ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007

Plan : Généralités sur les circuits électriques. Théorèmes généraux en régime continu Les circuits en régime variable : w Régime quelconque : équation différentielle w Régime sinusoïdal : transformation complexe w Régime quelconque : écriture symbolique Puissance et énergie électrique

Généralités Courant électrique Différence de potentiel Notion de dipôle w Définition

Généralités w Conventions :

Généralités w Notion de caractéristique courant-tension :

Généralités Les dipôles élémentaires : - Actifs : w Source de tension u = e "i w Source de tension

Généralités - Passifs : w Source de courant : i = io"u u io i w Résistance :

Généralités w Condensateur : w Inductance :

Généralités Réponse d’un circuit Définition Nature de la réponse

Lois générales des réseaux linéaires Définitions : w Linéaire, branche, nœud, maille :

Lois générales des réseaux linéaires Lois de Kirchhoff : w Loi des mailles : w Loi des noeuds :

Lois générales des réseaux linéaires Théorèmes fondamentaux : w Diviseur de tension

Lois générales des réseaux linéaires w Diviseur de courant

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de superposition

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de Millman

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de Thévenin

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de Thévenin : exemple Calculer I en appliquant le théorème de Thévenin

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de Norton R B IN RN A I

Lois générales des réseaux linéaires w Théorème de Norton : exemple Calculer la tension VAB en utilisant le théorème de Norton

Lois générales des réseaux linéaires w Théorèmes : exercice de synthèse : Calculer I par deux méthodes différentes

Réseaux en régime variable Ecriture temporelle : - Les circuits du 1er ordre : Etude de la réponse d ’un circuit RC à un échelon E :

Réseaux en régime variable Méthode de résolution d ’une équation différentielle linéaire à coefficients constants : 1. solution de l ’équation sans second membre (ESSM) 2. recherche d ’une solution particulière 3. solution générale = 1 + 2

Réseaux en régime variable Après résolution de l ’équation différentielle on obtient la représentation graphique suivante :

Réseaux en régime variable Etude de la réponse d ’un circuit RL à un échelon E :

Réseaux en régime variable Après résolution de l ’équation différentielle on obtient la représentation graphique suivante :

Réseaux en régime variable - Les circuits du 2ème ordre : Etude de la réponse d ’un circuit RLC série à un échelon E : Si on pose : et

Réseaux en régime variable 0 est appelée la pulsation propre du circuit et m son coefficient d ’amortissement. L ’équation peut alors s’écrire : Résolution : - Solution particulière (régime permanent) :

Réseaux en régime variable - Solution générale : L ’équation caractéristique s ’écrit : Il faut distinguer deux cas : * m > 1 : On obtient les racines :

Réseaux en régime variable D ’où : Les conditions initiales u(0) = 0 et u ’(0) = 0 permettent de déterminer K1 et K2 : On obtient la représentation graphique suivante :

Réseaux en régime variable

Réseaux en régime variable On obtient les racines : Après quelques lignes de calcul on arrive à : Avec : et

Réseaux en régime variable Représentation graphique :

Réseaux en régime variable Exercice de synthèse : Déterminer Vs(t) sachant qu ’à t = 0 Vs(0) = 0

Réseaux en régime variable Ecriture complexe : - La fonction sinusoïdale dans les circuits. - Décomposition en série de Fourier d ’un signal carré :

Réseaux en régime variable Composante continue et harmoniques jusqu’à l ’ordre 7 :

Réseaux en régime variable Reconstruction du signal carré par addition des différentes composantes :

Réseaux en régime variable - Etude de la réponse d ’un circuit du 1er ordre à la fonction f(t) = Am.coswt : La loi de la maille permet d ’écrire :

Réseaux en régime variable La solution générale, qui exprime la réponse transitoire du circuit est donnée par : avec La solution particulière, qui exprime la réponse permanente du circuit est donnée par: Im et  sont inconnus. Finalement :

Réseaux en régime variable Définition de la transformation complexe : Opération dérivation : L’opération dérivation dans le domaine du temps se transforme en l’opération multiplication par jw dans le plan complexe.

Réseaux en régime variable Opération intégration : L’opération intégration dans le domaine du temps se transforme en l’opération division par jw dans le plan complexe.

Réseaux en régime variable - L’impédance complexe : Résistance R : L’équation u(t) = Ri(t) se traduit dans le plan complexe par : I U = RI

Réseaux en régime variable Condensateur C : L’équation se traduit dans le plan complexe par : I = jCwU U

Réseaux en régime variable Inductance L : L’équation se traduit dans le plan complexe par : U = jLwI I

Réseaux en régime variable Impédance et admittance complexes : De manière générale : Où R est la RESISTANCE et X la REACTANCE qui s’expriment en W .

Réseaux en régime variable De manière générale : Où G est la CONDUCTANCE et B la SUSCEPTANCE qui s’expriment en Siemens. - Notion de résonance : Coefficient de qualité  pour X et R en série,  pour X et R en parallèle,

Réseaux en régime variable Résonance série : circuit RLC série : L ’impédance Z du circuit s ’écrit :

Réseaux en régime variable Traçons la représentation de avec : et Imax courant maximum à  = 0

Réseaux en régime variable |I|/Imax en fonction de w pour quatre valeurs de Qs :

Réseaux en régime variable Bande passante : Résonance parallèle : circuit RLC parallèle :

Réseaux en régime variable L ’admittance Y du circuit s ’écrit : Le module du rapport U/I s ’écrit : avec :

Réseaux en régime variable Structure série ou parallèle d ’un même dipôle : Passage du schéma série au schéma parallèle : En écrivant l ’égalité des admittances et en posant QS=XS/RS on obtient :

Réseaux en régime variable Passage du schéma parallèle au schéma série : En écrivant l ’égalité des impédances et en posant QP=RP/XP on obtient : - Réponse en fréquence : Notion de fonction de transfert :

Réseaux en régime variable Notion de filtre : On distingue quatre types de filtres :

Réseaux en régime variable Exemple : Calculer et étudier la fonction de transfert du circuit ci-dessus. Conclure sur ses propriétés fréquentielles. Représentation des fonctions de transfert, diagrammes de Bode

Réseaux en régime variable Définitions : Décibel : Réponse en puissance : Réponse en tension : Réponse en courant : Octave, décade :

Réseaux en régime variable Diagramme de Bode :

Réseaux en régime variable Intérêt des diagrammes de Bode : On suppose que : On en déduit que : Donc : et :

Réseaux en régime variable Les représentations du module et de l ’argument de T s ’obtiennent en faisant la somme des représentations correspondantes du module et de l ’argument des fonctions de transfert T1, T2, …, Tn. Il ne reste plus qu’à étudier les représentations de Bode des fonctions élémentaires composant toute fonction complexe T. Les fonctions de transfert élémentaires :

Réseaux en régime variable Exercice : Calculer la fonction de transfert en tension du circuit suivant et tracer les diagrammes de Bode.