distances discrètes :  dimension (e.g. rayon) des composantes connexes,  distance entre les objets. Relations ensemblistes entre les parties d’un objet

Notion de voisinage élémentaire Image discrète = graphe Connexité trame carrée trame hexagonale  chemin sur le graphe = succession de nœuds du graphe joints par des arcs chemin 4-connexe : chemin 8-connexe :

Notion d’ « entourage » Théorème de Jordan : toute courbe simple fermée sépare l’espace en 2 composantes : l’intérieur et l’extérieur de la courbe. Cas de la trame carrée : tout chemin 4-connexe (resp. 8-connexe) simple fermé (Ai=Aj  i=j et Ai voisin de Aj  |i-j|=1[n]) sépare l’espace en 2 composantes 8-connexes (resp. 4-connexes) Nombre d’Euler = différence entre le # composantes connexes et le # de trous ( dualité des connexités). Soit : s=#singletons, a=#couples ligne ou colonne, d=#couples diagonaux, t=#trinômes, q=#quadrinômes, alors en 4-connexité E=s-a+q en 8-connexité E=s-a-d+t-q

Exemple : nombre d’Euler Cas 4-connexe : # composantes 4-connexes = 3 # de trous (8-connexes) = 1  E4=2 Cas 8-connexe : # composantes 8-connexes = 1 # de trous (4-connexes) = 2  E8=-1 s=16, a=14, d=13, t=10, q=0  En 4-connexité E4=s-a+q=2 En 8-connexité E8=s-a-d+t-q=-1

Ensembles de niveaux Relation d’ordre des régions ()  relation d’ordre des niveaux de gris ( ou ) Indépendance vis-à-vis des valeurs ‘absolues’ des niv. de gris, i.e. des conditions de luminosité etc.  Invariance par changement de contraste Upper Level Set Ux et Lower Level Set Lx Relation d’inclusion des ensembles de niveaux : Famille des Ux (ou celle des Lx) est suffisante pour reconstruire l’image y  ‘relatives’

Exemple simplissime minTree maxTree 255 0 127 127 255 0 255

Distances discrètes (I) Distance à 1 objet  minimum des distances euclidiennes (approximées) aux points de l’objet Propagation de distances locales Distances définies à partir d’un ensemble de vecteurs de déplacement Utilisation de masques Exemple : 1 1 1 0 1 1 1 1 4 3 4 3 0 3 11 11 11 7 5 7 11 5 0 5 7 5 7 11 1

Distances discrètes (II) Partition du masque en 2 sous-masques g1 et g2 causaux ULLR et LRUL Algorithme de calcul séquentiel 1) Poser 2) f0  image / points de l’objet  0 et les autres  + 3) pour k=1,2 si k=1, balayer l’image dans le sens UL  LR si k=2, balayer l’image dans le sens LR  UL 4) image des distances  f2 4 3 4 3 0 3

Distances discrètes : exemple ∞ ∞ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 5

Distances géodésiques Intérêt des métriques géodésiques : tient compte des obstacles ( dist. euclidienne ou versions digitales).  distance géodésique : étant donnés 2 points a et b d’un compact X,  toujours un plus court chemin de a à b qui soit  X; la longueur de ce chemin est dX(a,b). Propriétés : dX est une distance généralisée, i.e. a b d c Séparation Sous-additivité

Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse d’images : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.