Décomposer une image sur une base d'ondelettes DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI Images et Filtres: APP3

Introduction Technique inventée par Alfred Haar en 1909. Compression sans pertes (quantification/seuillage →perte irréversible) Consiste à décomposer une image en plusieurs images de résolution inférieure. Espaces d'approximations de plus en plus grossiers : 𝑉 𝑖 . Espaces "capturant" les détails perdus entre chaque niveau d'approximation : 𝑊 𝑖 . DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

Axes d’étude Ondelettes de Haar Transformée de Haar 1D Compression d’image Détection de contours Débruitage d’une image DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

I. Ondelettes de Haar 𝜑 0,0 𝜑 0,𝑖 𝜓 0,0 𝜓 0,𝑖 𝜑 1,0 𝜑 1,𝑖 𝜓 1,0 𝜓 1,𝑖 II III IV V VI 𝜑 1,0 𝜑 1,𝑖 𝜓 1,0 𝜓 1,𝑖 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI 𝜓 𝑛,𝑖 𝑥 = −1 𝑠𝑖 𝑥∈[𝑖;𝑖+ 1 2 𝑛+1 [ 1 𝑠𝑖 𝑥∈[𝑖+ 1 2 𝑛+1 ;𝑖+ 1 2 𝑛 [ 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 𝜑 𝑛,𝑖 𝑥 = 1 𝑠𝑖 𝑥∈[𝑖;𝑖+ 1 2 𝑛 [ 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

II. Transformée de Haar 1D (méthode 1) Signal numérique unidimensionnel de taille n=8= 2 3 ⇒3 é𝑡𝑎𝑝𝑒𝑠 : 𝑠={ 𝑠 0 , 𝑠 1 ,…, 𝑠 𝑖 ,…, 𝑠 7 } ETAPE 1: On forme les paires : 𝑠 0 , 𝑠 1 𝑠 2 , 𝑠 3 𝑠 4 , 𝑠 5 𝑠 6 , 𝑠 7 On calcule les moyennes : 𝑣 0 = 𝑠 0 + 𝑠 1 2 ; 𝑣 1 = 𝑠 2 + 𝑠 3 2 ; 𝑣 2 = 𝑠 4 + 𝑠 5 2 ; 𝑣 3 = 𝑠 6 + 𝑠 7 2 On calcule les détails : 𝑤 0 = 𝑠 0 − 𝑠 1 2 ; 𝑤 1 = 𝑠 2 − 𝑠 3 2 ; 𝑤 2 = 𝑠 4 − 𝑠 5 2 ; 𝑤 3 = 𝑠 6 − 𝑠 7 2 On forme le vecteur 𝑠 ′ = [𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 ],[ 𝑤 0 , 𝑤 1 , 𝑤 4 , 𝑤 3 ] ETAPE 2: On forme les paires : 𝑣 0 , 𝑣 1 𝑣 2 , 𝑣 3 On calcule les moyennes : 𝑣 0 ′ = 𝑣 0 + 𝑣 1 2 ; 𝑣 1 ′ = 𝑣 2 + 𝑣 3 2 On calcule les détails : 𝑤 0 ′ = 𝑣 0 − 𝑣 1 2 ; 𝑤 1 ′ = 𝑣 2 − 𝑣 3 2 On forme le vecteur 𝑠 ′′ = [𝑣 0 ′ , 𝑣 1 ′ ], [ 𝑤 0 ′ , 𝑤 1 ′ , 𝑤 0 , 𝑤 1 , 𝑤 4 , 𝑤 3 ] ETAPE 3: On forme les paires : 𝑣 0 ′ , 𝑣 1 ′ On calcule les moyennes : 𝑣 0 ′′ = 𝑣 0 ′ + 𝑣 1 ′ 2 On calcule les détails : 𝑤 0 ′′ = 𝑣 0 ′ − 𝑣 1 ′ 2 On forme le vecteur 𝑠 ′′′ = [𝑣 0 ′ ], [ 𝑤 0 ′′ , 𝑤 0 ′ , 𝑤 1 ′ , 𝑤 0 , 𝑤 1 , 𝑤 4 , 𝑤 3 ] TH d’ordre 1 I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI TH d’ordre 2 TH d’ordre 3

II. Transformée de Haar 1D (méthode 2) ETAPE 1: 𝑠 ′ =𝑠. 𝑊 1 avec 𝑊 1 = ETAPE 2: 𝑠 ′′ = 𝑠 ′ . 𝑊 2 avec 𝑊 2 = ETAPE 3: 𝑠 ′′′ = 𝑠 ′ . 𝑊 3 avec 𝑊 3 = Donc on a directement: 𝑠 ′′′ = 𝑠.𝑊 1 𝑊 2 𝑊 3 Avec 𝑊=𝑊 1 𝑊 2 𝑊 3 = TH d’ordre 1 I II III IV V VI TH d’ordre 2 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI TH d’ordre 3

III. Transformée de Haar 2D Image numérique: 𝐼= 567 ⋯ 1536 ⋮ … ⋮ 448 ⋯ 1600 = 𝑠 𝑎 ⋮ 𝑠 ℎ Méthode 1: on réitère la transformée de Haar sur chacune des lignes et colonnes de 𝐼 et on obtient 𝑆. Méthode 2: on trouve directement 𝑆= 𝑊 𝑇 .𝐼.𝑊. Avec cette méthode on a directement la transformée de Haar inverse: 𝐼= 𝑊 𝑇 −1 .𝑆. 𝑊 −1 Signal unidimensionnel I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

Organisation suite à la TH d’ordre 1 Moyenne Moyenne de détails Détails de moyenne Détails I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

Organisation suite à la TH d’ordre 2 Moyenne (moyenne) Moyenne de détails (moyenne de détails) Détails de moyenne Détails (détails de moyenne) (détails) I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

IV. Compression d’image Exemple de transformée de Haar à l’ordre 2 d’une image. Les coefficients d’approximation (moyenne) sont filtrés avec un filtrage passe-bas. Les coefficients de détail sont filtrés avec un filtrage passe-haut. I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

IV. Compression d’image Transformée de Haar Suppression des hautes fréquences (pertes irréversibles) Transformée de Haar inverse I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

IV. Compression d’image Image d’origine Image compressée I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

V. Détection de contours Les informations sur le contour sont contenues dans la moyenne du détail et dans le détail de la moyenne. On ajoute alors ces deux matrices pour former la matrice contours. I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

V. Détection des contours On retrouve l’image contenant les informations des contours I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

VI. Débruitage d’une image On bruite notre image en simulant un bruit blanc gaussien de moyenne nulle. On crée une fonction de seuillage dont le paramètre 𝜀 détermine le minimum de la matrice. C’est-à-dire que toutes les valeurs 𝑥 𝑖 <𝜀 seront nulles. I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

VI. Débruitage d’une image Image bruitée Image débruitée I II III IV V VI DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

Conclusion En comparaison avec la DCT, la compression par ondelettes de Haar offre une plus grande finesse au niveau de l’analyse du signal et permet de mieux s’adapter aux propriétés locales de l’image. DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI