Pourquoi étudier la géométrie ? C’est la première question qui est posée aux élèves. 10 bonnes minutes sont nécessaires avant de faire la synthèse des réponses. Celles-ci sont général pertinentes et traitent à la fois de genre de tâches: construire, calculer des grandeurs, comparer des grandeurs… et de tâches (construire des immeubles…) voire d’écologie (images de synthèse par exemple). La première partie triate de l’écologie des savoirs géométriques. D. Gaud LPI 2008

La géométrie est présente dans de nombreuses activités humaines Architecture... La géométrie intervient sans que l’on y prenne garde dans notre environnement. Les bâtiments abritant le ministère américain de la défense a la forme d’un pentagone, le Parthénon grec à la forme d’un pavé et sa façade respecte des proportions très mathématiques (le nombre d’or). Les décors utilisés pour décorer les édifices utilisent aussi la géométrie comme la rosace de la cathédrale de Chartres ou bien ce motif polygonal . http://www.clg-lespres.ac-versailles.fr/grec/monuments/parthenon.jpg http://www.geocities.com/mandala_museum/notredamerosace375k.jpg http://www.csdm.qc.ca/petite-bourgogne/calendrier/images/janv/15/pentagone_011026.jpg) D. Gaud LPI 2008

Cathédrale de Caen D. Gaud LPI 2008 La façade de la cathédrale de Caen révèlent de nombreuses constructions géométriques: rectangles, demi-cercles, cercles inscrits et tangents etc. Comment de telles constructions peuvent-elles être reproduites ? Si on ignore comment les artisans du moyen âge effectuaient de telles figures, on peut se poser la question de savoir comment on pourrait reproduire les mêmes figures avec nos connaissances actuelles. On retrouve souvent ces motifs dans de nombreuses cathédrales gothiques. Voir Repère IREM n°70, 2007 D. Gaud LPI 2008

Plan de la cathédrale de Chartres Pentagone... ...Heptagone La géométrie, de manière non apparente, est à la base des nombreux édifices religieux. Il faut entrer dans la conception même des édifices pour découvrir la prégnance de la culture géométrique des architectes. D. Gaud LPI 2008

Mosaïques de l’Alhambra de Grenade La géométrie est aussi présente dans les décors islamiques. On y retrouve des motifs répétitifs qui constituent des frises et des pavages. Il y a 7 types de frises et 17 types de pavages. Les types se caractérisent par les transformations utilisées pour construire le pavage. http://www.dma.ens.fr/culturemath/histoire%20des%20maths/htm/tournes/tournes_images/Lamb_Fig16.JPG L’un des 17 types de pavages du plan… D. Gaud LPI 2008

La perspective artistique à la Renaissance en Italie La naissance de la perspective artistique au XIV et XVe siècles italien se fondent sur des techniques géométriques. Les fondateurs de cette techniques Brunelleschi, Alberti, Pierro dela Franscesca , Dürer sont aussi des mathématiciens. Ce tableau, L’annonciation avec St Emidius, Crivelli, 1486, montre la géométrisation de la représentation. http://www.sprezzatura.it/Arte/Crivelli_Annunciazione.jpg D. Gaud LPI 2008

… Mais aussi des instruments de musique ! La recherche de méthodes géométriques pour la facture d ’instruments prend une importance considérable aux XVI et XVIIème (luth, guitare, harpe, mandoline,...) et le violon Stradivarius (autour de 1680). Les secrets sont jalousement gardés ! C’est l’époque baroque. D. Gaud LPI 2008

LA 1ère LOI DE KEPLER Les orbites des planètes sont des ellipses dont l’un des foyers est le soleil. (1571-1630) L’astronomie depuis les grecs(Ptolémée) utilisent la géométrie pour décrire le mouvement des astres. Les figures utilisées par Ptolémée sont à base les cercles dont les centres tournent parfois sur des cercles (épicycles). Kepler au XVIIe siècle utilise un autre modèle pour décrire le mouvement des planètes: les ellipses qui sont des objets géométriques bien définis (voire l’ellipse du jardinier) La théorie de Kepler est étudiée en physique mais aussi dans le cours d’histoire car entre temps le géocentrisme a fait place à l’héliocentrisme et cela a occasionné des luttes d’idées. D. Gaud LPI 2008 - = cste

Entre la fin du XVie et la deuxième moitié du XIXe siècle, les japonais décorèrent les temples schintoistes par des gravures géométriques (sangakus): hommages aux dieux ou bien volonté de montrer la supériorité de telle ou telle école en vue de recruter? Les avis divergent. Les constructions sont difficiles et souvent non explicitées alors que des calculs d’éléments géométriques non justifiés sont décrits. Sur le site cité ci-dessous, on trouve de nombreux exemples de sangakus. http://www.wasan.jp/english Gery Hurvent,Sangaku, Dunod 2008 D. Gaud LPI 2008

Des connaissances géométriques ont donc été nécessaires dans notre histoire … La géométrie n’est pas simplement des connaissances du passé… Mais aussi maintenant D. Gaud LPI 2008

Échangeurs d’autoroute La géométrie est toujours utilisée. Les courbes ne sont pas dessinées n’importe comment mais en tenant compte de contraintes imposées par les lois du mouvement, la sécurité et la gestion des flots de véhicules. http://img.gkblogger.com/blog/imgdb/000/000/116/115_2.jpg D. Gaud LPI 2008

Futuroscope Les architectes actuels ne délaissent pas la géométrie. http://www.locations-chateaux.com/images/futuroscope-locations.jpg http://images.google.fr/imgres?imgurl=http://www.a-castle-for-rent.com/images/futuroscope2.jpg&imgrefurl=http://www.a-castle-for-rent.com/attractions.htm&h=480&w=640&sz=28&hl=fr&start=8&tbnid=GyalZfxsM8tw5M:&tbnh=103&tbnw=137&prev=/images%3Fq%3Dfuturoscope%26gbv%3D2%26svnum%3D10%26hl%3Dfr%26sa%3DG D. Gaud LPI 2008

GPS Localisation par intersection de cercles : des coordonnées et un système d’équations ! Le GPS localise nos positions par des intersections de cônes et de la sphère terrestre. D. Gaud LPI 2008

Numérisation de photos aériennes pour évaluer les aires des champs L’évaluation des surfaces cultivées en vue de l’attribution des aides de l’Europe est faite par photos aériennes numérisées, puis modélisées. L’aire est calculée en comptant les pixels intérieurs. D. Gaud LPI 2008

une autre géométrie : les fractales Les images de synthèse                                                     Les images virtuelles sont conçues à l’aide de fractales eux-mêmes issus de techniques de constructions géométriques. une autre géométrie : les fractales D. Gaud LPI 2008

Conception d’images de synthèse La conception d’images de synthèse consiste à modéliser par des figures géométriques (polyèdres) des figures complexes. D. Gaud LPI 2008

Architecture d’intérieur et meubles design http://www.steeldomus.com/img/b_a_brno_chair_mies_van_der_rohe.jpg Voir La géométrie du design, Kimberly Elam Eyrolles 2005 Cercles, rectangles d’or sont à la base de la construction. Chaise Brno, Mies van der Rohe,1929 D. Gaud LPI 2008

Constructions automobiles Voir La géométrie du design, Kimberly Elam Eyrolles 205 L’ellipse est inscrite dans un rectangle d’or. La voiture s’intègre dans une demi ellipse d’or. Cercles et ellipse finissent la ligne de la New beattle. D. Gaud LPI 2008

La géométrie inspire des artistes… Vasarely (1908-1997) Escher (1898-1972) D. Gaud LPI 2008 Max Bill (1908-1994)

Bilan La géométrie est présente dans de nombreuses activités humaines: architecture, peinture, musique, Design, images de synthèse, repérage, … D. Gaud LPI 2008

Quels types de tâches Reproduire une figure, Construire une figure répondant à des conditions, Évaluer voire comparer des aires et plus généralement des grandeurs, … La liste n’est pas ehaustive. D. Gaud LPI 2008

Qu’allons nous étudier? Inscriptions et circonscriptions Les exemples seront issus : de l’art (architecture, peinture) de la religion, de l’histoire et des mathématiques… On ne peut pas tout étudier. On se contente d’essayer de répondre à la question: Comment construire une figure astreinte à des conditions? Nous centrerons nos constructions sur: Les inscriptions et circonscriptions, les constructions de segments à la règle et au compas. D. Gaud LPI 2008