02 Mathématiques financières des obligations Lectures Fabozzi, ch. 2-3 Exercices suggérés Fabozzi, ch. 2: 1-4, 7-11, 13 Fabozzi, ch. 3: 1-3, 7, 9, 12-16 GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations © Stéphane Chrétien

Agenda de la section Définition et notation des taux d’intérêt Capitalisation et actualisation Prix d’une obligation Intérêt couru et cote Taux de rendement Relations importantes Rendement réalisé GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Taux d’intérêt effectif par période Notation: r Définition: Ratio du montant d’intérêt I gagné durant une période sur la somme (ou principal) investie P0 au début de cette période. Ainsi: I = P0·r r est le taux d’intérêt « effectivement » reçu sur un investissement. Le taux d’intérêt effectif est le taux qu’il faut toujours utiliser dans les calculs d’actualisation et de capitalisation. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Taux d’intérêt nominal par période Notation: (i ; m) m: Nombre de périodes de capitalisation (par période). Définition: Taux indiquant que le taux d’intérêt effectif est de r = i/m par période de capitalisation. Le taux d’intérêt nominal est souvent le taux affiché ou publicisé sur un investissement. Il ne doit pas être utilisé dans les calculs d’actualisation et de capitalisation. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Équivalence de taux Les taux sont exprimés sur différentes bases: Effectif ou nominal; Bisannuel (sur deux ans), annuel, semestriel, trimestriel, mensuel, hebdomadaire, quotidien, etc. Quatre cas possibles d’équivalence: 1- Un taux effectif en un taux effectif; 2- Un taux nominal en un taux effectif; 3- Un taux effectif en un taux nominal; 4- Un taux nominal en un taux nominal. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Cas 1: Taux effectif en taux effectif Exemple: Trouver le taux effectif mensuel équivalent à un taux effectif annuel de 12 %. 1) Trouver le nombre de fois où la période du taux donné se produit dans la période du taux cherché: Réponse: 1/12 2) Déterminer le taux cherché en capitalisant le taux donné par le nombre de fois trouvé en 1): Réponse finale: (1+0,12)(1/12)-1 = 0,948 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Cas 2: Taux nominal en taux effectif Exemple: Trouver le taux effectif quotidien équivalent à un taux nominal semestriel de 3 % capitalisé mensuellement. 1) Trouver le taux effectif périodique correspondant au taux nominal donné: Réponse: 0,03/6 = 0,5 % 2) Déterminer le taux effectif cherché en suivant les étapes du Cas 1: Réponse finale: (1+0,005)(12/365)-1=0,0164 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Cas 3: Taux effectif en taux nominal Exemple: Trouver le taux nominal bisannuel capitalisé annuellement équivalent à un taux effectif trimestriel de 2 %. 1) Trouver le taux effectif correspondant à la période de capitalisation du taux nominal cherché en suivant les étapes du Cas 1: Réponse: (1+0,02)(4)-1 = 8,243 % 2) Multiplier le taux trouvé en 1) par le nombre de fois où la période de capitalisation se produit dans la période du taux nominal cherché: Réponse finale: 8,243 %×2 = 16,486 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Cas 4: Taux nominal en taux nominal Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé semestriellement équivalent à un taux nominal mensuel de 1 % capitalisé trimestriellement. 1) Trouver le taux effectif périodique correspondant au taux nominal donné: Réponse: 0,01/(1/3) = 3 % 2) Déterminer le taux nominal cherché en suivant les étapes du Cas 3: Réponse finale: [(1+0,03)(2)-1]×2 = 12,18 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

En général Trouver un taux effectif à partir d’un autre taux effectif: r1 = (1+r2)(u/v)-1 Où r1 est le taux effectif par u périodes équivalent au taux r2 effectif par v périodes. Trouver un taux effectif périodique correspondant à un taux nominal donné: r = i / m Trouver un taux nominal à partir d’un taux effectif correspondant à la période de capitalisation: i = r × m GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exception: Capitalisation continue Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé continuellement équivalent à un taux effectif annuel de 12 %. Réponse: ln(1+0,12) = 11,333 % Exemple: Trouver le taux effectif annuel équivalent à un taux nominal annuel de 12 % capitalisé continuellement. Réponse: e(0,12)-1 = (2,71828)(0,12)-1 = 12,75 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices 1- Trouver le taux effectif mensuel équivalent à un taux nominal annuel de 11 % capitalisé en continu. Réponse: 0,92088 % 2- Trouver le taux nominal bisannuel capitalisé semestriellement équivalent à un taux nominal semestriel de 5 % capitalisé trimestriellement. Réponse: 20,25 % Des exercices supplémentaires se trouvent dans le fichier « Exercices – Équivalence de taux.pdf » disponible sur le site web de la Section 2. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Capitalisation et actualisation Valeur future VFn (ou Pn): La valeur accumulée d’une somme P0 investie aujourd’hui pour une durée de n périodes à un taux d’intérêt effectif r par période est égale à VFn = P0·(1+r)n. Valeur présente VP (ou PV): La valeur que l’on devrait investir aujourd’hui à un taux d’intérêt effectif r par période afin d’obtenir une somme VFn dans n périodes est égale à VP = VFn·(1+r)-n. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Annuité Annuité: Série de n paiements périodiques égaux A. Valeur future: Valeur exactement à la date du dernier paiement. Valeur présente: Valeur exactement une période avant la date du premier paiement. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Annuité (suite) Valeur future entre deux paiements (à n+k, où k est la fraction de période écoulée depuis le dernier versement): Valeur présente entre deux paiements (à k): GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices (suite) 3- Trouver la valeur future d’une annuité de 12 paiements mensuels de 1 $ si le taux nominal annuel capitalisé mensuellement est de 10 %. Réponse: 12,5656 $ 4- Trouver la valeur présente d’une annuité de 10 paiements semestriels de 1 $ en supposant que le taux nominal annuel capitalisé trimestriellement est de 12 % et que le premier paiement aura lieu dans deux mois. Réponse: 7,623415 $ GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Prix d’une obligation Le prix d’un actif financier est égal à la valeur présente de ses flux monétaires espérés: → Estimer les flux monétaires; → Choisir le taux d’actualisation approprié (reflétant le risque). Pour une obligation, les flux monétaires sont connus: Coupons périodiques C; Valeur nominale à l’échéance M (maturity value). GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Prix d’une obligation (suite) Prix d’une obligation (régulière): Prix d’une obligation à escompte pure (C=0): Prix d’une obligation perpétuelle (n→∞): GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Taux de coupon et coupon Le taux de coupon TC est un taux nominal. Le taux effectif (périodique) est déterminé en divisant le taux de coupon par le nombre m de coupons par période de référence. Le coupon C (en $) est trouvé en multipliant le taux de coupon effectif par la valeur nominale. Exemple: Un taux de coupon de 6 % annuel payable deux fois par année correspond à un taux de coupon effectif de 3 %. Une obligation ayant une valeur nominale de 1000 $ verse donc un coupon de 30 $ à tous les six mois. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices (suite) 5- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année en supposant un taux nominal annuel capitalisé mensuellement de 12 %. Réponse: 58,6238 $ 6- Trouver le prix d’une obligation à escompte pure d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 2 ans en supposant que le taux nominal annuel capitalisé continuellement est de 6 %. Réponse: 88,692$ GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Prix entre deux dates de coupon Prix d’une obligation entre deux dates de coupon (à k, où k est la fraction de période écoulée depuis le versement du dernier coupon): Il s’agit de calculer le prix de l’obligation à la précédente date de coupon, puis de l’accumuler avec intérêt jusqu’à la date désirée. Ce prix est appelé « full price » ou « dirty price ». GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Intérêt couru et cote Après le paiement d’un coupon, l’intérêt sur la valeur nominale recommence à s’accumuler jusqu’au moment où l’intérêt est payé, c’est-à-dire à la date du prochain coupon. Le prix Pk que devra payer un investisseur pour acquérir une obligation entre deux dates de coupon doit donc compenser le vendeur pour l’intérêt accumulé (ou couru) depuis le dernier coupon. Le reste sert à compenser le vendeur pour la valeur « intrinsèque » de son obligation. Cette valeur (ou cote) est appelée « clean price » et est utilisée par convention. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Intérêt couru et cote (suite) Donc: Valeur = Prix – Intérêt couru cotek = Pk – ICk Par convention: ICk = k·C k est le « nombre de jours » depuis le dernier coupon divisé par le « nombre de jours » dans la période de coupon. Le « nombre de jours » est déterminé selon différentes méthodes: Exact / Exact → titres gouvernementaux Exact / 365 Exact / 360 → marché monétaire américain 30 / 360 → obligations corporatives GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Intérêt couru et cote (suite) « Exact » utilise le vrai nombre de jours depuis le dernier coupon ou dans la période de coupon. « 360 » ou « 365 » utilisent le nombre de jours dans la période de coupon en considérant qu’une année a 360 ou 365 jours, peu importe le vrai nombre de jours dans l’année. Par exemple, si la période de coupon est semestrielle, alors le nombre de jours dans la période de coupon est de 180 jours (360/2) et de 182,5 jours (365/2) selon les conventions « 360 » et « 365 », respectivement. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Intérêt couru et cote (suite) « 30 » utilise le nombre de jours depuis le dernier coupon en considérant que chaque mois a 30 jours, peu importe le vrai nombre de jours dans les mois. Par exemple, si le dernier coupon a eu lieu un 30 juin il y a 51 jours, alors le nombre de jours depuis le dernier coupon est de 50 jours (soit 30 jours pour les vrais 31 jours de juillet + 20 jours pour août) pour la convention « 30 ». Des exercices supplémentaires se trouvent dans le fichier « Exercices – Fraction de période.pdf » disponible sur le site web de la Section 2. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Intérêt couru et cote (suite) Deux principaux avantages à la convention d’utiliser la cote des obligations plutôt que leur prix: Le gain en capital représente l’appréciation de la cote et non du prix. Sur le plan fiscal, la cote permet de différencier le gain en capital du revenu d’intérêt. La cote évolue de façon régulière dans le temps et permet de comparer des obligations ayant des dates de coupon différentes. La cote est toujours donnée en pourcentage de la valeur nominale. Par exemple, une cote de 100 signifie que le titre vaut sa valeur nominale. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices (suite) 7- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année en supposant que le taux nominal annuel capitalisé mensuellement est de 12 % et que le dernier coupon a été versé il y a 142 jours. (Utiliser la méthode exact/365.) Réponse: 61,4113 $ 8- Trouver l’intérêt couru et la cote de l’obligation précédente. Réponses: IC = 1,9452 $ et cote = 59,4661 $ GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Taux de rendement promis (yield) Notation: y Définition: Taux d’actualisation rendant la valeur présente des flux monétaires égale au prix. Autre nom: Taux de rendement interne. Il faut normalement procéder par itération pour trouver y. Les calculatrices financières peuvent trouver y dans certaine situation. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Taux de rendement à l’échéance Pour une obligation, il faut trouver y tel que y est un taux de rendement promis effectif par période de coupon ou le taux de rendement à l’échéance effectif (yield to maturity). (1+y)m-1 représente le taux de rendement effectif par période de référence (souvent un an). m·y représente le taux de rendement nominal équivalent par période de référence (souvent un an). GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Autres taux de rendement Taux de rendement courant (current yield): m·C/P Taux de rendement au rachat (yield to call): Taux de rendement promis à la date de rachat. Taux de rendement promis pour un portefeuille d’obligations: Taux d’actualisation rendant la valeur présente des flux monétaires du portefeuille égale à la valeur du portefeuille. Ceci n’est pas égal à la moyenne pondérée des taux de rendement promis des obligations. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices (suite) 9- Trouver le taux de rendement à l’échéance d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année et un prix de 85,79 $. Réponse: Taux nominal annuel = 7 % 10- Trouver le taux de rendement courant de l’obligation précédente. Réponse: 5,83 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Relations importantes Prix–Taux de rendement (voir Fabozzi, Exhibit 2-2): Relation inverse. Relation convexe: Une hausse de taux entraîne une baisse de prix plus faible que la hausse de prix qu’entraîne une baisse de taux équivalente. Taux de coupon–Taux de rendement, Prix–Valeur nominale: À escompte: TC < y ↔ P < M. Au pair: TC = y ↔ P = M. À prime: TC > y ↔ P > M. Prix–Temps: Lorsque le temps passe, P → M. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Relation Prix-Taux de rendement (Fabozzi, Exhibit 2-2) Price Maximum Price Yield GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Rendement réalisé (total return) Notation: R Définition: Taux d’actualisation rendant égale la valeur présente de la valeur finale d’un investissement à sa valeur initiale. Le rendement réalisé est égal au taux de rendement à l’échéance si: L’obligation est détenue jusqu’à l’échéance. Les coupons sont réinvestis, en moyenne, au taux de rendement promis de l’obligation. Si l’une des deux conditions n’est pas respectée, le rendement réalisé est généralement différent du rendement promis. GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Calcul du rendement réalisé Calcul de la valeur finale de l’investissement: Valeur accumulée, à la date de vente, des coupons au taux de réinvestissement. Prix de vente. Valeur initiale de l’investissement = Prix d’achat. Le rendement réalisé effectif sur la période d’investissement est égal à: R = Valeur finale de l’investissement – 1 Valeur initiale de l’investissement GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations

Exercices (suite) 11- Un investisseur possède une obligation payant, en deux versements, un coupon annuel de 8 %. L’obligation vient à échéance dans 20 ans et promet un taux de rendement annuel nominal de 10 % (tous les taux nominaux sont capitalisés semestriellement). L’investisseur a un horizon de 3 ans et prévoit réinvestir ses coupons à un taux annuel nominal de 6 % pendant cette période. Quel rendement effectif annuel l’investisseur prévoit-il réaliser s’il croit être en mesure de vendre son obligation à la fin de son horizon à un taux de rendement annuel nominal de 7 %? Réponse: 17,89 % GSF-3100 – Marché des capitaux 02 Mathématiques financières des obligations