Quelques exemples d ’utilisation des coordonnées au collège Bruno DELACOTE Collège de Masevaux

Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Permet de revenir page précédente Permet de revenir au sommaire suite

Sommaire Représentant d ’un vecteur Formules des coordonnées d ’un vecteur Prouver l ’existence d ’un parallélogramme Formule du milieu d ’un segment Formule de la distance entre deux points

Examinons la situation suivante : nous voyons apparaître quatre représentants d ’un même vecteur. 3 2 1 j o -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 i -1 -2 -3

Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F et G j A B C D E F G H Nomme les parallélogrammes de la figure.

Points A B C D E F G H Abscisse -4,5 -1,5 -5 -2 -1 2 2 5 Ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -1 -3 1 -1 En utilisant la formule MN ( xN - xM ;; yN - yM ) Calcule les coordonnées des vecteurs AB; CD; EF; GH Que constate-t-on ?

AB; CD; EF; GH ont pour coordonnées (3; -2) Graphiquement on constate que chaque vecteur est égal à 3 i + (-2) j i i i - j - j j o i

Admettons et retenons Des vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées. Les coordonnées du vecteur AB sont données par les formules Des vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées. Et aussi la caractérisation vectorielle du parallélogramme… Si ABCD est un parallélogramme alors Ainsi que sa réciproque Si alors ABCD est un parallélogramme.

Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) , calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme. On peut résoudre un premier type de problème Attention à l’ordre des points! J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si : A C 1 O 1 (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 ) B -1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1 D x = 4 et y = - 4 Ce qui se vérifie sur le croquis….Calcule maintenant les coordonnées de E tel que ABCE soit un parallélogramme. E (2 ; 6)

Etant donnés quatre points On peut aussi vérifier par le calcul qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme. Etant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux. On calcule les coordonnées de AF ( - 4 ; - 4) et CB ( - 4 ; - 4 ) A C 1 O 1 Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme. B F

I est le milieu d ’un segment [AB] si et seulement si AI = IB Application au milieu d ’un segment I est le milieu d ’un segment [AB] si et seulement si AI = IB En passant au coordonnées A retenir xI - xA = xB- x I yI - yA = yB- y I donc... Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par les formules

Prouver que AFBC est un parallélogramme. Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme. Etant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme. Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales ont même milieu. A C 1 O 1 Coordonnées du milieu de [ AB ] B F Coordonnées du milieu de [ FC ] Donc AFBC est un parallélogramme

AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)² Pour calculer la distance AB on utilise la formule suivante : Si le repère est orthonormé* AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )² Expliquons cette formule dans le cas où les coordonnées de A et B sont des nombres positifs. (On admet qu ’elle se généralise aux autres cas ) B yB Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire: AB² = AC² + CB² AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)² yB - yA A yA C 1 D ’où finalement O xB 1 xA AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )² xB - xA Repère orthonormé : c ’est un repère dont les axes sont orthogonaux dont l’unité est la même sur les deux axes

A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3 ; 1 ) , F ( -6 , -2). Appliquons Si le repère est orthonormé,* la distance entre le point A et le point B est AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )² AB = ( -2 - ( -1) )² + ( 2 - ( -3) )² A C = (-1)² + 5² 1 = 26 O 1 Calcule maintenant AC, AF et AO 26 B AC = F 32 AF = AO = 6,5 A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3 ; 1 ) , F ( -6 , -2).

A retenir dans un repère orthonormé La distance entre A et B est donnée par la formule AB =

Soient M (2; -1) et N (5 ; 3) On cherche à déterminer l'ensemble des points P d'ordonnée 1 tel que le triangle MNP soit rectangle. Pour cela placer les points M et N dans un repère orthonormé en prenant 1cm comme unité, et tracer les différents triangles à l'aide des outils de dessin. Retrouver et préciser les résultats par le calcul.

Il faut envisager plusieurs cas : le triangle est rectangle en M... N Soient M (2; -1) et N (5 ; 3) On cherche à déterminer l'ensemble des points P d'ordonnée 1 tel que le triangle MNP soit rectangle. Il faut envisager plusieurs cas : le triangle est rectangle en M... N Positions possibles du point P P 1 O 1 M Ici la lecture de l'abscisse du point P n'est pas très aisée. Utilisons le calcul. Trace aussi les figures correspondantes aux cas ou le triangle est rectangle en N puis en P.

Calculons les distances entre les points M (2; -1) , N (5 ; 3) et P (x ;1)

Positions possibles du point P Pour que le triangle MNP soit rectangle en M il suffit que l'égalité de Pythagore soit vérifiée NP ² = PM ² + NM ² (x - 5)² + 4 = 25 + (x -2)² 25 - 10 x + x² = 25 + x² - 4x + 4 N -6x = 4 x = -2/3 Positions possibles du point P P 1 O 1 M D'où P1 (-2/3 ; 1 )

Positions possibles du point P Pour que le triangle MNP soit rectangle en N il suffit que l'égalité de Pythagore soit vérifiée MP ² = PN ² + NM ² (2 -x)² + 4 = 25 + (x - 5)² 4 - 4 x + x² = 25 + x² - 10x +25 N Positions possibles du point P 6x = 46 x = 23/3 P 1 O 1 M D'où P2 (23/3 ; 1 )

Dans ce cas le point P est situé sur le cercle de diamètre [MN] Si MN est l'hypoténuse du triangle Il y a deux solutions P3 et P4 Pour que le triangle MNP soit rectangle en P il suffit que l'égalité de Pythagore soit vérifiée, MN ² = PN ² + PM ² N P3 P4 (2 -x)² + 4 + (x - 5)²+ 4 = 25 4 - 4 x + x² + 4+ 25 + x² - 10x +4 = 25 2x² - 14 x + 12 =0 1 O 1 M Après lecture graphique, on vérifie facilement que x = 1 et x = 6 sont solutions de cette équation. D'où P3 ( 1; 1) et P4 ( 1; 6)