TP9: Equations différentielles II

Rappels Résolution d’équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants Exemple d’enoncé: Ay’’+By’+Cy=0 Remplacer y par Résoudre l’équation Rechercher le delta Si delta=0=> exponentielle multipliée par un polynôme de degré égal au degré de l’équation différentielle moins 1 Si delta>0=> somme des exponentielles des li multipliée par un coefficient constant Si delta<0=> somme des sin et cos des parties imaginaires des racines multipliées par l’exponentielle de la partie réelle des racines et par un coefficient constant

Rappels Point d’équilibre Déplacement vers la droite si est supérieur à 0, vers la gauche sinon. Ce point est stable si lorsqu’on prend la limite de la fonction en l’infini, on converge vers ce point, pour une condition initiale fixée en un point suffisamment proche du point d’équilibre

A. Exercices supplémentaires Analyser les équations suivantes graphiquement. Déterminer tous les points fixes, classifier leur stabilité et esquisser un graphe des fonctions solution sur R+. Ne pas résoudre les équations. tracer le graphique

A. Exercices supplémentaires tracer le graphique

A. Exercices du syllabus 173 a) y’’-9y=0 c)y’’+6y’+9y=0 f)

B. Exercices du syllabus 177 déterminer y tel que y(0)=0 Y’’=-y’  y’’+y’=0 Condition initiale:

B. Exercices du syllabus 179 a) b) c) 182 c) condition initiale=

B. Exercices du syllabus 184

C. Exercice supplémentaire Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +3 𝑦 ′ −4𝑦=0

C. Exercice supplémentaire Solution particulière Solution générale

C. Exercice supplémentaire Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +3 𝑦 ′ −4𝑦=0

C. Exercice supplémentaire (b)Solution particulière

C. Exercice supplémentaire (c)Solution particulière (d) solution générale

C. Exercice supplémentaire Equation homogène associée Solution générale: 𝑦 ′′ +2 𝑦 ′ +4𝑦=0

C. Exercice supplémentaire Solution particulière

C. Exercice supplémentaire Solution générale

C. Test 1. D 2.90 x-12(x²-1)²(x²+1)³(x²-2)(x²+2)²(x²-4)³(x²+4) xy=5 x²y+xy²+x+y=60 5x+5y+x+y=60 x+y=10 (x+y)²=100=x²+y²+2xy x²+y²=100-2*5=90

C. Test 3B F non derivable en certain points  A ou B ou E Exclusion de E car valeur en 0 différente de 2

Test 4. 40 5.E 13 cartes par couleur 52-12=40 2−𝑥 = 2𝑥 −2 2−𝑥 = 2𝑥 −2 2−𝑥=2𝑥+4−4 2𝑥 3𝑥=−2+4 2𝑥  4 2𝑥 =3𝑥+2 9𝑥²=4+32𝑥−4.4 2𝑥 9𝑥²=4+32𝑥−4.(3x+2)=20x-4