Calcul mental / technique opératoire / résolution de problèmes Animation pédagogique Arras 1 Mercredi 2 décembre 2009

Consultation de Février 2008 La connaissance des nombres et le calcul constituent des objectifs prioritaires du CP et du CE1. Les automatismes en calcul s’acquièrent aussitôt que possible, en particulier la première maîtrise des opérations qui est nécessaire pour la résolution de problèmes. La pratique régulière du calcul mental est indispensable à l’acquisition de ces automatismes. L’apprentissage des mathématiques développe la rigueur, l’imagination et la précision, ainsi que le goût du raisonnement : ces attitudes doivent être sollicitées dans toutes les situations.

Le point de vue des chercheurs : Un des buts principaux de l'école est que les élèves acquièrent des connaissances, mais ces connaissances n'ont de valeur et de validité que si elles sont utilisables par les élèves. En mathématiques, l'utilisation des connaissances se manifeste à travers la résolution de problèmes et, pour qu'un élève investisse ses connaissances dans la résolution de problèmes, il faut que les connaissances aient pris du sens au moment de leur apprentissage… (Roland Charnay, nov 2004)

Texte définitif de juin 2008. L’apprentissage des mathématiques développe la rigueur, l’imagination et la précision, ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers mécanismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématique est toujours associée à une intelligence de leur signification.

Compréhension de l’écrit En terme de chiffres… L’enquête PISA : Score moyen des élèves français Compréhension de l’écrit Culture mathématique Culture scientifique PISA 2000 505 517 500 PISA 2003 496 511 PISA 2006 488 469 495

Les évaluations de CE1 : A noter : Dans le champs des problèmes, on note un fort taux de non-réponses… Dans le champs du calcul, le paramètre « temps » a considérablement joué.

Echec à des résolutions de problèmes : Est-ce lié… à la représentation du problème ? aux nombres ? aux opérations ? Représentation des ensembles numériques Connaissance des nombres Lecture Evocation techniques mémorisation représentation des opérations : leur « sens » reformulation écriture sériation dénombrement association à d’autres situations déjà rencontrées Tables Présence ou absence de nombres conservation ordre de grandeur

Les obstacles… L’obstacle de la lecture est le premier cité mais dans les faits, ne représente qu’un faible pourcentage d ’échec. L’énoncé ne fait pas « sens » pour l’enfant ; il ne renvoie à aucune réalité, à aucune évidence.  Différents codes sont utilisés simultanément dans un même énoncé :   « Six enfants décident d’offrir en cadeau une trousse 12 crayons de couleurs et 5 feutres ; ils donnent chacun 3 euros. La trousse coûte seize euros. Ont-ils assez ou pas assez d’argent ? Explique pourquoi. »  

Les obstacles… Problème d’évocation : de quoi est-il question, que cherche-ton ? Les représentations mentales des nombres, quelles qu’elles soient .  Le « sens » des opérations .  Difficultés directement liées au calcul : calcul mental mal investi, peu ou pas de mémorisation, manque de maîtrise de techniques opératoires…

Lien avec le calcul But prioritaire du calcul : les connaissances numériques doivent être au service des problèmes

Objectifs pour le cycle 2 : Comprendre la nécessité de disposer d’un répertoire structuré de résultats et d’en mémoriser une partie Savoir puiser dans ce répertoire pour résoudre des problèmes Savoir retrouver des résultats inconnus à partir de résultats connus, soit mentalement, soit par écrit Maîtriser la technique opératoire de l’addition Savoir que la calculette permet d’obtenir des résultats difficiles à calculer, à condition de l’utiliser de manière réfléchie

Pour cela, trois moyens de calcul calcul mental calcul instrumenté calcul écrit

Calcul mental : définition Entre l’énoncé du problème et l’énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée, mais on n’interdit pas l’usage de l’écrit. L’écrit peut donc quand même être présent dans la consigne ou la formulation du résultat.  

Calcul mental : finalités  Mise en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante. Etablissement et renforcement des connaissances mathématiques sur les nombres, les opérations et leurs propriétés. Elaboration de procédures originales. Aide à la résolution de problèmes.    Développer des capacités et des attitudes indispensables : concentration, mémoire   

Calcul automatisé Il est aussi appelé calcul automatique, ou encore mémorisé. Il s’agit ici des tables, des doubles et moitiés usuels, du calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure… Nécessité : entraînement, répétition

Les conditions de la mémorisation une bonne représentation des nombres une compréhension des opérations mises en jeu la prise de conscience de l’intérêt de disposer d’un répertoire de résultats la prise de conscience qu’un répertoire mental est en train de se constituer la capacité à utiliser les connaissances acquises pour obtenir d’autres résultats

Calcul réfléchi Elaborer une procédure adaptée au calcul proposé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités.  Aucune procédure ne s’impose a priori, et le plus souvent plusieurs sont possibles. Il est alors indispensable de pouvoir les confronter, les expliciter sans jamais en favoriser l’une plus que l’autre.

Calcul instrumenté Utilisation d’une calculette ou d’un ordinateur. Les finalités : Elle peut être un outil de calcul capable de réaliser ce que l’élève n’est pas encore capable de mener à bien seul. Elle est un instrument permettant à l’élève de vérifier un calcul qui vient d’être réalisé mentalement ou par écrit. Elle est enfin support de problèmes et d’apprentissage. Exemple : chercher comment obtenir 12 à l’écran sans taper ni 1, ni 2.

CP CE1   Nombres et Calcul Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Écrire une suite de nombres dans l’ordre croissant ou décroissant. Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. Connaître la table de multiplication par 2. Calculer mentalement des sommes et des différences. Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100) Résoudre des problèmes simples à une opération. Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1000. ...les comparer, les ranger, les encadrer. Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc Connaître les doubles et les moitiés d’usage courant. Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4, et 5. Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences, des produits. Calculer en ligne des suites d’opérations. Connaître et utiliser les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1000) Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication. Connaître une technique opératoire de la multiplication … Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100. Approcher la division de 2 nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupement. Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

Des idées pour commencer Techniques liées à l’addition : - Ajouter 10. - Ajouter 11. - Ajouter 9. - Ajouter 8. - Ajouter un multiple de 10 à un nombre à 2 chiffres. - Somme de 2 nombres à 2 chiffres. - Usage des doubles : 6 + 6 ; 6 + 7..; - Additionner plusieurs termes : 21 + 4 + 6 + 13 + 7 + 9   Techniques liées à la soustraction : - Soustraire 10 à un nombre. - Soustraire 9. - Soustraire 8. - Soustraire 11. - Chercher le complément à la dizaine, à la centaine. - Soustraire 10 à un nombre à 2 chiffres. Mais pas seulement…

Ce que peut être une séance… Dès le CP, des moments spécifiques doivent chaque jour être aménagées pour l’entraînement au calcul mental automatisé et pour l’exercice du calcul mental réfléchi.  2 fonctionnements possibles, avec des enjeux différents : Des séances brèves de 5 à 10 mn : on cherche à rendre les résultats plus rapidement et plus sûrement disponibles, pour en réduire le « coût ». L’attention est très fortement sollicitée. Des séances plus longues de 15 à 30 mn : on y travaille le calcul réfléchi. Ce que peut être une séance de calcul mental…   IO = «  ...L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » Dès le CP, des moments spécifiques doivent chaque jour être aménagées pour l’entraînement au calcul mental automatisé et pour l’exercice du calcul mental réfléchi. 2 fonctionnements possibles, avec des enjeux différents : Des séances brèves de 5 à 10 mn sont suffisantes lorsqu’il s’agit d’entretenir et de contrôler la mémorisation de résultats ( tables, compléments à 10) ou l’automatisation de procédures (multiplication par 10, compléments à la dizaine supérieure…)  Dans le cas où l’on travaille le calcul réfléchi, il vaut mieux proposer des séances plus longues (de 15 à 30 mn), organisée en abordant plusieurs domaines : - la numération - des opérations - de la résolution de « petits problèmes » (problèmes d’application et de réinvestissement) et en travaillant sur les trois points suivants : - des résultats mémorisés - des procédures automatisées - des stratégies de calcul

Variations… Avec un jeu de cartes (sans les figures) : l’adulte tire une carte, la montre : « Trouvez 2 nombres dont le total est … (carte) ►décomposition additive l’adulte montre 2 cartes :  «Combien en tout ? » ►somme 2 joueurs ; on distribue toutes les cartes, en 2 paquets. Chaque joueur aligne les 5 premières cartes de son paquet. Le gagnant est celui qui a le plus grand total ► comparaison de nombres l’adulte tire 2 cartes et les montre : « Quel est le produit de ces nombres ? » ►multiplication l’adulte tire 2 cartes et les affiche : « Calcule le total. Combien pour aller à 20 ? » ► complément à vingt

Autres variations…   Travail sur 10, 20 : compléments, décompositions… Un jeu de cartes (sans les figures) : l’adulte tire une carte et la montre : « Quel est le complément à 10 ? » Jeu de domino de 36 pièces / En petit groupe : On pose un domino à côté d’un déjà posé si la somme des nombres en contact est 10. Une piste contenant 9 cases numérotées, 2 joueurs : Chaque joueur dispose de 3 pions. Chacun, à tour de rôle, dépose un pion sur une case libre. Le but est de totaliser 10 avec ses trois pions. Si aucun joueur n’a totalisé 10 quand les 6 pions sont posés, chaque joueur à tour de rôle, peut déplacer l’un de ses pions vers une case libre. Un jeu de cartes (sans les figures), 4 joueurs, un « tapis » comportant 4 cases Le jeu est distribué entre les 4 joueurs. Chacun a tour de rôle pose une carte sur une case. Le but du jeu est de faire 20 avec les 4 cartes visibles. Si la somme n’est pas 20, le joueur suivant doit poser une carte sur l’une des cartes visibles … Celui qui obtient 20 ramasse les cartes visibles et conserve ce pli. Le gagnant est celui qui a le plus de cartes. 1 2 3 4 5 6 7 8

Bibliographie : BO, bien sûr ! Les documents d’accompagnement en math. Comptes pour petits et grands, tomes 1 & 2, Stella Baruk, Ed Magnard. Si 7 = 0, Stella Baruk, Ed Odile Jacob. Ermel CP et CE1, Ed Hatier Activités numériques et résolution de problèmes au cycle 2, Bruno Bonhème et Alain Descaves, Ed Hachette Le calcul mental au quotidien, François Boule, Scéren CRDP de Bourgogne. Fort en calcul mental !, Christophe Bolsius, Scéren CRDP Lorraine. Calcul mental au cycle 2 : des activités pour un entraînement quotidien, ML Peltier, Ed Hatier

En conclusion… On apprend toujours au moyen de ce que l’on sait déjà ; l’acquisition de connaissances nouvelles ne peut s’effectuer que sur la base de connaissances anciennes (François Léonard)…  …d’où l’importance de la continuité des apprentissages. En mathématiques, comme ailleurs, on ne part jamais de zéro ! Et maintenant, on peut partir… …à la maison !