Le calcul mental aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique du mercredi 10 février 2010 Collège de Ploeuc sur Lié

Si on commençait par un calcul ! Sans calcul posé, trouvez le résultat de l’opération suivante : 87² = 7569

Quelle est la procédure ? 87² = 7400 + 13² avec 87 + 13 = 100 et 87- 13 = 74

Démonstration 89² 94² 85² 100 x² y = 100 – 2a -a x² = (100 – a)² x² = 100² + a² - 200a x² = 100 (100 – 2a) + a² x² = 100 y + a² Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13² = 7400 + 169 = 7569 Effectuer maintenant : 89² 94² 85²

Pourquoi cet exercice ? Pour vous mettre dans la situation d’un élève rencontrant un calcul dont la procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. « C’est pas facile !! » Montrer que des pré-requis sont indispensables :  carrés des nombres jusqu’à 15 (si x > ou = 85)  compléments à 100  soustraction sur des nombres  100 De même pour un élève, 54 x 9 :  distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1)  décomposition de 54 en 40 + 14  passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14  Un entraînement est nécessaire pour fixer la procédure Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue. Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à l’enseignant de se poser comme expert devant les élèves. Vous :  plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul.  un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).

On pourrait aller plus loin…  987² Remarque : C’est plus facile que 87² !!  idem pour une séance avec des élèves :  - 9 puis – 99 puis - 19  x 9 puis x 99 puis x 19  … = 974 000 + 13² = 974 169

Point sur les différentes appellations rencontrées dans les programmes ou les différents types de calcul

Première distinction Calcul mental Calcul posé Calcul instrumenté Les programmes distinguent: Aucun moyen de poser l’opération et pas de calculatrice à disposition Calcul mental Calcul posé Possibilité d’utiliser une technique opératoire Calcul instrumenté Calculatrice à disposition

Pratiqué occasionnellement Le calcul mental Le plus pratiqué le calcul automatisé Pratiqué occasionnellement le calcul réfléchi avec recherche du résultat Très peu pratiqué le calcul réfléchi avec recherche du résultat approché

Calcul mental Calcul réfléchi Calcul automatisé Résultat exact Mémorisation de résultats. Aucun écrit intermédiaire Résultat exact Mise en place de procédures Ecrits intermédiaires Résultat Approché Ordre de grandeur Contrôle d’un résultat

Définitions du calcul mental L’expression « calcul mental » signifie qu’entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n’implique pas qu’aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul (doc d’accompagnement des programmes). C’est un moment privilégié de l’apprentissage pour :  enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité,  accroître la familiarisation de l’élève avec les nombres et les opérations,  faire fonctionner et s’approprier les propriétés de ces dernières,  enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul. (Denis Butlen et Monique Pézard) Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi qu’une part d’initiative et de choix. (doc d’accompagnement des programmes)

Un exemple de gestion de l’hétérogénéité Au sein d’un même niveau :  Exemple d’un prof de techno en collège Exemple d’un enseignant de Saint-Brieuc  Anticiper plutôt que remédier

Vive l’esprit critique Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ? Effectuez les 4 opérations suivantes : 46 x 34 52 x 17 76 x 25 63 x 37 Evidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous n’avez pas été sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête ! 76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = 1 900  « L’expérience atteste, depuis des dizaines d’années, que les enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental. » (doc d’accomp. des programmes)

De l’importance du calcul mental…

Pourquoi instaurer quotidiennement des séances de calcul mental ? Analyse de vos réponses Quelques pistes :  les problèmes où l’élève se débat avec les nombres au lieu de se focaliser sur son raisonnement,  les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du nombre,  l’amélioration de l’habileté intellectuelle,  le plaisir intellectuel, On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions :  une fonction sociale  une fonction pédagogique

Une fonction sociale Il est d’abord un calcul d’usage. Il s’agit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en l’absence de supports ou d’instruments. Dans cette perspective, trois types d’objectifs peuvent être distingués :  l’automatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles : récupération en mémoire ou reconstruction instantanée, procédures automatisées.  la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul réfléchi ou raisonné.  une première maîtrise du calcul approchée, souvent utilisée dans la vie courante et dont l’apprentissage doit se poursuivre au collège.

Une fonction pédagogique En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car :  Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres).  La pratique du calcul réfléchi s’appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension.  Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…).  Le calcul réfléchi nécessite l’élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement.  Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes, en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).

On peut en conclure… que le temps passé à faire du calcul mental est du temps de gagné dans la plupart des autres activités mathématiques !

Quelle est la différence entre calcul mental et calcul posé ? Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la connaissance des nombres exemple : 128 + 256 En utilisant la technique opératoire, certains élèves vont peut-être trouver un résultat à 4 chiffres sans que cela leur pose question. Si on demande à un de ces élèves de revoir son calcul, il va très souvent d’abord réinterroger cette technique. Il vérifiera d’abord la pertinence de chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même. Or, le résultat est bien 384 (nombre) et non 3 8 4 (suite de chiffres) Si, par contre, l’élève a une bonne maîtrise du nombre, et arrondit aux centaines les plus proches, il sait que le résultat est compris entre 300 et 500.

Des constats dans les pratiques de classe D’après le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) : Le temps consacré au calcul mental en France est massivement inférieur à une heure par semaine. Lors des observations de l’Inspection générale, seule une séance sur trois démarre par un temps de calcul mental. De plus :  Un grand nombre de séances consacrées au calcul automatisé.  Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de structuration des procédures). Très peu de travail autour du calcul approché.

La mémoire ou plutôt les mémoires On peut en distinguer deux :  la mémoire à court terme ou mémoire de travail  la mémoire à long terme Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !

La mémoire à court terme Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9)  une personne du groupe dit un nombre  une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon aléatoire)  …et ainsi de suite, jusqu’à la première erreur Elle a une capacité limitée (jusqu’à 7 unités environ) Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée  Logiquement, échec !  La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)

La mémoire à long terme Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants : 13 17 19 23 29 31 37 41 43 Cette suite dépasse la capacité de la mémoire de travail. Quelqu’un a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ? C’est la suite des nombres premiers démarrant à 13 ! Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seules la première est utilisée pour conserver le nombre 13 et la deuxième pour mémoriser 43. La mémoire de travail va chercher l’information dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers » nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite. On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin d’éviter la surcharge de la mémoire de travail. Rem : certains « phénomènes » sont capables de mémoriser des dizaines de pages de chiffres ! (construction d’un réseau de relations éminemment complexe entre les nombres ; nombres qui deviennent des images mentales…)

« L’instinct grégaire » des nombres Abus de langage ? Toujours est-il que le nombre n’a de signification que par la mise en place de relations entre les nombres. Plus le réseau de relations est dense, plus l’élève a d’habiletés dans la manipulation du nombre. Par exemple : Quart de 100  moitié de 50 Carré de 5  20 + 5 10 + 10 + 5  impair Double de 12,5  … Probablement ! 25

Des nombres clés Certains nombres sont utiles pour le calcul mental. 25 est un nombre intéressant, on l’a vu précédemment. Mais bien entendu, les multiples de 10, 100… le sont aussi, de même que 50. 6, 12, 15 et 30 le sont également dans le système sexagésimal. Et 33, ainsi que 66 (« presque » tiers de 100, 200…) …

29,7 / 21 » 2½ (ou racine carrée de 2) Chic ! Bientôt la pause… Pour l’anecdote, pourquoi utilisons-nous du papier au format 21 x 29,7 dit A4 ? En reformulant la question afin de donner un indice, quel rapport existe-t-il entre ces deux nombres ? 29,7 / 21 » 2½ (ou racine carrée de 2) Ce rapport reste bien entendu le même pour du papier au format A5 ou au format A3.

Une nomenclature des problèmes Réalisée par Denis BUTLEN Cliquer ici pour ouvrir le document

La suite de Kaprekar (mathématicien indien) Le devin Quelques outils pour manipuler des nombres de manière ludique… et néanmoins efficace. La suite de Kaprekar (mathématicien indien) Le devin Le quinze vainc Le Sudoku Zut : ce n’est pas un jeu numérique ! Le jeu du 44 (rien à voir avec la célèbre liqueur) L’effaceur Le compte est bon, etc.