?...1…-13…( )…+…-… …-(-2)…-(5-7)…-2+6…? Boîte à outils : LES NOMBRES ET LE CALCUL NUMERiQUE ADDiTiON ET SOUSTRACTiON Comment manipuler les nombres ? Comment tenir compte des parenthèses ? Comment effectuer les opérations ? ?...1…-13…( )…+…-… …-(-2)…-(5-7)…-2+6…?

COURS … COURS … COURS … UN PEU DE VOCABULAiRE Les catégories de nombres 10 - 3 - 3 - 13 - 13 2,37 p = 3,1415… 1,5 5 - 0,25 2 - 2 les nombres entiers naturels : 0… …2… …5… … …10 les entiers relatifs : - 13… …- 3 … …- 2… …0… …2… …5… … …10 les fractions : les nombres décimaux : - 0,25 ……1,5 ……2,37

Résultats Symboles Opérations somme addition différence produit . :  - + ___ multiplication soustraction quotient division Résultats Symboles Opérations addition + somme soustraction – différence multiplication ou . ou rien produit division : ou ¸ ou ___ quotient

Pourquoi des nombres négatifs ? le thermomètre : - 3 degré en dessous de zéro …… + 15 degré …… l’altitude : - 15 m sous le niveau de la mer …… + 4709 m le Mont Blanc les étages : - 2ème sous-sol ……0 rez-de-chaussée …… + 5ème étage le compte en banque : en + le crédit comme la paye en – les débits comme le loyer etc… Opposé d’un nombre son opposé un nombre 3 - 7 + 5 - 3 + 7 ou 7 - 5

+ ( - 13 ) 2. LA REGLE DES SiGNES On est dans la situation un signe opératoire + ou - et un nombre positif + ou négatif - entre parenthèses Problème : comment supprimer la parenthèse et trouver le bon signe ? a dditionner n u nombre positif a dditionner + ( + ) r evient à + a dditionner u n nombre négatif s oustraire + ( - ) r evient à - s oustraire u n nombre positif s oustraire - ( + ) r evient à - s oustraire u n nombre négatif a dditionner - ( - ) r evient à +

+ ( + ) + ( - ) Autre moyen de retenir : si les 2 signes sont les mêmes + ( + ) ou – ( - ) alors résultat + si les 2 signes sont différents + ( - ) ou – ( +) alors résultat - Applications : +( +5) = +5 ou 5 +( -2) = - 2 -( +8) = - 8 -( -7) = +7 ou 7

+ 5 - 13 3. LA RÈGLE DU THERMOMÈTRE on est dans la situation: un signe + ou - un nombre un signe + ou - un nombre il n’y a ni ( ) , ni ´ , ni ¸

Les 2 signes sont les mêmes: + et + pas de problème : + 2 + 3 = + 5 Les 2 signes sont opposés : + et – - 1 2 +2 +3 +1 0° 3 +4 4 la temp. il fait il fera diminue de 4° + 3 - 4 = - 1 REGLE c’est le  devant le 4 qui l’emporte puis il faut soustraire les 2 valeurs 4 - 3 = 1

Les 2 signes sont opposés : – et + il fait la temp. augmente de 3° il fera -1 -2 +2 +3 +1 -3 +4 -4 -2 +3 = +1 0° REGLE c’est le + devant le 3 qui l’emporte puis il faut soustraire 3 - 2 = 1 ou simplement en commutant – 2 + 3 = + 3 - 2 = + 1

Les 2 signes sont les mêmes : – et – -1 -2 +2 +3 +1 0° -3 +4 -4 il fait la temp. diminue de 2° il fera -1 -2 =  3 REGLE le signe  est conservé puis il faut additionner les 2 valeurs 1+2 = 3

+ ( 5 - 3 ) COMMENT SUPPRIMER DES PARENTHESES ? 2 on est dans la situation + ( 5 - 3 ) Problème : comment supprimer les parenthèses ?

additionner un « paquet »   2 + ( 5 - 3 ) 1ère solution : priorité à la parenthèse 2 + 2 = 4 2ème solution : suppression de la parenthèse c’est comme additionner chaque élément du "paquet«  2 + 5 + ( - 3 ) puis après application de la règle des signes 2 + 5 - 3 = 4 d’où la règle à retenir : en fait il suffit de supprimer les parenthèses 2 + ( 5 - 3 ) = 2 + 5 – 3 = 4 soustraire un paquet 5 - ( 3 - 1) 1ère solution : priorité à la parenthèse 5 - 2 = 3 2ème solution : suppression de la parenthèse c’est comme soustraire chaque élément du paquet 5 - 3 - ( - 1 ) puis après application de la règle des signes 5 - 3 + 1 = 3 d’où la règle à retenir : en fait il faut supprimer les parenthèses à condition de changer les signes 5 - ( 3 - 1) = 5 - 3 + 1 = 3

REGLE pour additionner une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un + ) il suffit de supprimer les parenthèses ex + ( + … - … ) + … - … pour soustraire une somme entre parenthèses ( c’est-à-dire si la ( ) est précédée d’un signe - ) il faut supprimer les parenthèses à condition de changer les signes ex - ( - … + … ) + … - … Pourquoi supprimer les parenthèses ? dans une situation comme la suivante : 5 – ( x – 5 ) pour poursuivre les calculs il faut d’abord supprimer les parenthèses Applications : 5 + ( - 3 - 1 ) = 5 - 3 – 1 9 - ( - 5 - 3 ) = 9 + 5 + 3 = 1 = 17

5. COMMENT EFFECTUER UNE SOMME ALGEBRiQUE ? On est dans la situation : - 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 ) une suite d’additions et de soustractions avec des nombres + ou – et des ensembles entre parenthèses

- 5 + ( + 3 ) – ( - 4 ) – ( + 7 ) + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 ) Méthode: Supprimer les ( ) en appliquant la règle des signes = - 5 + 3 + 4 – 7 + ( 2 – 4 ) – ( 1 – 3 ) Si c’est demandé, supprimer les ( ) contenant des ensembles = - 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3 Additionner tous les nombres + entre eux et tous les – entre eux = + 3 + 4 + 2 + 3 - 5 – 7 – 4 – 1 = +12 - 17 Effectuer le denier calcul en appliquant la règle du thermomètre = - 5 +12 - 17 le – du 17 l’emporte la différence des valeurs donne 5 Pourquoi?

Méthode: ou - 5 + 3 + 4 – 7 + 2 – 4 – 1 + 3 Effectuer les calculs de proche en proche en appliquant la règle du thermomètre = - 2 – 3 – 2 + 2 = - 5

EXERCICES … EXERCICES … EXERCICES … Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 ) S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 ) S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 ) S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 ) S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 ) Les réponses : S1 = 10 S2 = 4 S3 = 25 S4 = 6,3 S5 = -22 Exercice 2 : Effectuer les calculs suivants en supprimant d’abord les parenthèses S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5 S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 ) S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 ) S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 ) S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 ) Les réponses : S1 = - 3 S2 = 6 S3 = 14 S4 = 20,1 S5 = -1

Correction exercice 1 : S1 = 4 - ( - 2 ) + ( - 1 ) - ( - 5 ) S2 = 2 - ( - 8 + 2 ) - ( 3 + 1 ) = 4 + 2 – 1 + 5 = 2 + 8 – 2 – 3 -1 = 11 – 1 =10 - 6 = 10 = 4 S3 = 24 - ( - 10 ) - ( - 3 + 12 ) S4 = 12 + ( - 8 – 2 ) - ( - 2,5 + 1,2 – 3 ) = 24 + 10 + 3 - 12 = 12 – 8 – 2 + 2,5 – 1,2 + 3 = 37 - 12 = 17,5 – 11,2 = 25 = 6,3 S5 = - 4 - ( - 6 – 2 ) + ( - 5 ) - ( - 4 + 25 – 6 ) - 8 - ( - 4 ) + ( - 2 ) = - 4 + 6 + 2 – 5 + 4 – 25 + 6 – 8 + 4 - 2 = 22 – 44 = - 22

Correction exercice 2 : S1 = 3 - ( - 1 ) + ( - 2 ) - 5 S2 = 3 - ( - 5 + 1 ) - ( 3 - 2 ) = 3 + 1 – 2 - 5 = 3 + 5 – 1 – 3 + 2 = 4 - 7 = 10 - 4 = - 3 = 6 S3 = 30 - ( + 10 ) - ( - 4 + 10 ) S4 = 21 + ( - 6 – 1 ) - ( - 5,2 + 2,1 – 3 ) = 30 – 10 + 4 - 10 = 21 - 6 - 1 + 5,2 – 2,1 + 3 = 34 - 20 = 29,2 – 9,1 = 14 = 20,1 S5 = - 6 - ( + 4 – 2 ) - ( - 7 ) - ( - 2 - 18 + 6 ) - 10 - ( - 2 ) - ( + 6 ) = - 6 – 4 + 2 + 7 + 2 + 18 – 6 – 10 + 2 - 6 = 31 - 32 = - 1