ICI A-VI Le Dipôle Électrique A-VI.1 Définition B Il est très fréquent de trouver dans la matière tant minérale qu’organique, des couples de charges (-q , +q) très voisines l’une de l’autre par rapport aux dimensions d’observation. De tels couples de charges s’appellent des dipôles électriques caractérisés par un moment dipolaire La charge –q étant en A, l’autre +q en B. Le moment dipolaire à une unité : le Debye qui vaut O A B -q +q M A-VI.2 Potentiel créé par un dipôle Il s’agit de calculer le potentiel créé en un point M par un couple de deux charges opposées situées à une grande distance du point en question. Potentiel des deux charges A grande distance ce potentiel peut s’écrire ICI

Établissement de l’expression dans l’approximation a << r Soit et Calculons soit avec quantité << 1. On aura de même avec un calcul du même type Un expression intermédiaire du potentiel peut être On utilise l’approximation de linéarisation Soit l’expression du potentiel créé par le dipôle à grande distance

Étude du potentiel du dipôle Sous forme développée Équation polaire des équipotentielles dans le plan étant une constante liée à la valeur constante V du potentiel Les surfaces équipotentielles sont de révolution autour de l’axe du dipôle. M Équipotentielles Plan à V = 0 Axe du dipôle

Potentiel électrique non approximé du dipôle

A-VI.3 Champ électrique créé par un dipôle O A B -q +q M Reprenons les notations précédentes et calculons directement le champ électrique créé par les deux charges Le calcul fait dans le cadre de l’approximation à grande distance donne dans le repère Dans le repère polaire M

M Établissement de la formule du champ électrique du dipôle Reprenons les notations précédentes et calculons directement le champ électrique créé par les deux charges +q -q B O A M En réintroduisant le vecteur moment dipolaire En coordonnées polaires

Recherche des lignes de champ du dipôle Le vecteur élémentaire local de la ligne de champ en coordonnées polaires doit être parallèle au champ local La relation de proportionnalité suivante doit être satisfaite qui avec les expressions des composantes du champ donne après intégration Lignes de champ Surfaces équipotentielles Les surfaces équipotentielles sont données par

A-VI.4 Énergie potentielle d’un dipôle Deux cas se présentent L’énergie interne d’interaction du dipôle L’énergie potentielle du dipôle dans un champ électrique extérieur. Énergie d’interaction interne du dipôle C’est le cas typique de deux charges ponctuelles en interaction. A partir de la formule générale vue en A-V Nous avons directement avec AB = 2a Expression que l’on peut mettre sous la forme Énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur L’expression de cette énergie qui tient compte de la petitesse des dimensions du dipôle par rapport à l’échelle de variation locale du champ s’exprime simplement par A B M Source de champ créé par la source de champ

Établissement de l’expression de l’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ extérieur Le dipôle a ses deux charges –q en A et +q en B qui, dans le cas général, ne sont pas au même potentiel. Il est alors possible d’écrire pour l’énergie totale du dipôle dans le champ extérieur La différence de potentiel entre les points A et B peut se calculer par la circulation du champ électrique Qui se réduit compte tenu de la proximité de A et B Le champ ayant une valeur moyenne prise là où se trouve le dipôle dont les dimensions sont telles qu’il peut être ici considéré comme ponctuel à l’échelle des variations de Il vient alors l’expression de l’énergie cherchée A B VA VB

Soit l’angle orienté entre le dipôle et le champ électrique Soit l’angle orienté entre le dipôle et le champ électrique. L’énergie potentielle du dipôle dans le champ extérieur peut s’écrire Bien que la fonction soit censée être parfaitement connue des titulaires d’un bac scientifique (ce n’est malheureusement plus le cas aujourd’hui), il est instructif de tracer la fonction (en notation simplifiée) Le tracé montre que l’énergie minimale –pE, situation d’équilibre (voir plus loin), est réalisée pour l’alignement dans le même sens du dipôle sur le champ. M créé par la source de champ +π +π/2 -π/2 -π

Dans le champ électrique le dipôle est doté de l’énergie potentielle A-VI.5 Force s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur Le calcul de cette force est plus difficile que celui mené pour l’énergie potentielle Il est très facile de montrer que la force totale exercée sur le dipôle est nulle si le champ est uniforme: même champ sur deux charges opposées –q et +q donne Dans le cas où le champ n’est pas uniforme, bien que les deux charges soient très voisines, cette force n’est pas nulle. Nous donnons dans la page qui suit une démonstration de la formule suivante Dans le champ électrique le dipôle est doté de l’énergie potentielle Il est possible de calculer la force exercée par le champ à partir du gradient de l’énergie potentielle, formulation générale de ce type d’action dérivant d’un potentiel M Source de champ créé par la source de champ

Établissement de l’expression Cette expression est obtenue à partir de la force totale sur le dipôle, somme des forces sur les charges –q et +q. Il faut estimer la différence sachant que les point A et B sont proches. Pour se faire estimons la différence de la grandeur scalaire A B M Qui n’est autre que la composante en x de la différence des vecteurs champs entre A et B. La quantité peut se calculer à partir de sa valeur en M, milieu de AB = 2a par l’expression Nous aurons de même pour l ’autre terme Il vient pour la composante en x de la force Un calcul identique pour les autres composantes donne pour le vecteur force Il est aussi possible d’écrire cette force sous la forme (à montrer en exercice)

A B M A-VI.5 Couple s’exerçant sur un dipôle placé dans un champ électrique extérieur Que le champ soit uniforme ou pas le couple des forces qui s’exerce sur un dipôle placé dans un champ est en général non nul. Calculons le moment des forces par rapport au point M centre du dipôle. Les deux forces peuvent s’écrire et Il est suffisant de prendre dans ces deux expressions le champ au point M pour obtenir une expression du couple au premier ordre Le couple prend la forme Nous obtenons le résultat à connaître Le couple est un vecteur orthogonal à et Sa valeur algébrique est donnée par l’angle θ étant orienté à partir de la direction fixe du champ de telle manière que le couple soit un couple de rappel vers le champ M M

Relation entre le couple de rotation et l’énergie potentielle du dipôle. Nous remarquons que Le couple est nul pour Seule la position en donne un équilibre stable. Un écart par rapport à cette position ramène le dipôle en , dans le fond du puits de potentiel. Dans les positions l’équilibre n’est pas stable, le dipôle a tendance à s’en éloigner vers le fond du puits. +π/2 +π -π/2 -π

A-VI.6 Interaction entre deux dipôles (Complément) On s’intéresse ici à l’énergie potentielle d’interaction existant entre les deux dipôles. Les énergies propres de chaque dipôle ne nous intéressent pas ici, seule l’interaction d’un dipôle sur l’autre est à considérer. Le dipôle crée là où se trouve le dipôle le champ électrique L’énergie d’interaction de dans ce champ s’écrit Cette expression est symétrique par échange de et Il est possible d’écrire W

A-VI.7 Multipôles (Complément) q1 q2 qi qN M O Mi Soit une distribution discrète de N charges ponctuelles qi, aux points Mi avec Ces charges sont voisines d’une origine O et telles qu’au point d’observation M avec On cherche à estimer le potentiel électrique créé en M par cette distribution de charges en tenant compte des distances relatives. Développons les quantités en puissances de en allant jusqu’au second ordre avec et

Soit Q la charge totale de la distribution Le premier terme du développement donne potentiel équivalent à l’ensemble des charges concentrées en O. Le terme du premier ordre qui est en est Si on introduit le moment multipolaire total Ce terme potentiel s’écrit équivalent à celui trouvé pour le dipôle.