Ch 6 Application des lois de Newton et des lois de Kepler 1 – Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur 1 - 1 – Étude expérimentale du mouvement 1 – 2 - Étude théorique 2 – Cas d’une particule dans un champ électrostatique uniforme 3 – Mouvement des satellites et des planètes 3 – 1 – Les lois de Kepler 3 – 2 – Les satellites

1 – Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur 1 - 1 – Étude expérimentale du mouvement TP élève: Étude d’un mobile en chute libre, ayant une vitesse initiale (non verticale). Mode opératoire: A l’aide d’un ordinateur et d’un logiciel, Faire l’acquisition des positions d’une bille en chute libre lancée avec une vitesse initiale non verticale (parabolique, parabolique1). Caractériser sa trajectoire et son accélération. Conclusion: La trajectoire du solide est parabolique et le vecteur accélération est constant et est égal au champ de pesanteur g.

1 – 2 - Étude théorique Recherche de l’accélération du centre d’inertie d’une bille, en chute libre, lancée d’un point O, avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l’horizontale: z V0 y α O x Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen, d’après la 2éme loi de Newton, la somme des forces extérieures qui s’appliquent à la bille est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d’inertie. Soit: 𝑚× 𝑔 =𝑚× 𝑎 ou 𝒈 = 𝒂 Ses coordonnées sont donc: ax = 0 ay = 0 et az = - g

Recherche des coordonnées de la vitesse de la bille: Par définition: a = dv/dt soit aussi: dvx/dt = 0 dvy/dt = 0  et dvz/dt = - g En cherchant les primitives des coordonnées: vx = cte vy = cte et vz = -g.t + cte D’après les conditions initiales: vx = v0.cosα vy = 0 et vz = -g.t + v0.sinα

- Recherche des équations horaires: Par définition v = dOM/dt. En cherchant les primitives des coordonnées . x = v0.cosα.t + cte y = cte et z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t + cte D’après les conditions initiales: x = v0.cosα.t y = 0 et z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t RQ: y = cte implique que la trajectoire est planaire

- Recherche de l’équation de la trajectoire x = v0.cosα.t donne: t = x/ (v0.cos) En remplaçant dans z = -1/2.g.t2 + v0.sinα.t on trouve l’équation de la trajectoire: C’est une parabole dans le plan vertical contenant v0.

2 – Cas d’une particule dans un champ électrostatique uniforme Quelles sont les forces appliquées à une particule de charge q et de masse m placée dans un champ électrostatique 𝐸 ? Une charge ponctuelle de charge q dans un champ électrostatique 𝐸 subit une force électrostatique: 𝑭 𝒆 =𝒒× 𝑬 Elle subit aussi sont poids: 𝑷 =𝒎× 𝒈 On admettra que cette dernière force est négligeable par rapport à la force électrostatique (voir ex 20 p 176).

Rechercher l’accélération de cette particule, rentrant au point O dans un champ électrostatique uniforme et dirigé vers le haut 𝐸 , avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α avec l’horizontale (voir schéma doc 5 p164). Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen, d’après la 2éme loi de Newton, la somme des forces extérieures qui s’appliquent à la particule est égale au produit de sa masse par son vecteur accélération . Soit: 𝒒× 𝑬 =𝒎× 𝒂 𝒂 = 𝒒× 𝑬 𝒎

Ses coordonnées sont: 𝒂 𝒙 =𝟎 𝒂 𝒚 = 𝒒×𝑬 𝒎 Déterminer les équations horaires de la particule Par définition : 𝑎 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 Donc les coordonnées de la vitesse sont des primitives de celles de l’accélération. Donc: 𝑣 𝑥 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣 𝑦 = 𝑞×𝐸 𝑚 ×𝑡+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 D’après les conditions initiale (à t = 0): 𝑣 0𝑥 = 𝑣 0 ×𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑣 0𝑦 = 𝑣 0 ×𝑠𝑖𝑛𝛼

De ces 4 équations on peut en déduire les constantes d’intégration De ces 4 équations on peut en déduire les constantes d’intégration. Les coordonnées de la vitesse de la particule sont donc: 𝒗 𝒙 = 𝒗 𝟎 ×𝒄𝒐𝒔𝜶 𝒗 𝒚 = 𝒒×𝑬 𝒎 ×𝒕+ 𝒗 𝟎 ×𝒔𝒊𝒏𝜶 Par définition le vecteur vitesse de la particule est: 𝑣 = 𝑑 𝑂𝑀 𝑑𝑡 Donc les coordonnées de la particule sont des primitives de celles de la vitesse. 𝑥= 𝑣 0 ×𝑐𝑜𝑠𝛼×𝑡+constante 𝑦= 1 2 × 𝑞×𝐸 𝑚 × 𝑡 2 + 𝑣 0 ×𝑠𝑖𝑛𝛼×𝑡+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

D’après les conditions initiales (t= 0), les coordonnées de la particules sont: 𝑥 0 =0 𝑦 0 =0 Les équations horaires de la particule sont donc: 𝒙= 𝒗 𝟎 ×𝒄𝒐𝒔𝜶×𝒕 𝒚= 𝟏 𝟐 × 𝒒×𝑬 𝒎 × 𝒕 𝟐 + 𝒗 𝟎 ×𝒔𝒊𝒏𝜶×𝒕 En déduire l’équation de sa trajectoire. En substituant le temps dans la deuxième équation et en simplifiant, on trouve : 𝒚= 𝟏 𝟐 × 𝒒×𝑬 𝒎×( 𝒗 𝟎 ×𝒄𝒐𝒔𝜶 ) 𝟐 × 𝒙 𝟐 +𝒕𝒂𝒏𝜶×𝒙

3 – Mouvement des satellites et des planètes 3 – 1 – Les lois de Kepler - Ptolémée (200 ap JC) la Terre est le centre de l’univers et les planètes tournent autour. - Copernic (1478-1543) Le soleil est le centre du monde et les planètes lui tournent autour suivant des cercles. - Kepler (1571-1630) utilise les observations de son maître Tycho Brahé (1546-1601) et formule trois lois :

Première loi de Kepler : Loi des trajectoires Dans le référentiel héliocentrique la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le Soleil est l’un des foyers.

Deuxième loi de Kepler : Loi des aires Le segment de droite reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Troisième loi de Kepler : Loi des périodes Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est le même. T2/a3 = constante a

Déterminons les caractéristiques du mouvement d’un satellite de masse m qui tourne, à l’altitude h, autour de la Terre. On supposera que la Terre a une répartition des masses à symétrie sphérique Que peut-on déduire de « la Terre a une répartition des masses à symétrie sphérique »? Le centre de la Terre est confondu avec son centre d’inertie. Quelle est l’accélération du centre d’inertie du satellite ? Bilan des forces: Force de gravitation terrestre : u: vecteur unitaire de direction et de sens Le centre du satellite vers le centre de la Terre. 3 – 2 – Les satellites

Dans le référentiel géocentrique (considéré comme galiléen), d’après la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures appliquées au satellite est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d’inertie. Soit : Ou L’accélération du centre d’inertie du satellite, est donc indépendante de sa masse et est centripète.

Que se passe-t-il si la trajectoire du satellite est circulaire ? Introduction de la base de Frenet (M,N,T): la base de Frenet est une base liée au mobile M et dont les deux vecteurs de base sont N (normal à la trajectoire et rentrant) et T (tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement). On peut toujours décomposer un vecteur dans cette base. En particulier le vecteur accélération : (1) Pour tout mouvement circulaire (1): r étant le rayon de courbure du cercle et v la valeur de la vitesse du mobile M. On peut aussi avoir, r.2 à la place de v2/r avec  la vitesse angulaire.

Bien qu’elliptique, les trajectoires des satellites peuvent, très souvent, être assimilées à des cercles. Dans ce cas de figure le vecteur unitaire u = N. L’accélération devient donc : (2) L’accélération n’a donc pas de composante tangentielle. dv/dt est donc nulle. v est donc constant (attention que le vecteur v, lui, n’est pas constant). Le mouvement est donc uniforme.

Que devient l’expression de v dans le cas du mouvement circulaire ? Par identification des équations (1) et (2), je peux écrire que : Soit: (3) ou La vitesse n’est donc que fonction de son altitude.

- Quelle est la période de révolution d’un satellite ? La période est de Donc d’après (3) RQ : on retrouve la troisième loi de Kepler : Application au calcul de l’altitude d’un satellite géostationnaire avec T= 86164 s (1 jour sidéral). Réponse : h = 35800 km.

.Exercices n°1, 2, 5, 7, 15, 17, 20, 22, 23, 26 p169.