Poitiers, Juin 1998 Exercice corrigé de brevet 1. Factoriser : 9 – 12x + 4x² (3 – 2x)² – 4 2. En déduire une factorisation de : E = (9 – 12x + 4x²) – 4 3. Résoudre l’équation : (1 – 2x)(5 – 2x) = 0 3 2 4. Montrer que pour x = , E est un entier.
On reconnaît là une identité remarquable : a² - 2ab + b² 1. a. 9 – 12x + 4x² On reconnaît là une identité remarquable : a² - 2ab + b² = 3² – 232x + (2x)² = (3 – 2x)² = (a – b)² On reconnaît là une identité remarquable : a² - b² b. (3 – 2x)² - 4 = (3 – 2x)² – 2² = (3 – 2x + 2) (3 – 2x – 2) = (a – b) (a + b) = (5 – 2x) (1 – 2x) Menu
2. D’après la 1ère question : a. 9 – 12x + 4x² = (3 – 2x)² b. (3 – 2x)² – 4 = (5 – 2x) (1 – 2x) On en déduit une factorisation de E : E = (9 – 12x + 4x²) – 4 E = (3 – 2x)² – 4 d’après a. E = (5 – 2x) (1 – 2x) d’après b. Menu
3. Résolution de l’équation : (1 – 2x)(5 – 2x) = 0 Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. D’où : 2x + 1 – 2x = 0 + 2x ou 2x + 5 – 2x = 0 + 2x 1 = 2x 5 = 2x 2 2 2 2 1 2 5 2 x = x = 1 2 5 2 Les solutions de l’équation sont et Menu
E = - 4, donc E est bien un entier ! 3 2 4. Calcul de E pour x = D’après la deuxième question : E = (5 – 2x) (1 – 2x) D’où : E = (5 – 2 ) (1 – 2 ) 3 2 3 2 E = (5 – 3) (1 – 3) E = 2 (- 2) E = - 4, donc E est bien un entier ! Menu