IUT de Toulon GEII 2ème année Cours de Mathématiques Bruno ROSSETTO tél. 06 08 45 48 54 email: rossetto@univ-tln.fr site: http://rossetto.univ-tln.fr IUT de Toulon B. Rossetto

Cours de Mathématiques Sommaire du module MA 31 Analyse de Fourier, Mathématiques pour le signal discret Rappel – Transformée de Laplace Chap. 1 – Transformation de Fourier Chap. 2 – Transformée en z Chap. 3 – Suites numériques Chap. 4 – Séries numériques, séries entières IUT de Toulon B. Rossetto

Cours de Mathématiques Module MA 32 Séries de Fourier, Fonctions à plusieurs variables Module MC M2 (semestre 4) Algèbre linéaire et applications Module MC M3 (semestre 4) Probabilités et statistiques inférentielles IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Définition IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Exemples U(t) 1 t Echelon unité U(t)e-at, a> 0 1 t Note: la TL n’est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit être plus grande qu’une valeur, l’abscisse de convergence. Exponentielle décroissante IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Propriété de linéarité IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Propriété de linéarité Exercice. Retrouver les expressions des TL suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Propriétés 1 t T Impulsion R(t) t Rampe IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Propriétés IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Convolution U(t) 1 U(t-t) t U(t) 1 U(t-t) t IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Opérateurs Exercice. Un signal à support temporel borné [O, T] est périodisé avec une période T. Retrouver l’expression de sa TF (cf. le tableau) IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Systèmes linéaires stationnaires E(t) e(p) H(t) h(p) S(t) s(p) IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Systèmes linéaires stationnaires H(t) h(p) E(t) e(p) S(t)=(E(t)*H(t))t = s(p)=e(p).h(p) Dans l’espace temps Au niveau des TL Entrée E(t) e(p) SLS H(t) h(p) (rép. percussionnelle) (fonction de transfert) Sortie S(t)=E(t)*H(t) s(p)=e(p).h(p) IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Déconvolution 1. Décomposition en éléments simples de première espèce Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (p-a)2 (resp. p - b) et on fait p = a (resp. p = b). On trouve : Pour calculer B, on multiplie l’équation par (p-a) et on fait tendre p vers l’infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles. IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Déconvolution 2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce C’est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Déconvolution Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire H(t)= ? h(p)= ? E(t)=U(t) S(t) On applique un échelon unité à l’entrée d’un système linéaire stationnaire inconnu. On mesure S(t) en sortie. Déterminer la réponse percussionnelle et la fonction de transfert du système. Exercices. Calculer les fonctions du temps qui ont pour TL les expressions suivantes: IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Calcul opérationnel Exercice. d(t) 1 t Distribution de Dirac d(t) H(t)= ? h(p)= ? IUT de Toulon B. Rossetto

Transformée de Laplace Réponses Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire Réponse: H(t) est la dérivée de S(t) Exercices. Eléments de réponse: IUT de Toulon B. Rossetto