TP 11 - Fonctions de deux variables II 8/04/2017 TP MATH-G-1101 TP 11 - Fonctions de deux variables II

Introduction Durée du TP: 3h Questions? Souhaits? Rappel de la théorie Correction de certains exercices à préparer Test en classe Correction du test Questions? Souhaits? Envoyer un mail v.treroto@ulb.ac.be (quelques jours à l’avance)

Rappel Fonctions à plusieurs composantes (vectorielles). Ex. 1 : (x,y)  (y+1, x+2y+1, x2-3) (2 variables, 3 composantes) Ex. 2 : (r,)  (r cos, r sin) transformation coordonnées polaires – coordonnées cartésiennes (2 variables, 2 composantes) Pour ces fonctions la notion de dérivée s’élargit en celle de matrice jacobienne de la fonction : c’est la matrice des dérivées partielles des composantes (une ligne pour les dérivées de chaque composante, dans l’ordre) : Dans le cas des transformations de variables la matrice jacobienne est carrée.

Rappel Soit f(x, y)0 et D un sous-ensemble de l’ensemble de définition de f. L’intégrale double de f sur D, noté est le volume V du solide délimité par la surface représentative de f et le domaine d’intégration D. Si f=0 en D : I = 0, si f≤0 en D : I = -V. Si f change de signe en D : I = V1-V2 ou V1 et V2 sont les volumes relatifs respectivement à la partie positive et à la partie négative de la surface. Si f=k (constante) : I = k ∙ Aire de D Si D est le domaine simple : Ce calcul se fait en 2 étapes : d’abord l’intégrale en dy (entre parenthèses) en traitant x comme une constante ; ensuite une deuxième intégrale définie d’une fonction en x.

Rappel Si D est le domaine simple : Parmi les domaines simples il y a évidemment les rectangles. Si D a une autre forme on cherche un changement de variable qui le transforme, si possible, en un domaine simple. Ex. Passage en coordonnées polaires (x=r cosθ, y=r sinθ) : où est le domaine transformé et r est le « Jacobien » de la transformation, i.e. le déterminant de la matrice carrée jacobienne de la transformation (jouant le même rôle que la dérivée pour les changements de variables dans les intégrales de fonctions en une seule variable).

Ex.1 Exercices supplémentaires Une fonction constante 3 est intégrée sur une aire qui vaut 4x6  l’intégrale vaut 3x4x6 = 72. Une fonction constante -2 est intégrée sur une aire qui vaut 3x1  l’intégrale vaut (-2)x3x1 =-6. Une fonction constante 1 est intégrée sur une aire qui vaut pr²=p3²=9p  l’intégrale vaut 1x9p = 9p. La fonction f(x,y)=x étant impaire sur en [-1,1]  l’intégrale vaut 0.

Ex.2 Exercices supplémentaires (b)

Ex.2 Exercices suppl. (suite) (c) On peut écrire D comme suit : Puisque D est un domaine simple on calcule :

Ex.2 Exercices suppl. (suite) (d) Le passage en coordonnées polaires permet de changer D dans le domaine simple suivant :

Ex.2 Exercices suppl. (suite) (e) D est domaine simple par rapport à x et à y. Par rapport à x : Par rapport à y :

Ex.3 Exercices supplémentaires Le schéma de S est celui d’un paraboloïde (on peut le reconnaître à l’aide de ses intersections avec des plans parallèles aux plans coordonnés). Le volume entre le plan z=0 et S est le solide en couleur. L’intersection avec le plan z=0 donne le cercle de rayon √2. En passant aux coordonnée polaires :

Ex.4 Exercices supplémentaires Le schéma de S est celui d’un hyperboloïde à 1 nappe. Les intersections avec z=0 et z=4 donnent respectivement : x2+y2=9 et x2+y2=25, i.e. des cercles de rayon 3 et 5. Le domaine d’intégration est alors : La fonction à intégrer est :

Ex.4 Ex. suppl. (suite) Pour le calcul il est utile le passage en coordonnées polaires, car le domaine devient un rectangle :

Test 11 V1=1m3 < V2=πr2∙h=0.5π. C’est bien le cylindre 1. On obtient :

Test 11 Si on nomme x l’inconnue, on déduit : 43. Au maximum il y a 12 étudiants nés en 1994 et 365 nés en 1995. Par conséquent 420-12-365=43 sont au minimum les nés en 1996.

Test 11 C. où on applique la formule :

Test 11 E. Si c’est faux d’avoir réussi au moins 3 lancers, ça signifie que j’ai réussi max 2 lancers et par conséquent j’en ai raté au moins 3. D.

Test 11 A. La fonction valeur absolue est déplacée à gauche d’une unité. E. Les limites droite et gauche sont différentes :